1.3.1 第1课时 不等关系与不等式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”，涵盖用不等式（组）表示实际问题、作差法比较实数大小等核心内容，通过生活中长短、轻重等情境导入，引导学生从具体现象抽象出数学不等关系，为后续不等式性质学习构建认知基础。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理和数学运算为核心，通过分层典例（如用不等式组表示交通工具速度关系、作差法比较多项式大小）和实际应用题型（如包车优惠方案比较），结合通性通法总结，帮助学生提升用数学语言表达现实世界的能力，教师可借助清晰结构高效教学，学生能在实践中深化思维。

3.1　不等式的性质 第一课时　不等关系与不等式 第一章　预备知识 1 课标要求 1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.初步学会作差法、作商法比较两个实数的大小（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　实际生活中： 【问题】　在数学中，我们怎样来表示相等与不等关系呢？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么 ⁠ a－b＞0⇔ ⁠ 如果a－b等于0，那么 ⁠ a－b＝0⇔ ⁠ 如果a－b是负数，那么 ⁠ a－b＜0⇔ ⁠ a＞b　 a＞b　 a＝b　 a＝b　 a＜b　 a＜b　 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒：（1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多 少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式； （2）对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小；（3）对 于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意两个实数都能比较大小. （　√　） （2）实数m不大于－2，用不等式表示为m≥－2. （　×　） 2. 大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥， 应使车和货物的总质量T满足关系 ⁠. 解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思. √ × T≤40　 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知a＞0，b＞0，设m＝a－2 ＋2，n＝2 －b，比较m，n的大 小. 解：m－n＝a－2 ＋2－2 ＋b ＝（ －1）2＋（ －1）2≥0，所以m≥n. 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 10 题型一　用不等式（组）表示不等关系 （1）〔多选〕下面说法正确的是（　　） A. x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0” B. 某商品原价为x元，打8折后不超过100元，可表示为0.8x＜100 C. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为 “a＋b＞c且a＋c＞b且b＋c＞a” D. 若某天的最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t ℃可表示 为“7≤t≤13” √ √ 解析：x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误.“不超过”就是小于或等于，应写成0.8x≤100，故B错误.C、D正确. 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：设复兴号列车的速度为v1，民航飞机的最低速度为v2，普通客车的速 度为v3，则有 （2）京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低速度，该速度超过了普通客车速度的3倍，请 你用不等式表示这三种交通工具的速度关系. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时：（1）要先读懂题， 设出未知量；（2）抓关键词，找到不等关系；（3）用不等式表示不等关 系.思维要严密、规范. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　某汽车货运公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000 万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型汽车和B型汽车.根据需 要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关 系的不等式. 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：设分别购买A型汽车和B型汽车x辆，y辆， 则 即 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　作差法比较大小 已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小. 解：∵a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2） ＝a2（a－b）＋b2（b－a） ＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）. 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，（a－b）2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 　（变条件）若a＞0，b＞0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？ 解：（a5＋b5）－（a3b2＋a2b3）＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3（a2－b2）＋b3（b2－a2）＝（a2－b2）（a3－b3） ＝（a－b）2（a＋b）（a2＋ab＋b2）. ∵a＞0，b＞0， ∴（a－b）2≥0，a＋b＞0，a2＋ab＋b2＞0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号.作差法比较实数的 大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变 形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一 些易判断符号的因式积的形式. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （1）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小； 解：（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝（x＋ ）2＋ . ∵（x＋ ）2≥0，∴（x＋ ）2＋ ≥ ＞0， ∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）＝3x2（x－1）＋（x －1）＝（3x2＋1）（x－1）， 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴（3x2＋1）（x－1）≤0， ∴x≤1时，3x3≤3x2－x＋1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　不等关系的实际应用 某单位职工去北京瞻仰伟大领袖毛主席遗容，需包车前往.甲车队 说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说： “你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样 的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：设该单位职工有n人（n∈N＋），全票价为x元，坐甲车队的车需花 y1元，坐乙车队的车需花y2元. 由题意，得y1＝x＋ x·（n－1）＝ x＋ nx，y2＝ nx. 因为y1－y2＝ x＋ nx－ nx＝ x－ nx ＝ x ， 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2； 当n＜5时，y1＞y2. 所以当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更 优惠；少于5人时，选乙车队更优惠. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 1. “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这 个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论. 2. 这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤 完整. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每 件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发 件，最高产值 为 万元. 20　 330　 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件（50－x）件.根 据题意，得 ＋ ≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6（50 －x）＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总 产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 某学生期中考试数学成绩x不低于90分，英语成绩y和语文成绩z的总成 绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意可得 故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人 400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人需 满足的关系式是（　　） A. 5x＋4y＜200 B. 5x＋4y≥200 C. 5x＋4y＝200 D. 5x＋4y≤200 解析：由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（　　） A. a＞b B. a＜b C. a≥b D. a≤b 解析：a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 若x＝（a＋3）（a－5），y＝（a＋2）（a－4），则x与y的大小关 系是 ⁠. 解析：x－y＝（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－ 15）－（a2－2a－8）＝－7＜0，所以x＜y. 5. 若0＜x＜1，则x， ， ，x2中最小的是 ⁠. 解析：因为0＜x＜1，所以 ＞1，0＜ ＜1，0＜x2＜1，因为 ＝ ＜ 1， ＝x＜1，所以x＜ ，x2＜x即x2＜x＜ ＜ . x＜y　 x2　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. 下列说法正确的是（　　） A. 某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B. 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C. 变量x不小于a可表示为“x≥a” D. 变量y不超过a可表示为“y≥a” 解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速 度为每秒 4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全 区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A. 4× ≥100 B. 4× ≤100 C. 4× ＞100 D. 4× ＜100 解析：导火索燃烧的时间为 秒，人在此时间内跑的路程为4× m. 由题意可得4× ＞100. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知a1，a2∈{x｜0＜x＜1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是（　　） A. M＜N B. M＞N C. M＝N D. 不确定 解析：由题意得0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1 ＝（a1－1）（a2－1）＞0，故M＞N. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知a＞0，b＞0，M＝ ＋ ，N＝ ，则（　　） A. M＞N B. M＝N C. M＜N D. 不能确定 解析：易知M＞0，N＞0，因为M2－N2＝（ ＋ ）2－（ ）2＝2 ＞0，所以M＞N. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子 长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为（　　） A. B. 2x－5≥1或5－2x≥1 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　由题意，可知另一段绳子的长度为（5－x）m.因为两段绳子的 长度之差不小于1 m，所以 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕若a＝2x2－8x＋11，b＝x2－6x＋9，c＝1－ ，则（　　） A. b＞a B. a＞c C. ac＞bc D. b＞c 解析：因为a＝2x2－8x＋11，b＝x2－6x＋9，所以a－b＝（x－1）2＋1＞0，故a＞b，又b＝（x－3）2≥0，c＝1－ ＜0，所以ac－bc＝c（a－b）＜0，即ac＜bc.故A、C错，B、D正确，故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分， 不答得零分.某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不 低于80分，列出其中的不等关系： ⁠ （不用化简） 解析：这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2（19－x） ≥80，1≤x≤19，x∈N＋. 5x－2（19－x）≥80，1≤x≤19， x∈N＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝 对值的不等式表示该商品的重量的不等式为 ⁠. 解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－ 1≤x－500≤1，∴｜x－500｜≤1. ｜x－500｜≤1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 若x∈R，则 与 的大小关系为 　 ≤ 　. 解析：∵ － ＝ ＝ ≤0. ∴ ≤ . ≤ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小. 解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2（a－b）＋a－b＝（a－b）（a2 ＋1）， 所以当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七 十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比 小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则 在这个问题中大竹子每根的单价可能为（　　） A. 6钱 B. 7钱 C. 8钱 D. 9钱 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子（78 －x）根，每根单价为（m－1）钱，所以576＝mx＋（78－x）（m－ 1），即78m＋x＝654，即x＝6（109－13m），因为0≤x≤78，所以 即 所以 ≤m≤ ，根据选项知 m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 若a＜0，b＜0，则p＝ ＋ 与q＝a＋b的大小关系为（　　） A. p＜q B. p≤q C. p＞q D. p≥q 解析：　根据题意，得p－q＝ ＋ －a－b＝ ＋ ＝（b2－ a2）· ＝ ＝ .因为a＜0，b＜0， 所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q；若a≠b，则 p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的， 图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种 关系用含字母a，b的不等式表示出来为 ⁠. （a2＋b2）＞ab　 解析：由题图可知，题图①广告牌的面积 S1＝ （a2＋b2），题图②广告牌的面积 S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即 （a2＋ b2）＞ab. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m， 和墙相对的一边长为x m. （1）若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等 关系； 解：因为矩形菜园和墙相对的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18，这时菜园的另一边长为 ＝（15－ ）m， 所以菜园的面积S＝x（15－ ），依题意有S≥110，即x（15－ ） ≥110，故该题中的不等关系可用不等式组表示为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系. 解：由题得 所以8≤x≤11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $