第1章 周末练2 范围：第1章§3（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

这是一份高中数学周测资料（周末练2），范围为第一章§3，包含14道题，题型有单项选择、多项选择、填空及解答题。内容聚焦不等式性质、基本不等式应用及实际问题，每道题均附详细解析，提供作差法、特值法等多种解题思路，构建完整学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过企业利润计算等实际情境引导学生用数学眼光观察现实问题，借助多方法解析（如基本不等式“1的代换”）训练数学思维，以规范符号表达和分步推理强化数学语言。能帮助学生巩固基础、提升解题能力，为教师提供学情反馈和教学参考。 高一学生正处于初高中数学思维过渡阶段，需重点培养抽象能力和逻辑推理习惯，本资料通过针对性练习和详细解析，助力学生适应高中数学学习，夯实不等式模块基础，为后续学习奠定基础。

周末练2 范围：第一章§3 第一章　预备知识 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C C B ACD ABD 题号 9 10 11 12 答案 AB > 6 －2<7a＋4b≤7 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)因为a，b∈R且a>0，b>0，由基本不等式可得1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时，等号成立，所以0<ab≤， 因此ab的最大值为. (2)由a>0，b>0，4ab＝3a＋5b，得＝4， 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则5a＋3b＝(5a＋3b)××≥×＝×(34＋30)＝16， 当且仅当，即a＝b＝2时，等号成立， 所以5a＋3b的最小值为16. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件的售价为万元， 即万元. ∴该企业的年销售收入为·Q＝万元. ∴W＝48Q＋－32Q－3－x＝16Q＋(x≥0). 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)∵W＝(x≥0)， ∴W＝＝－＋50＝－＋50 ≤－2＋50＝42. 当且仅当，即x＝7时，等号成立. ∴Wmax＝42. ∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元. 一、单项选择题 1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是 A.60＋30n≥300 B.60＋30n≤300 C.60＋30(n－1)≤300 D.60＋30(n－1)≥300 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万， ∴60＋30(n－1)≥300. 解析 2.设M＝2a(a－1)＋9，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是 A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵M＝2a(a－1)＋9，N＝(a－2)(a－3)， ∴M－N＝2a2－2a＋9－(a2－5a＋6)＝2a2－2a＋9－a2＋5a－6 ＝a2＋3a＋3＝， ∵∀a∈R，>0恒成立， ∴M－N>0，∴M>N. 解析 3.已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有 A.若a>b>0，ac>bd>0，则c>d B.若<，则a>b C.若ac2>bc2，则a>b D.若>，则a>b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a＝3，c＝1，b＝1，d＝2满足a>b>0，ac>bd>0，但c<d，故A错误； a＝－1，b＝1满足<，但a<b，故B错误； 当ac2>bc2时，c2>0，∴a>b，故C正确； >⇒>0⇒b－a>0，故D错误. 解析 4.已知实数0<a<1，则以下不等式关系正确的是 A.a2>>a>－a B.a>a2>>－a C.>a>a2>－a D.>a2>a>－a √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　∵0<a<1， ∴0<a2<1，>1，－1<－a<0， 由0<a<1，得0<a2<a， 即>1>a>a2>0>－a， ∴>a>a2>－a. 方法二　特值法 取a＝，计算可得选C. 解析 5.已知a>0，b>0，且，则4a＋b的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　∵a>0，b>0，且， 即＝1， 从而4a＋b＝4(a＋4)＋b－16＝[4(a＋4)＋b]－16 ＝15＋－16≥2－1＝11， 当且仅当，即a＝，b＝9时，等号成立. ∴4a＋b的最小值为11. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二　∵a>0，b>0，， ∴b＝＝3＋. ∴4a＋b＝4a＋＋3＝4(a＋1)＋－1≥2－1＝11. 当且仅当4(a＋1)＝，即a＝，b＝9时，等号成立. ∴4a＋b的最小值为11. 解析 6.“>2”是“>>0”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由>2得－2＝>0， 所以即a>0，b>0，a≠b或a<0，b<0，a≠b， 所以充分性不成立； 由>>0知，b>a>0， 所以≥2＝2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当且仅当，即a＝b时等号成立， 又因为b>a>0，所以>2，所以必要性成立. 所以“>2”是“>>0”的必要不充分条件. 解析 二、多项选择题 7.下列不等式正确的是 A.(x－1)2>x(x－2) B.≥ C.a2＋b2≥2(a－b－1) D.a2＋b2≥2ab 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，(x－1)2－x(x－2)＝x2－2x＋1－x2＋2x＝1>0，∴(x－1)2>x(x－2)，A正确； 对于B，，则a2b2>0，但a2＋b2－1的符号不能确定，B不正确； 对于C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，C正确； 对于D，a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，D正确. 解析 8.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是 A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.ab2>cb2 D.ac(a－c)<0 ∵c<b<a且ac<0，∴c<0，a>0，由b>c两边同时乘以a得ab>ac，即A一定成立； ∵b－a<0，∴c(b－a)>0，即B一定成立； b2是非负的，虽然a>c，但当b2＝0时，ab2＝cb2，即C不一定成立； ∵a－c>0，∴ac(a－c)<0，即D一定成立. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 A.a2＋b2≥8 B.≥ C.≥2 D.≤1 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴a2＋b2≥＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号，故A恒成立； 对于B，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴ab≤＝4， 当且仅当a＝b＝2时取等号， ∴≥，故B恒成立； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴≤＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故C不恒成立； 对于D，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴(a＋b)＝1， (a＋b)≥×2＝1， 当且仅当，即a＝b＝2时取等号，故D不恒成立. 解析 三、填空题 10.　　　 .(填“>”或“<”) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > 因为＝17＋2， ＝17＋2>>. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.设a>0，b>0，则的最小值为　　　.  6 由a>0，b>0，得＝1＋＋1≥2＋2＝6， 当且仅当，即2a＝b时取等号. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知2<a＋2b≤5，－2≤3a＋b≤1，则7a＋4b的取值范围为__________ 　 　. －2<7a＋4b 设7a＋4b＝x(a＋2b)＋y(3a＋b)＝(x＋3y)a＋(2x＋y)b， 所以 因为2<a＋2b≤5，－2≤3a＋b≤1， 则－4≤2(3a＋b)≤2， 因此，－2<7a＋4b≤7. 解析 ≤7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 13.(1)已知a，b∈R且a>0，b>0，4a＋b＝1，求ab的最大值； 因为a，b∈R且a>0，b>0，由基本不等式可得1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时，等号成立，所以0<ab≤， 因此ab的最大值为. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)已知正数a，b满足4ab＝3a＋5b，求5a＋3b的最小值. 由a>0，b>0，4ab＝3a＋5b，得＝4， 则5a＋3b＝(5a＋3b)××≥×＝×(34＋30)＝16， 当且仅当，即a＝b＝2时，等号成立， 所以5a＋3b的最小值为16. 解 14.★★某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q＝(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件的售价为 万元， 即万元. ∴该企业的年销售收入为·Q＝万元. ∴W＝48Q＋－32Q－3－x＝16Q＋(x≥0). 解 (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵W＝(x≥0)， ∴W＝＝－＋50＝－＋50 ≤－2＋50＝42. 当且仅当，即x＝7时，等号成立. ∴Wmax＝42. ∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元. 解 第一章　预备知识 <<< $