第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式的应用，系统梳理利用“1”的代换、消元法、换元法求复杂式子最值的方法，衔接实际问题中面积与费用的最优化问题，构建从公式变形到实际应用的递进学习支架。 通过多维度例题延伸（如例1的4个变式）和生活情境问题（动物园禽舍设计、围栏面积优化），引导学生用数学眼光观察现实数量关系，用数学思维推理最值条件，用数学语言表达模型。课中助力教师分层教学，课后对点练帮助学生强化方法，弥补知识盲点。

第2课时　基本不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.3.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 一、利用基本不等式求复杂式子的最值问题 例1　若x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值. 解　方法一　(巧用“1”的代换求最值) ∵＝1，x>0，y>0， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋≥10＋2＝16， 当且仅当即x＝4，y＝12时，等号成立. 即x＋y的最小值为16. 方法二　(分离消元法求最值) ∵＝1，∴y＝＝9＋， ∵x>0，y>0，∴x>1， ∴x＋y＝x＋9＋＝(x－1)＋＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立， 此时，y＝12，x＋y的最小值为16. 延伸探究1　若x>0，y>0，x＋y＝1，求的最小值. 解　∵x＋y＝1，x>0，y>0， ∴(x＋y)＝10＋≥10＋2＝16， 当且仅当，即x＝，y＝时，等号成立， 即的最小值为16. 延伸探究2　若x>0，y>0，xy＝9x＋y，求x＋y的最小值. 解　∵x>0，y>0，xy＝9x＋y，∴＝1， 由例1可知，x＋y的最小值为16. 延伸探究3　若x>1，y>9，xy＝9x＋y－8，求x＋y的最小值. 解　由xy＝9x＋y－8得(x－1)(y－9)＝1， 又x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝12， 当且仅当x－1＝y－9＝1，即x＝2，y＝10时，等号成立，即x＋y的最小值为12. 延伸探究4　若x>1，y>9，xy＝9x＋y－8，求xy的最小值. 解　由xy＝9x＋y－8得y＝， ∴xy＝x·， 令t＝x－1，则x＝t＋1且t>0， ∴xy＝(t＋1)· ＝＝9t＋＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当9t＝，即t＝，即x＝，y＝12时，等号成立，即xy的最小值为16. 反思感悟　(1)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. (2)对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. (3)当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式. 二、基本不等式在实际问题中的应用 例2　(课本例5)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(接头处不计) (1)现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ (2)若使每间禽舍面积为24 m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 解　(1)设每间禽舍的长为x m，宽为y m， 则4x＋6y＝36， 即2x＋3y＝18. 设S＝xy(0<x<9，0<y<6).应用基本不等式，有2x＋3y≥2， 即2·≤18. 所以S≤13.5. 当且仅当2x＝3y时，不等式中的等号成立，此时解得 因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5 m和3 m时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为13.5 m2. (2)由(1)得S＝xy＝24，x>0，y>0， 设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y， 又4x＋6y≥2＝4·＝48， 当且仅当4x＝6y，即2x＝3y时，等号成立， 此时解得 所以当每间禽舍的长、宽分别设计为6 m和4 m时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小，为48 m. 例2　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一　由已知得xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二　由已知xy＝16，得y＝， 所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16. 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 延伸探究5　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解　由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy， 由≤＝3， 可得xy≤9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立. 因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用基本不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 跟踪训练　某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ 注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝. 解　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为. 设每平方米的平均综合费用为y元， 则y＝560＋48x＋＝560＋48. 当x＋取最小值时，y有最小值. ∵x>0，∴x＋≥2＝30， 当且仅当x＝，即x＝15时，等号成立. ∴当x＝15时，y有最小值2 000. 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 1.知识清单： (1)利用基本不等式求复杂式子的最值. (2)基本不等式在实际问题中的应用. 2.方法归纳：消元法、换元法、常数代换法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.若x>0，y>0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　x＋y＝(x＋y)＝5＋ ≥5＋2＝9， 当且仅当，即x＝3，y＝6时取等号， 故x＋y的最小值是9. 2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 答案　B 解析　假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升. 第一种方案的均价为≥； 第二种方案的均价为≤. 所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算. 3.已知正实数x，y满足＝1，则4xy－3x的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　B 解析　由x>0，y>0，且＝1，可得xy＝x＋y. 所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y. 又因为x＋4y＝(x＋4y) ＝5＋≥9， 当且仅当，即x＝3，y＝时取等号， 所以4xy－3x的最小值为9. 4.已知x>0，y>0，xy＝x＋4y，则x＋y＋的最小值为(　　) A.10 B.6 C.4 D.9 答案　A 解析　由xy＝x＋4y，得＝1， 所以x＋y＋＝(x＋y)＋1＝4＋1＋＋1≥6＋2＝6＋4＝10， 当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立， 所以x＋y＋的最小值为10. 5.(多选)已知正数x，y满足x＋y＝2，则下列选项正确的是(　　) A.的最小值是2 B.xy的最大值是1 C.x2＋y2的最小值是4 D.x(y＋1)的最大值是2 答案　AB 解析　因为正数x，y满足x＋y＝2， 所以(x＋y) ＝×≥×＝2， 当且仅当即x＝y＝1时，等号成立， 所以的最小值是2，故A正确； 因为正数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤＝1， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 所以xy的最大值是1，故B正确； 由≤，得x2＋y2≥2， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 所以x2＋y2的最小值是2，故C错误； x(y＋1)≤， 当且仅当即x＝，y＝时，等号成立， 所以x(y＋1)的最大值是，故D错误. 6.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 答案　B 解析　设BC＝a，CD＝b， 因为矩形的面积为4，所以ab＝4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 2a＋b＝2a＋≥2＝4， 当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4. 7.(5分)若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是　　　　.  答案　 解析　因为a，b都是正数，且a＋b＝1， 所以(a＋1)(b＋1)≤， 当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时，等号成立.所以(a＋1)(b＋1)的最大值为. 8.(5分)若实数a，b满足a2＋2ab＝1，则a2＋b2的最小值是　　　　.  答案　 解析　由a2＋2ab＝1可得b＝， 所以a2＋b2＝a2＋ ≥2， 当且仅当a2＝时，等号成立. 9.(10分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(5分) (2)x＋y的最小值.(5分) 解　(1)方法一　由x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，得＝1， 则1＝≥2，得xy≥64， 当且仅当， 即x＝16，y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. 方法二　因为x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 所以xy＝2x＋8y≥2， 所以xy≥8，即≥8，xy≥64， 当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， 所以xy的最小值为64. (2)由(1)可得＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋≥10＋2＝18， 当且仅当，即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 10.(11分)某采摘园内有一块场地，如图所示，某设计公司欲在△ACD，△ABD，△BDE三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知AC＝BE，∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＋BC＝4，设BC＝x(单位：km). (1)请用x表示CD；(5分) (2)当x取何值时，△ACD的面积最大，并求最大值.(6分) 解　(1)因为∠ACB＝∠AEB＝90°， AC＝BE＝4－BC＝4－x， 所以Rt△ACD≌Rt△BED ⇒CD＝DE， 在Rt△BED中，BD2＝DE2＋BE2， 所以(x－CD)2＝CD2＋(4－x)2， 整理得CD＝4－(0<x<4). (2)由(1)得△ACD的面积为 S△ACD＝AC·CD＝(4－x)＝12－≤12－2＝12－8， 当且仅当2x＝，即x＝2时等号成立， 所以当x＝2时，△ACD的面积最大，最大值为(12－8)km2. 11.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　) A.3 B.8 C.4 D.9 答案　A 解析　由题意知，p＝7，易知7－b>0，7－c>0，S＝≤·＝3， 当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立， 因此三角形面积的最大值为3. 12.(多选)若x>0，y>0，x＋2y＝1，则下列说法正确的是(　　) A.xy的最大值是 B.的最小值是8 C.4x2＋y2的最小值为 D.的最小值是4 答案　AB 解析　∵x＋2y＝1≥2， ∴xy≤，当且仅当 即时等号成立，故A正确； (x＋2y)＝4＋ ≥4＋2＝8， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 4x2＋y2＝4(1－2y)2＋y2＝17y2－16y＋4 ＝17≥， 当且仅当y＝时等号成立，故C错误； ＝2≥4， 当且仅当xy＝1时等号成立，而0<xy≤，∴等号不成立，故D错误. 13.(5分)不等式(x＋y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　　　　.  答案　16 解析　(x＋y)＝1＋a＋ ≥1＋a＋2 ＝1＋a＋2＝(＋1)2， 当且仅当时取等号，即(x＋y)的最小值为(＋1)2. 若不等式(x＋y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则(＋1)2≥25， 即＋1≥5，则≥4，则a≥16， 即正实数a的最小值为16. 14.(5分)已知对任意的正数a，b，c，有≥成立，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.若0<m<3，则m2(3－m)的最大值为　　　　.  答案　4 解析　根据题意可得m2(3－m)＝×m×m(6－2m)≤＝4， 当且仅当m＝6－2m，即m＝2时，等号成立， 故m2(3－m)的最大值为4. 15.(5分)若x，y是正数，则的最小值是　　　　.  答案　4 解析　 ≥2＝2 ≥2＝4， 当且仅当x＝y＝时取等号. 故所求的最小值为4. 16.(12分)某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2 000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18 000元(长方体保护罩最大容积为10立方米). (1)求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；(6分) (2)求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.(6分) 解　(1)设保险费用为y1＝，代入x＝4，y1＝18 000，解得t＝72 000， 则总费用y＝2 000(x－0.5)＋(0.5<x≤10)， 即y＝2 000x＋－1 000(0.5<x≤10). (2)由基本不等式可得 y＝2 000x＋－1 000≥2－1 000＝24 000－1 000＝23 000， 当且仅当2 000x＝，即x＝6时等号成立. 故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小，最小值为23 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $