1.4.2 一元二次不等式及其解法(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式及其解法，通过交通车距的实际情境导入，衔接一元二次函数与方程知识，构建“三个二次”的内在联系，借助自我诊断、通性通法总结等学习支架帮助学生逐步掌握。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过含参数不等式分类讨论发展逻辑推理的数学思维，用集合符号表达解集强化数学语言。典例分层且总结解题步骤，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

4.2　一元二次不等式及其解法 第一章　预备知识 1 课标要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数（数学抽象、直观想象、逻辑推理）. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集（数学抽象、数学运算）. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（直观想象、数学建模）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修 建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力.城市环 线和高速公路网的联结也必须通过大型互通式立交桥进 行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已成为现 代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段 的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长（单位：m）的积，且车 距不得少于半个车身，假定车身长均为l（单位：m），当车速为60（单 位：km/h）时，车距为1.44个车身长. 【问题】　在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量 最大？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点一　一元二次不等式的概念 1. 定义：形如 ，或 ，或ax2＋bx ＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0（其中x为未知数，a，b，c均为常数，且 a≠0）的不等式叫作一元二次不等式. 2. 解集：使一元二次不等式成立的 ⁠的值组成的集合叫作这 个一元二次不等式的解集. 提醒：一元二次不等式概念中的关键词：①一元，即只含一个未知数，其 他元素均为常数（或参数）；②二次，即未知数的最高次数必须为2，且 其系数不能为0. ax2＋bx＋c＞0　 ax2＋bx＋c＜0　 所有未知数　 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点二　“三个二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的实数根 有两个相异的实数 根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数 根x1＝x2＝ ⁠ ⁠ 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋ bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＞0（a＞ 0）的解集 {x｜x＜x1或x＞ x2} {x｜x≠－ } R － 提醒：一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【想一想】 当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0（a＞0）与ax2＋bx＋c≤0（a＞0）的 解集分别是什么？ 提示：R， . 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）mx2－5x＜0是一元二次不等式. （　×　） （2）若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解. （　×　） （3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则一元 二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜x1＜x＜x2}. （　×　） （4）不等式x2－2x＋3＞0的解集为R. （　√　） × × × √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为（　　） A. {x｜x≤－ } B. {x｜－ ≤x≤3} C. {x｜x≤－ 或x≥3} D. {x｜x≥3} 解析：因为（2x＋1）（x－3）≥0，解得x≤－ 或x≥3，所以不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为{x｜x≤－ 或x≥3}.故选C. √ 3. 不等式x2－2x－5＞2x的解集是 ⁠. {x｜x＞5或x＜－1}　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 11 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 求下列不等式的解集： （1）2x2＋7x＋3＞0； 解：因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实 根x1＝－3，x2＝－ .又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所 以原不等式的解集为 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）－4x2＋18x－ ≥0； 解：原不等式可化为 ≤0，所以原不等式的解集为 . （3）－2x2＋3x－2＜0. 解：原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以 方程2x2－3x＋2＝0无实根，又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向 上，所以原不等式的解集为R. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数 为正； （2）判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的 判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无 实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 不等式x（x－9）＜x－21的解集为（　　） A. （3，7） B. （－∞，3）∪（7，＋∞） C. （－7，－3） D. （－∞，－7）∪（－3，＋∞） 解析：x（x－9）＜x－21，即x2－10x＋21＜0，即（x－3）（x－7）＜0，解得3＜x＜7.故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 不等式2x2＜x－1的解集为 ⁠. 解析：原不等式可化为2x2－x＋1＜0，因为Δ＜0，所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，作出函数y＝2x2－x＋1的图象，如图所示.根据图象得不等式2x2－x＋1＜0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅. ∅　 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式（ax－2）（x＋1）≥0（x∈R，a≥0）. 解：①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式化为（x－ ）（x＋1）≥0， 解得x≥ 或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x≤－1}；当a＞0时，不等式 的解集为{x｜x≥ 或x≤－1}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 （变条件）若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集. 解：当a＜0时，原不等式化为（x－ ）（x＋1）≤0. 当 ＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤ ； 当 ＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当 ＜－1，即－2＜a＜0时，解得 ≤x≤－1. 综上所述，当－2＜a＜0时，不等式的解集为{x｜ ≤x≤－1}；当a＝－ 2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为{x｜－ 1≤x≤ }. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 含参数的一元二次不等式的解法 数学·必修第一册（BSD） 目录 解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0. 解：原不等式可化为（x＋1）（x－a）＜0，方程x2＋（1－a）x－a＝ 0的两根为x1＝－1，x2＝a.又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向 上， 则当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　三个“二次”之间的关系及应用 已知二次函数y＝ax2＋（b－8）x－a－ab，且y＞0的解集为{x｜ －3＜x ＜2}. （1）求二次函数的解析式； 解：因为y＞0的解集为{x｜－3＜x＜2}，所以a＜0， 且－3，2是方程ax2＋（b－8）x－a－ab＝0的两根， 所以 解得 所以y＝－3x2－3x＋18. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围. 解：因为a＝－3＜0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下， 要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤ － . 所以当c≤－ 时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转 化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究； （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相 联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题. 提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解 集形式. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x｜ ＜x＜ }. （1）求a，c的值； 解：由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为 和 ， 由根与系数的关系，得 解得 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）解关于x的不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0. 解：由a＝－6，c＝－1知，不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0可化为－6x2 ＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得 ≤x≤1，所以不等式的解集为 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 若∀x∈R，式子 都有意义，则实数a的取值范围为（　　） A. {a｜－2＜a＜2} B. {a｜a＞2或a＜－2} C. {a｜a≤－2或a≥2} D. {a｜－2≤a≤2} 解析：由题意得不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 不等式x2－2x＞0的解集是（　　） A. {x｜x≥2或x≤0} B. {x｜x＞2或x＜0} C. {x｜0≤x≤2} D. {x｜0＜x＜2} 解析：　解x2－2x＞0，即x（x－2）＞0，得x＞2或x＜0，故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x｜1＜x＜3}，那么ba＝ （　　） A. －81 B. 81 C. －64 D. 64 解析：　不等式x2＜ax＋b可化为x2－ax－b＜0，其解集是{x｜1＜x＜ 3}，由根与系数的关系得 解得 所以ba＝（－3） 4＝81.故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 若0＜m＜1，则不等式（x－m）（x－ ）＜0的解集为 ⁠ . 解析：∵0＜m＜1，∴ ＞1＞m，故原不等式的解集为{x｜m＜x＜ }. {x｜m＜x ＜ }　 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如表所示： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 ⁠. 解析：根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R） 图象的草图，如图.由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0 的解集是{x｜x＜－2或x＞3}. {x｜x＜－2或x＞3}　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 31 1. 不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（　　） A. B. C. ∅ D. 解析：　原不等式可化为（3x＋1）2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是 （　　） A. {x｜x＜－n或x＞m} B. {x｜－n＜x＜m} C. {x｜x＜－m或x＞n} D. {x｜－m＜x＜n} 解析：　∵m＋n＞0，∴m＞－n，∴（m－x）（n＋x）＞0化为（x －m）（x＋n）＜0，解得－n＜x＜m.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，如果a＜0，那么ax2＋bx＋ c＞0的解集为（　　） A. {x｜x＞3或x＜－2} B. {x｜x＞2或x＜－3} C. {x｜－2＜x＜3} D. {x｜－3＜x＜2} 解析：由题意知－2＋3＝－ ，－2×3＝ ，∴b＝－a，c＝－6a，∴不等式ax2＋bx＋c＞0可化为ax2－ax－6a＞0，又a＜0，∴x2－x－6＜0，∴（x－3）（x＋2）＜0，∴－2＜x＜3，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x －c的图象为（　　） √ 解析：　因为不等式的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以a＜0，图象开口向 下，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕下列四个不等式中，解集为∅的是（　　） A. －x2＋x＋1≤0 B. 2x2－3x＋4＜0 C. x2＋3x＋10≤0 D. －x2＋4x－ ＞0（a＞0） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：对于A，－x2＋x＋1≤0对应函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为∅；对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为∅；对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为∅；对于D，－x2＋4x－ ＞0（a＞0）对应的函数开口向下，Δ＝16－4 ≤16－4×2 ＝0，当且仅当a＝2时，取等号，其解集为∅.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕下列关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＞0的解集讨论正确的 是（　　） A. 当a＝1时，解集为∅ B. 当a＞1时，解集为{x｜x＞a} C. 当a＜1时，解集为{x｜x＜a或x＞1} D. 无论a取何值，解集均不为空集 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：原不等式可化为（x－1）（x－a）＞0.当a＝1时，原不等式为（x－1）2＞0，解得x≠1，A错误；当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜1或x＞a}，B错误；当a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＞1或x＜a}，C正确；对于一元二次方程x2－（a＋1）x＋a＝0，Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为 ⁠. 解析：不等式（x＋5）（3－2x）≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即（x－1） （2x＋9）≤0，解得－ ≤x≤1. {x｜－ ≤x≤1}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 若A＝（－2，5），则以A为解集的一个一元二次不等式可以是 ⁠ ⁠. 解析：设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－2，5）.则 －2和5是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＞0.即 不妨设a＝1，解得b＝－3，c＝－10.所以以A为解 集的一个一元二次不等式可以是x2－3x－10＜0. x2－ 3x－10＜0（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为 ，则m的取值范围是 ⁠. 解析：∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集为 ，∴方程 （mx－1）（x－2）＝0的两个实数根为 和2，且 解得m＜0， ∴m的取值范围是{m｜m＜0}. {m｜m＜0}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 解下列不等式： （1）x2＋2x－15＜0； 解：x2＋2x－15＝（x＋5）（x－3）＜0， 解得－5＜x＜3， 所以原不等式的解集为{x｜－5＜x＜3}. （2）－x2＋3x＋2＜6x－2； 解：－x2＋3x＋2＜6x－2⇒x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＞0， 解得x＞1或x＜－4， 所以原不等式的解集为{x｜x＜－4或x＞1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3） x2＋2x＋4＞0； 解： x2＋2x＋4＞0，Δ＝4－4× ×4＝0， 故x≠－4，所以原不等式的解集为{x｜x≠－4}. （4）（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）. 解：（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）⇒x2＋5x＋9＜0， Δ＝25－36＝－11＜0，无解， 所以原不等式的解集为∅. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－ 63[x]＋45＜0成立的x的取值范围是（　　） A. [1，15） B. [2，8] C. [2，8） D. [2，15） 解析：不等式4[x]2－63[x]＋45＜0，即为（4[x]－3）（[x]－15）＜0，解得 ＜[x]＜15，则[x]∈{1，2，3，…，14}，因此1≤x＜15.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x ＞4}，则（　　） A. a＞0 B. 不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－4} C. a＋b＋c＞0 D. 不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－ 或x＞ } √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，所以a＞0，A项正确；由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得 则b＝－2a，c＝－8a，则a＋b＋c＝－9a＜0，C项错误；不等式bx＋c＞0即－2ax－8a＞0，解得x＜－4，B项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即－8ax2＋2ax＋a＜0，即8x2－2x－1＞0，解得x＜－ 或x＞ ，D项正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 若关于x的不等式x2－mx＜0恰有一个整数解1，则m的取值范围 为 ⁠. 解析：由x2－mx＜0可知x（x－m）＜0，∵x2－mx＜0恰有一个整数解 1，∴0＜x＜m中只有一个整数解1，∴1＜m≤2. {m｜1＜m≤2}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 求关于x的不等式3ax2－（3a＋2）x＋2＜0（a∈R）的解集. 解：3ax2－（3a＋2）x＋2＝（3ax－2）（x－1）＜0（a∈R）. 当a＝0时，不等式为－2（x－1）＜0，所以x＞1，解集为{x｜x＞1}. 当a≠0时，方程（3ax－2）（x－1）＝0的两根为x1＝ ，x2＝1. ①当a＝ 时，x1＝x2＝1，则不等式（2x－2）（x－1）＜0的解集为∅； ②当a＞ 时， ＜1，则不等式（3ax－2）（x－1）＜0的解集为{x｜ ＜x＜1}； ③当0＜a＜ 时， ＞1，则不等式（3ax－2）（x－1）＜0的解集为 {x｜1＜x＜ }； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 ④当a＜0时， ＜1，则不等式（3ax－2）（x－1）＜0的解集为{x｜x ＜ 或x＞1}. 综上，当a＝0时，解得为{x｜x＞1}； 当a＝ 时，解集为∅； 当a＞ 时，解集为{x｜ ＜x＜1}； 当0＜a＜ 时，解集为{x｜1＜x＜ }； 当a＜0时，解集为{x｜x＜ 或x＞1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $