1.3.1 第2课时 不等式性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦不等式的性质，通过“糖水变甜”的生活情境导入，引出浓度不等式，衔接预备知识，以表格形式系统呈现性质、别名及注意事项，结合自我诊断和典例研析构建从理解到应用的学习支架。 其亮点在于情境导入贴近现实，培养数学眼光，知识点梳理清晰并设“想一想”深化理解，典例研析通过直接法、特殊值法等培养逻辑推理能力，题型三求范围强调整体代换避免错误。学生能提升数学思维，教师可利用分层作业实施精准教学。

3.1　不等式的性质 第二课时　不等式性质 第一章　预备知识 1 课标要求 掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题（逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示 这一现象. 【问题】　你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 2 可加性 a＞b⇔ a＋c b＋c 可逆 3 可乘性 ⇒ac bc c的符号 ⇒ac bc ＞　 ＞　 ＜　 数学·必修第一册（BSD） 目录 性质 别名 性质内容 注意 4 同向可加性 ⇒a＋c b＋d 同向 5 同向同正可乘性 ⇒ac bd 同向 异向异号可乘性 ⇒ac bd 异向 6 同正同向可开方性 a＞b＞0⇒ ＞ （n∈N＋，n≥2） 同向 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N＋，n≥2） 同正 ＞　 ＞　 ＜　 数学·必修第一册（BSD） 目录 【想一想】 　同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？ 提示：不一致. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a＞b，则a－c＞b－c. （　√　） （2） ＞1⇒a＞b. （　×　） （3）a＞b⇔a＋c＞b＋c. （　√　） （4） ⇔ac＞bd. （　×　） √ × √ × 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　） A. ＞ B. ＜ C. ＞ D. ＜ 解析：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，即 ＞ ＞0.又a＞b＞0，所以 ＞ ，从而有 ＜ . √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知a＞b，则下列关系中正确的是（　　） A. a－c＞b－c B. ac＞bc C. ｜a｜＞｜b｜ D. a2＞b2 解析：对于A，由a＞b，得a－c＞b－c，故A正确；对于B，当c＝0时，ac＝bc，故B错误；对于C、D，当a＝－3，b＝－7时，a＞b，而｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜a｜＜｜b｜，故C错误；a2＝9，b2＝49，则a2＜b2，故D错误. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 若－1＜m＜1，－1＜n＜1，则m－n的取值范围为 ⁠. 解析：依题意－1＜m＜1，－1＜－n＜1，所以－2＜m－n＜2，即m－n 的取值范围是（－2，2）. （－2，2）　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 13 题型一　利用不等式的性质判断命题的真假 〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A. 若a＞b，c＞d则a－d＞b－c B. a2＞b2⇒a＞b＞0 C. 若a＞b，c＞d＞0，则 ＞ D. 若a＞b， ＞ ，则a＞0，b＜0 √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：对于A，由c＞d，则－d＞－c，又因为a＞b，所以a－d＞b－c，故A为真命题；对于B，取a＝－2，b＝－1满足a2＞b2，故B为假命题；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1满足a＞b且c＞d＞0，而 ＝－1， ＝－1， ＝ ，故C为假命题；对于D，由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用不等式的性质判断正误的2种方法 （1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关 性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二 是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 下列命题中，正确的是（　　） A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若ac＞bc，则a＜b C. 若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D. 若 ＜ ，则a＜b √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当 a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推 出a＜b.当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确；选项C中，由a＞ b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确；选项D中，式子 ＜ 成 立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正 数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a＜b成 立，故D正确.故选D. 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 〔多选〕对于实数a，b，c，下列命题中正确的有（　　） A. 若a＞b且ab＞0，则 ＜ B. 若 ＜ 且c＞0，则a＞b C. 若a＞b＞0，c＜d＜0，则 ＞ D. 若a＞b＞0，c＞d＞0，则 ＞ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由ab＞0，得 ＞0.又a＞b，所以 ·a＞ ·b，即 ＜ ，A正确；取a＝－1，b＝1，c＝1，满足 ＜ 且c＞0，但a＜b，B错误；由c＜d＜0，得－c＞－d＞0， ＞ ＞0.又a＞b＞0，所以 ＞ ， ＜ ，C错误；因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以 ＞ ＞0，所以 ＞ ，D正确. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　利用不等式的性质证明不等式 （1）已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； 证明：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc， 即－ac＜－bc. 又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： ＞ . 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 又a＞b＞0， 所以a＋（－c）＞b＋（－d）＞0， 即a－c＞b－d＞0， 所以0＜ ＜ ， 又e＜0，所以 ＞ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定 要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地 加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条 件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知a＞b＞0，求证： ＞ . 证明：∵a＞b＞0，∴ ＞ ＞0.　① 又∵a＞b＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0.　② 由①②得 ＞ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　利用不等式的性质求范围 已知12＜a＜60，15＜b＜36.求a－b和 的取值范围. 解：∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15， ∴12－36＜a－b＜60－15，即－24＜a－b＜45. ∵ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，即 ＜ ＜4. 故－24＜a－b＜45， ＜ ＜4. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 　（变条件，变设问）已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取 值范围. 解：令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4，1≤ν≤2. 由 解得 ∴4a－2b＝4· －2· ＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν. 而2≤μ≤4，3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，∴5≤4a－2b≤10. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　解这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎.通常要先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，这是避免犯错误的一条重要途径. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知－ ＜β＜α＜ ，求2α－β的取值范围. 解：因为－ ＜α＜ ，－ ＜β＜ ， 所以－ ＜－β＜ ，所以－π＜α－β＜π. 又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π， 又2α－β＝α＋（α－β），所以－ ＜2α－β＜ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是（　　） A. a＞b＞－b＞－a B. a＞－b＞－a＞b C. a＞－b＞b＞－a D. a＞b＞－a＞－b 解析：由a＋b＞0知，a＞－b，∴－a＜b＜0.又b＜0，∴－b＞0，∴a＞－b＞b＞－a. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　） A. a＞b⇒ac2＞bc2 B. ＞ ⇒a＞b C. ⇒ ＞ D. ⇒ ＞ 解析：　当c＝0时，A不成立；当c＜0时，B不成立；当ab＜0时，a＞ b⇒ ＜ ，即 ＞ ，C成立.同理可证D不成立. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 若a＞b＞c，则下列不等式成立的是（　　） A. ＞ B. ＜ C. ac＞bc D. ac＜bc 解析：　∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴ ＜ ，故选B. 4. 〔多选〕若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　） A. a＋c＞b＋c B. ac＜bc C. a2＞b2 D. ＜ 解析：∵a＞b＞0，∴a2＞b2， ＜ ， a＋c＞b＋c，即A、C、D正确；当c＝0时，ac＝bc＝0，故B错误. √ √ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 已知1＜a＜6，3＜b＜4，则 的取值范围是 　 ＜ ＜2　，2a－b的 取值范围为 ⁠. 解析：因为3＜b＜4，所以 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜2.因为1＜a＜6，3＜b ＜4，所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，所以2－4＜2a－b＜12－3，即 －2＜2a－b＜9. ＜ ＜2　 －2＜2a－b＜9　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 33 1. 如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是（　　） A. ＜ B. ＜ C. a2＜b2 D. ｜a｜＞｜b｜ 解析：　∵a＜0，b＞0，∴ ＜0， ＞0，∴ ＜ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A. a＋c≥b－c B. ac＞bc C. ＞0 D. （a－b）c2≥0 解析：　∵a＞b，∴a－b＞0，∴（a－b）c2≥0，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 若a＞b，则ac4＞bc4 B. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd C. 若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk D. 若a＞b＞0，则 ＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　A项，当c4＝0时，ac4＝bc4，故A不正确.B项，当a＝－1，b ＝－2，c＝－3，d＝－4时，满足a＞b，c＞d，但ac＝3，bd＝8，此 时ac＜bd，故B不正确.C项，当a＝1，b＝－2，k＝2时，ak＜bk，故C 不正确.D项，因为a＞b＞0，所以 ＞ ＞0　①， ＞ ＞0　②，由 ①②得 ＞ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 若a，b，m都是正数，则不等式 ＞ 成立的条件是（　　） A. a＞b B. b＞a C. a＞m D. m＞b 解析： ＞ ⇒ － ＞0⇒ － ＝ ＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（　　） A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若ab＞0，bc－ad＞0，则 － ＞0 C. 若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D. 若a＞b，c＞d＞0，则 ＞ 解析：若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则 ＞0，化简得 － ＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则 ＝－1， ＝－1， ＝ ＝－1，故D错误.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（　　） A. 4≤a＋b≤7 B. 2≤b－a≤3 C. 3≤ab≤10 D. ≤ ≤ 解析：因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，故A正确；因为－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，故C正确；因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ≤ ，故D错误.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 若a，b都是实数，则“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的 ⁠ 条件. 解析：∵ － ＞0，∴ ＞ ，∴（ ）2＞（ ）2，∴a＞b＞ 0，∴a2－b2＞0，∴“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又 ∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出 － ＞0. 充分不必 要　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 已知三个不等式①ab＞0；② ＞ ；③bc＞ad.若以其中的两个作为 条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个正确命题. 解析：①②⇒③，③①⇒②（证明略）.由②得 ＞0，又由③得bc －ad＞0，所以ab＞0⇒①.所以可以组成3个正确命题. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 给出下列命题： ①若a＜b，c＜0，则 ＜ ； ②若ac－3＞bc－3，则a＞b； ③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk； ④若c＞a＞b＞0，则 ＞ . 其中真命题的序号是 ⁠. ④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：①当ab＜0时， ＜ 不成立，故①是假命题；②当c＜0时，a ＜b，故②是假命题；③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故 ③是假命题；④a＞b＞0⇒－a＜－b＜0⇒0＜c－a＜c－b，两边同乘 ，得0＜ ＜ ，又a＞b＞0，∴ ＞ ，故④是真 命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. （1）若a＜b＜0，求证： ＜ ； 证明：由于 － ＝ ＝ . ∵a＜b＜0， ∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴ ＜0，故 ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证： ≤ . 证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0， ∴ ＞0，两边同乘以 得， ≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c， d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到 轻的排列顺序是（　　） A. d＞b＞a＞c B. b＞c＞d＞a C. d＞b＞c＞a D. c＞a＞d＞b 解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，∴a＋d＋（a＋b）＞b＋c＋（c＋d），即a＞c.∴b＜d.又a＋c＜b，∴a＜b.综上可得，d＞b＞a＞c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕若 ＜ ＜0，则下列结论中正确的是（　　） A. a2＜b2 B. ab＜b2 C. a＋b＜0 D. ｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜ 解析：因为 ＜ ＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A、B、C均正确，因为b＜a＜0，所以｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，故D错误.故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 若实数x，y满足－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，则x＋2y的取值范围 为 ⁠. 解析：∵x＋2y＝2（x＋y）＋（－x），且－2＜x＜1，0＜x＋y＜2， ∴－1＜－x＜2，0＜2（x＋y）＜4，∴－1＋0＜2（x＋y）＋（－x）＜ 4＋2，即－1＜x＋2y＜6. －1＜x＋2y＜6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 〔一题多解〕已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范 围. 解：法一（待定系数法）　设4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m ＋n）a＋（－m＋n）b，所以 解得 所以4a－2b＝3（a－b）＋（a＋b）. 因为1≤a－b≤2，所以3≤3（a－b）≤6.又因为2≤a＋b≤4， 所以5≤3（a－b）＋（a＋b）≤10，即5≤4a－2b≤10. 所以4a－2b的取值范围为[5，10]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二（换元法）　设x＝a－b，y＝a＋b， 则a＝ ，b＝ . 所以4a－2b＝2（x＋y）－（y－x）＝3x＋y， 而1≤x＝a－b≤2，2≤y＝a＋b≤4， 所以5≤4a－2b≤10. 所以4a－2b的取值范围为[5，10]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $