4.3一元二次不等式的应用课件- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的应用，通过汽车刹车距离的实际情境导入，引导学生从甲车刹车距离超12m、乙车超10m的问题中抽象出不等式关系，连接已学的一元二次不等式解法，搭建从实际到数学的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如刹车距离、摩托车利润）驱动教学，通过分式不等式、恒成立问题、实际应用等题型分类，结合通性通法总结（如解应用题“读、建、解、答”四步法），培养数学抽象、数学建模和数学运算素养。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助系统例题和训练提高教学效率。

4.3　一元二次不等式的应用 新课程标准解读 核心素养 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程. 了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象 2.能够构建一元二次函数模型解决实际问题 数学建模、 数学运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段 距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事 故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车 相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查 测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知 甲、乙两种车型的刹车距离 s （m）与车速 x （km/h）之间分别有如下 关系： s甲＝0.1 x ＋0.01 x2， s乙＝0.05 x ＋0.005 x2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【问题】　如何判断甲、乙两车是否超速？ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　利用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1. 选取合适的字母表示题中的未知数. 2. 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）. 3. 求解所列出的不等式（组）. 4. 结合题目的实际意义确定答案. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）不等式 ＞1的解集是{ x ｜ x ＜1}. （　×　） （2）若 a ＞0，则关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ≤0有解集的充要条 件是Δ＝ b2－4 ac ≥0. （　√　） （3）若关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0在R上恒成立，则 （　×　） × √ × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了 减少木材消耗，决定按销售收入的 t %征收木材税，这样每年的木 材销售量减少 t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每 年不少于900万元，则 t 的取值范围是（　　） A. { t ｜1≤ t ≤3} B. { t ｜3≤ t ≤5} C. { t ｜2≤ t ≤4} D. { t ｜4≤ t ≤6} 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　设按销售收入的 t %征收木材税时，税金收入为 y 万元， 则 y ＝2 400 × t %＝60（8 t － t2）.令 y ≥900，即60（8 t － t2）≥900，解得3≤ t ≤5. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 不等式 ≥0的解集为 ⁠. 解析：原不等式⇔∴－1≤ x ＜1. { x ｜－1≤ x ＜1}　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 简单的分式不等式 【例1】　解下列不等式： （1） ≥0； 解：原不等式等价于 即∴－2≤ x ＜3. ∴原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜3}. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2） ＞1. 解：原不等式可化为 －1＞0，即 ＜0. ∴（3 x －2）（4 x －3）＜0，∴ ＜ x ＜ . ∴原不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 解分式不等式的策略 （1）对于形如 ＞0（＜0）的不等式可等价转化为 f （ x ） g （ x ）＞0（＜0）来解决；对于形如 ≥0（≤0）的不等 式可等价转化为来解决； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 （不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 不等式 ＜0的解集为 　 　. 解析：原不等式可化为（ x ＋1）（2 x －1）＜0，∴－1＜ x ＜ ， 故原不等式的解集为 . 2. 不等式 ≥0的解集是{ x ｜－1≤ x ＜5}，则 a 的值为 ⁠. 解析：由于原不等式等价于因此结合不等 式解集知 a ＝5. 　 5　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 不等式恒成立问题 角度1　在R上恒成立问题 【例2】　若不等式2 kx2＋ kx － ＜0对一切实数 x 都成立，则 k 的取值 范围为（　　） A. （－3，0] B. [－3，0） C. [－3，0] D. （－3，0） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　（1） k ＝0时，－ ＜0，不等式恒成立. （2） k ≠0时，不等式恒成立应满足即－3 ＜ k ＜0.由（1）（2）知－3＜ k ≤0. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 （变条件）若把本例条件变为“不等式2 kx2＋ kx ＋ ＞0对一切实数 x 都成立”，试求 k 的取值范围. 解：当 k ＝0时，不等式为 ＞0，显然成立； 当 k ≠0时，则有解得0＜ k ＜3.所以 k 的取 值范围为[0，3）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）恒成立⇔ ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ≠0）恒成立⇔ ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ≠0）恒成立⇔ 目录 数学·必修第一册（BSD） ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ≠0）恒成立⇔ 提醒　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一 定要讨论二次项系数是否为0. 目录 数学·必修第一册（BSD） 角度2　在给定范围上恒成立问题 【例3】　当1≤ x ≤2时，不等式 x2＋ mx ＋4＜0恒成立，则实数 m 的 取值范围为 ⁠. （－∞，－5）　 解析：令 y ＝ x2＋ mx ＋4，∵ y ＜0在1≤ x ≤2上恒成立，∴ y ＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得解得 m ＜－ 5，∴实数 m 的取值范围是（－∞，－5）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 在给定范围上的恒成立问题 （1）当 a ＞0时， ax2＋ bx ＋ c ＜0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时小于0； （2）当 a ＜0时， ax2＋ bx ＋ c ＞0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时大于0. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 命题“∀ x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， x2－ a ≤0”为真命题的一个充分不必 要条件是（　　） A. a ≥4 B. a ≥5 C. a ≤4 D. a ≤5 解析：　因为命题“∀ x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， x2－ a ≤0”是真命 题，所以当1≤ x ≤2时， a ≥ x2恒成立，所以 a ≥4，结合选项，命 题是真命题的一个充分不必要条件是 a ≥5. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若对∀ x ∈R不等式 x2＋ mx ＞4 x ＋ m －4恒成立，求实数 m 的 取值范围. 解：原不等式可化为 x2＋（ m －4） x ＋4－ m ＞0， ∴Δ＝（ m －4）2－4（4－ m ）＝ m2－4 m ＜0， ∴0＜ m ＜4，∴ m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ＜4}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 一元二次不等式的实际应用 【例4】　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/ 辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需 求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加 的比例为 x （0＜ x ＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75 x ，同时预 计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利润＝（出厂价－投入成本） ×年销售量. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； 解：由题意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1 000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋20 x ＋200 （0＜ x ＜1）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解不等式组，得0＜ x ＜ ， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加 的比例 x 的范围为 . （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？ 解：要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当 即 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 解不等式应用题的步骤 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某单位在对一个长800 m、宽600 m的矩形区域进行绿化时，是这样想 的：中间为矩形草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证草坪 的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：设花坛的宽度为 x （0＜ x ＜300）m，则草坪的长为（800－2 x ）m，宽为（600－2 x ）m， 根据题意得（800－2 x ）·（600－2 x ）≥ ×800×600， 整理得 x2－700 x ＋60 000≥0， 解不等式得 x ≥600（舍去）或 x ≤100， 所以0＜ x ≤100. 当 x 在0＜ x ≤100之间取值时，草坪的面积不小于总面积的二分之一. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 不等式 ≥0的解集为（　　） A. { x ｜0≤ x ≤2} B. { x ｜0＜ x ≤2} C. { x ｜ x ＜0或 x ≥2} D. { x ｜ x ＜0或 x ＞2} 解析：　由原式得 x （ x －2）≤0且 x ≠0，解得0＜ x ≤2，故 选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 不等式 ≥1的解集是（　　） A. { x ｜ x ＜－1或－1＜ x ≤2} B. { x ｜－1≤ x ≤2} C. { x ｜ x ≤2} D. { x ｜－1＜ x ≤2} 解析：　∵ ≥1，∴ －1≥0，∴ ≥0，即 ≤0，即 （ x －2）（ x ＋1）≤0且 x ＋1≠0，解得－1＜ x ≤2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知不等式 x2＋ ax ＋4＜0的解集为空集，则实数 a 的取值范围是 （　　） A. [－4，4] B. （－4，4） C. （－∞，－4]∪[4，＋∞） D. （－∞，－4）∪（4，＋∞） 解析：　欲使不等式 x2＋ ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝ a2－ 16≤0，∴－4≤ a ≤4，即实数 a 的取值范围是[－4，4]. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 某产品的总成本 y （万元）与产量 x （台）之间的函数关系式是 y ＝3 000＋20 x －0.1 x2（0＜ x ＜240， x ∈N），若每台产品的售价 为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产 量是 　　台. 150 解析： y －25 x ＝－0.1 x2－5 x ＋3 000≤0，所以 x2＋50 x －30 000≥0，解得 x ≤－200（舍去）或 x ≥150，又因为0＜ x ＜240， x ∈N，所以150≤ x ＜240， x ∈N. 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $