1.3.2 第1课时 基本不等式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦基本不等式，通过金店天平情境问题导入，先讲解重要不等式，再过渡到基本不等式，对比两者成立条件与变形，构建知识支架帮助学生理解。 其亮点在于情境导入激发数学眼光，典例研析分题型培养逻辑推理，通性通法总结强化数学思维。自我诊断和跟踪训练结合实例，提升学生应用能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

3.2　基本不等式 第一章　预备知识 1 课标要求 1.掌握基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立）（逻辑推理）. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题（数学建模）. 第一课时　基本不等式 第一章　预备知识 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天 平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄 金放入左边的托盘中，在右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入 右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加 除以2作为黄金的最终质量出售. 【问题】　你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　重要不等式与基本不等式 1. 重要不等式 对于任意实数x和y，有 ≥xy，当且仅当 时，等号成立. x＝y　 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 基本不等式 设a≥0，b≥0，有 ≥ ，当且仅当 时，等号成立. 其中， 称为a，b的 ， 称为a，b的几何平均值. 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的 ⁠ 平均值大于或等于它们的 平均值. a＝b　 算术平均值　 算术　 几何　 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒：（1）不等式a2＋b2≥2ab与 ≥ 的比较：①两个不等式a2 ＋b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是不同的.前者要求a，b是实数即 可，而后者要求a≥0，b≥0；②两个不等式a2＋b2≥2ab和 ≥ 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”. （2）基本不等式的常见变形：①a＋b≥2 ；②ab≤ ≤ （其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab. （　√　） （2）n∈N＋时，n＋ ＞2 . （　√　） （3）x≠0时，x＋ ≥2. （　×　） （4）若a＞0，则a3＋ 的最小值为2 . （　×　） √ √ × × 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 不等式a2＋ ≥4中，等号成立的条件是（　　） A. a＝4 B. a＝ C. a＝－ D. a＝± 解析：　此不等式等号成立的条件为a2＝ ，即a＝± . √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 〔多选〕若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　） A. ＞ B. ＜ C. ＞ D. ＞ 解析：由a＞b＞0，得 ＜ ，所以 ＜1，即 ＜ ，（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＞4ab，即 ＜ ，故选项A、B、D均成立. √ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 若x＞0，则y＝ ＋x的最小值为 ⁠. 解析：∵x＞0， ＞0，∴y＝x＋ ≥2 ＝4，当且仅当x＝ ，即x ＝2时，等号成立，故ymin＝4. 4　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 14 题型一　对基本不等式的理解 给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴ ＋a≥2 ＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－ 2 ＝－2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 其中正确的推导为（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 解析：　①∵a，b为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确.②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴ ＋a≥2 ＝4是错误的.③由xy＜0，得 ， 均为负数，但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后， ， 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 对∀a，b∈R， ≥ 成立 B. 若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2 C. 对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D. 若x＞2，则x＋ ≥2中可以取等号 解析：A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋ ≥2 ＝2取等号的条件为 无解，不等式中不可取等号. √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　利用基本不等式比较大小 若a，b∈R，则下列不等式恒成立的是（　　） A. ≥ B. ＋ ≥2 C. ≥（ ）2 D. （a＋b）（ ＋ ）≥4 解析：令a＝－2，b＝2，则A、B、D均错误.对于C，∵a2＋b2≥2ab，∴2a2＋2b2≥a2＋b2＋2ab，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，∴ ≥（ ）2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 运用基本不等式比较大小的注意点 （1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形； （2）应注意成立的条件，即a＋b≥2 成立的条件是a≥0，b≥0，等 号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立 的条件是a＝b. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知a，b，x，y都是正实数，且 ＋ ＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的 大小关系是 ⁠. 解析：因为1＝ ＋ ≥2 ＝2 ，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立；xy≤ ＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以 ab≥xy. ab≥xy　 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　应用基本不等式证明不等式 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证： ≥8. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以 －1＝ ＝ ≥ ，同理 －1≥ ， －1≥ . 上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘， 得 ≥ · · ＝8. 当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 1. （变设问）在本例条件下，求证： ＋ ＋ ≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立. 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. （变条件，变设问）本例条件变为“a＋b＝1，a＞0，b＞0，”求 证： ≥9. 证明：∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴ ＝ ＝ ＝5＋2 ≥5＋4 ＝9，当且仅当a＝b ＝ 时，等号成立. ∴ ≥9. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和 有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已 知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累 加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能 直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥ ＋ ＋ . 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以由基本不等式，得a＋b≥2 ，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2 ，当且仅当b＝c时，等号成立， a＋c≥2 ，当且仅当a＝c时，等号成立. 上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2 ＋2 ＋2 ，即a＋b＋ c≥ ＋ ＋ ， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 下列不等式一定成立的是（　　） A. x2＋ ＞x B. x＋ ≥2 C. x2＋1≥2｜x｜（x∈R） D. ＞1（x∈R） 解析：选项A中，当x＝ 时，x2＋ ＝x，故选项A不正确；选项B中，当x＜0时，－x＋ ≥2，所以x＋ ≤－2，故选项B不正确；选项C中，x2－2｜x｜＋1＝（｜x｜－1）2≥0（x∈R），故选项C正确；选项D中， ∈（0，1]（x∈R），故选项D不正确. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B. a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C. a＋b≥2 成立的条件是a≥0，b≥0 D. a＋b≥2 成立的条件是ab＞0 解析：根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C. √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 下列不等式中，正确的是 （填序号）. ①a＋ ≥4；②a2＋b2≥4ab；③ ≥ ；④x2＋ ≥2 . 解析：a＜0，则a＋ ≥4不成立，故①错；a＝1，b＝1，则a2＋b2＜ 4ab，故②错；a＝4，b＝16，则 ＜ ，故③错；由基本不等式可 知④正确. ④　 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知a，b都是正数，求证：（a＋ ）（b＋ ）≥4. 证明：∵a＞0，b＞0， ∴a＋ ≥2 ＝2，b＋ ≥2 ＝2. 由不等式的性质，得（a＋ ）（b＋ ）≥4， 当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立. 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 31 1. 给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜ 0.其中可使 ＋ ≥2成立的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　根据基本不等式的条件，a，b同号，则 ＋ ≥2，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. a，b∈R，则a2＋b2与2｜ab｜的大小关系是（　　） A. a2＋b2≥2｜ab｜ B. a2＋b2＝2｜ab｜ C. a2＋b2≤2｜ab｜ D. a2＋b2＞2｜ab｜ 解析：　∵a2＋b2－2｜ab｜＝（｜a｜－｜b｜）2≥0，∴a2＋b2≥2｜ ab｜（当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等号成立）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. a2＋b2＞2ab B. a＋b≥2 C. ＋ ＞ D. ＋ ≥2 解析：∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误；对于B、C，当a＜0，b＜0时，显然错误；对于D，∵ab＞0，∴ ＋ ≥2 ＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 〔一题多解〕设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是 （　　） A. B. a2＋b2 C. 2ab D. a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　法一　因为0＜a＜b，所以1＝a＋b＞2a，所以a＜ .又因为 a2＋b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1＝a＋b ＞2 ，所以ab＜ ，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab＞1－ ＝ ，即a2＋b2＞ ，故选B. 法二（特值检验法）　取a＝ ，b＝ ，则2ab＝ ，a2＋b2＝ .因为 ＞ ＞ ＞ ，所以a2＋b2最大，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　） A. ＋ ＞ B. a＋ ≥2 C. ｜ ＋ ｜≥2 D. 2（a2＋b2）≥（a＋b）2 解析：当a＝－1，b＝－1时，ab＞0， ＋ ＞ 不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋ ≥2不成立，故B不符合题意；｜ ＋ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是（　　） A. ab≥ B. ＋ ≥ C. ＋ ≥4 D. a2＋b2≥ 解析：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2 ，∵ab≤ ，∴A错误；（ ＋ ）2＝a＋b＋2 ＝1＋2 ≤1＋2 ＝2，∴ ＋ ≤ ，∴B错误； ＋ ＝ ＝ ≥4，∴C正确；a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab≥1－2× ＝ ，∴D正确，故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 已知y＝4x＋ （x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，则a的值 为 ⁠. 解析：∵y＝4x＋ （x＞0，a＞0），∴y＝4x＋ ≥2 ＝4 ， 当且仅当4x＝ 即x＝ 时，等号成立.又∵y＝4x＋ （x＞0，a＞0） 在x＝3时取得最小值，∴ ＝3，∴a＝36. 36　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 已知a，b是不相等的正数，x＝ ，y＝ ，则x，y的大小 关系是 ⁠. 解析：x2＝ ，y2＝a＋b＝ ， ∵a＋b＞2 （a≠b），∴x2＜y2，∵x，y＞0，∴x＜y. x＜y　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 设a＞0，b＞0，且不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，则实数k的取值范 围是 ⁠. 解析：因为a＞0，b＞0，所以原不等式可化为k≥－ （a＋b）， 所以k≥－ －2.因为 ＋ ≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）， 所以－ －2≤－4，所以k≥－4，即k的取值范围是[－4，＋∞）. [－4，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋ ）（1＋ ）≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋ ＝1＋ ＝2＋ ， 同理1＋ ＝2＋ ， 所以 （1＋ ）＝（2＋ ）（2＋ ） ＝5＋2（ ＋ ）≥5＋4＝9， 当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 时等号成立， 所以（1＋ ）（1＋ ）≥9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 设a＞0，b＞0，则“a＋b≤1”是“ ＋ ≥8”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：a＞0，b＞0，若a＋b≤1，则 ＋ ≥ ＋ ＝2＋ ＋ ＋ ＋ ≥2＋2 ＋2 ＝8，当且仅当a＝b＝ 时等号同时成立，充分性满足；若 ＋ ≥8，a＋b≤1不一定成立，例如a＝1，b＝ 时， ＋ ≥8，但a＋b＞1，必要性不满足，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的 是（　　） A. a＋b＋c≤ B. （a＋b＋c）2≥3 C. ＋ ＋ ≥2 D. a2＋b2＋c2≥1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三个不等式全部相加得2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－ 或a＋b＋c≥ ，若a＝b＝c＝－ ，则 ＋ ＋ ＝－3 ＜2 ，因此，A、C选项错误，B、D选项正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 已知a＞b＞c，则 与 的大小关系 是 ⁠. 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴ ＝ ≥ ，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号. ≤ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 设a，b，c都是正数，试证明不等式： ＋ ＋ ≥6. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以 ＋ ≥2， ＋ ≥2， ＋ ≥2， 所以 ＋ ＋ ≥6， 当且仅当 ＝ ， ＝ ， ＝ ，即a＝b＝c时，等号成立. 所以 ＋ ＋ ≥6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $