1.1.1 第1课时 集合的概念(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件围绕集合的概念、元素与集合的关系及常见数集展开，以学校开学通知实例导入，通过“通知对象能否构成集合”等问题，衔接预备知识与后续数学内容，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动数学抽象，通过“高个子男生是否为集合”等辨析培养逻辑推理，典例研析结合通性通法总结。学生能深化概念理解，教师可依托分层练习提升教学实效，落实核心素养。

1.1　集合的概念与表示 第一章　预备知识 1 课标要求 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象）. 第一课时　集合的概念 第一章　预备知识 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午6点钟开始在班级进行开 学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书《三维设计》. 【问题】　（1）这个通知的对象有哪些？ （2）这些对象能构成一个集合吗？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点一　集合与元素 1. 集合 提醒：（1）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可 以是人或物等；（2）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个. 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 元素 提醒：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说集合中的元素没有 重复. 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 同一个集合 只要构成两个集合的元素 ，无关顺序，我们就称这两个集合是同 一个集合. 提醒：集合中的元素具有三个特性：①确定性：作为一个集合中的元素， 必须是确定的，不确定的对象不能构成集合；②互异性：对于一个给定的 集合，集合中的元素一定是不同的；③无序性：构成集合的元素无先后顺 序之分. 相同　 【想一想】 某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合. 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点二　元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果元素a 集合A中，就说元素 a 集合A ⁠ ⁠ a属于集合A 不属于 如果元素a 集合A中，就说元素a不属于集合A ⁠ ⁠ a不属于集 合A 提醒：符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间 的从属关系，注意开口方向. 在　 属于　 a∈A 不在　 a∉A 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点三　常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ N N＋或N* Z Q R R＋ 【想一想】 N与N＋（N*）有何区别？ 提示：N＋（N*）是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组 成的集合. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）我校今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合. （　×　） （2）元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一个集合. （　√　） （3）0是自然数. （　√　） （4）单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素. （　×　） × √ √ × 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 〔多选〕下列各项中，可以组成集合的是（　　） A. 所有的正数 B. 等于2的数 C. 接近于0的数 D. 不等于0的偶数 解析：集合中的元素满足三个特征：确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”标准不明确，故接近于0的数不能组成集合.故选A、B、D. √ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 方程x2－1＝0所有实数解组成的集合中共有 个元素. 解析：由x2－1＝0，得x＝±1，故集合中共有2个元素1和－1. 4. 用“∈”或“∉”填空： N； －3 Z； Q； R. 2　 ∉　 ∈　 ∉　 ∈　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　集合的基本概念 （1）〔多选〕下列所给对象能构成集合的是（　AD　） A. 平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B. 高中数学必修第一册课本上的所有难题 C. 比较接近1的整数的全体 D. 某校高一年级的16岁以下的学生 AD 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“到原点的距离 等于1的点”；B、C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1” 的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；D中的对象能构成集 合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”，故选 A、D. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝ Q，则a＝ ⁠. 解析：由题意得a2＝4，即a＝±2. ±2　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 1. 判断一组对象能构成集合的条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不 是给定集合的元素； （2）任何两个对象都是不同的； （3）对元素出现的顺序没有要求. 2. 判断两个集合是同一个集合的注意点 若两个集合是同一个集合，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的 元素不一定按顺序对应相等. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 中国的所有直辖市可以组成一个集合 B. 高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C. 正偶数的全体可以组成一个集合 D. 大于2 010且小于2 026的所有整数不能组成集合 解析：A中我国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，是确定的，可以组成集合，正确；B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以B错误；C中正偶数的全体可以组成一个集合，正确；D中的所有整数能组成集合，所以D错误. √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 设a，b是两个实数，集合A中含有0，b， 三个元素，集合B中含有 1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B是同一个集合，则a＋2b ＝ ⁠. 解析：由题意知a＋b＝0，所以 ＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋ 2b＝1. 1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　元素与集合的关系 （1）下列五个关系中，正确的个数为（　C　） ① ∈R；② ∉Q；③｜－3｜∉N；④－ ∈Z. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：由于 ∈R，－ ∈Z， 是无理数，故①②④正确，因为｜－ 3｜＝3是自然数，所以③错误.故选C. C 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若集合A中的元素x满足 ∈N，x∈N，则集合A中的元素为 ⁠ ⁠. 解析：由题意可得x为自然数，所以 可以为6，3，2，因此x的值为2， 1，0.因此A中元素为2，1，0. 2， 1，0　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素直接给出，只要判断该元素在已知集合 中是否出现即可； （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足 集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什 么特征. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 给出下列关系式： ∈R；0.3∈Q； ∈N；－5∈Z. 其中正确的个数 是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：由各个数集的含义可知， ∈R，0.3∈Q，－5∈Z正确，故有3个关系式正确.故选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 设集合D由所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y）构成，则－1 ⁠ D，（－1，1） D（填“∈”或“∉”）. 解析：因为集合D中的元素是所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y）， 所以－1∉D，（－1，1）∈D. ∉　 ∈　 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　集合中元素特性的应用 已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的 值. 解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝ － . 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不满足集合元素的互异性，所 以舍去. 当a＝－ 时，经检验，符合题意.故a＝－ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 1. （变设问）本例集合A中含有三个元素，实数a的取值是否有限制？ 解：有限制. 由元素的互异性可得 解得 所以实数a不能取四个值：14， ，－4，－1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. （变设问）本例集合A中能否只有一个元素？ 解：若该集合中只有一个元素，则有a－2＝2a2＋5a＝12. 由a－2＝12，解得a＝14，此时2a2＋5a＝2×142＋5×14＝462≠12.所以 该集合中不可能只含有一个元素. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 根据集合中元素的特性求参数取值的3个步骤 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一 定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 解析：因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为 ⁠. 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，①当a＝1时，a2＝1，集合A有重复元 素，不符合元素的互异性，∴a≠1；②当a2＝1时，即a＝±1，由①知 a≠1，∴a＝－1，即集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异 性.∴a＝－1. －1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B. 由1，2，3和 ，1， 组成的集合不是同一个集合 C. 不超过20的非负数组成一个集合 D. 方程（x－1）（x＋1）2＝0的所有实数解组成的集合中有3个元素 解析：A项中元素不确定.B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合是同一个集合.D项中方程的实数解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的 四边形可能是（　　） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 解析：由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A. N与N＋是同一个集合 B. N中的元素都是Z中的元素 C. Q中的元素都是Z中的元素 D. Q中的元素都是R中的元素 解析：因为N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确，故选B、D. √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 用∈，∉填空： 已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17 A，－5 ⁠ A. 解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17，得k＝5∈Z. 所以 17∈A. 令3k＋2＝－5，得k＝－ ∉Z. 所以－5∉A. 5. 已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值 为 ⁠. 解析：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符 合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－ 3，符合题意.综上所述，实数a的值为0或－1. ∈　 ∉　 0或－1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 37 1. 若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是（　　） A. 0∈A B. a∉A C. a∈A D. a＝A 解析：由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列正确的是（　　） A. ∈M B. 0∉M C. 1∈M D. － ∈M 解析： ＞1，故A错；－2＜0＜1，故B错；1不小于1，故C错；－2＜－ ＜1，故D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 由实数－a，a，｜a｜， 所组成的集合最多含有的元素个数是 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时， ＝｜a｜＝ 所以一定与a或－a中的一个一致. 故组成的集合中最多含有两个元素，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则x＋ y＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　由题意得x≠0，即 得 故x＋y＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕（2026·天津南开区月考）下列给出的对象能构成集合的有 （　　） A. 某校2026年入学的全体高一年级新生 B. 的所有近似值 C. 某个班级中学习成绩较好的所有学生 D. 不等式3x－10＜0的所有正整数解 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：某校2026年入学的全体高一年级新生确定，元素确定，能构成集合，A正确；精确度不一样得到的近似值不一样，元素不确定，不能构成集合，B错误；学习成绩较好是相对的，故这些学生不确定，不能构成集合，C错误；不等式3x－10＜0的所有正整数解为1，2，3，元素确定，能构成集合，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. N＋中最小的数是1 B. 若－a∉N＋，则a∈N＋ C. 若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2 D. x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 解析：N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝ 时，－a∉N＋，且a∉N＋，故B错误；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形， 则p M，q M. （用“∈”或“∉”填空） 解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M. ∈　 ∉　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共 有 个元素. 解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根 据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R. 若1∉A，2∈A，则实数a的 取值范围为 ⁠. 解析：因为1∉A，2∈A，所以 即－4＜a≤－2. －4＜a≤－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. （1）求元素x应满足的条件； 解：由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3， 解得x≠－1，x≠0，且x≠3. （2）若－2∈A，求实数x的值. 解：若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2时集合中的元素满足互异性.故x＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1 （A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 （　　） A. 2∈A，且2∈B B. （1，2）∈A，且（1，2）∈B C. 2∈A，且（3，10）∈B D. （3，10）∈A，且2∈B 解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕已知x，y为非零实数，代数式 ＋ 的值所组成的 集合为M，则下列判断正确的是（　　） A. 0∉M B. 1∈M C. －2∈M D. 2∈M 解析：当x，y都大于零时， ＋ ＝1＋1＝2；当x，y中一个大于零，另一个小于零时， ＋ ＝0；当x，y都小于零时， ＋ ＝－1－1＝－2.根据元素与集合的关系，可知0∈M，1∉M，－2∈M，2∈M. 故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 若由a， ，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则 a2 027＋b2 027＝ ⁠. 解析：∵由已知a≠0，∴ ＝0，∴b＝0，则集合A中的三个元素为a， 0，1，集合B中的三个元素为a2，a，0，∴a2＝1，即a＝1或－1.当a＝1 时，不成立.当a＝－1时，满足条件，此时，b＝0.∴a2 027＋b2 027＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 设集合A为实数集，且满足条件：若a∈A，则 ∈A（a≠1）.求 证： （1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素； 证明：若a∈A，则 ∈A. ∵2∈A，∴ ＝－1∈A. ∵－1∈A，∴ ＝ ∈A. ∵ ∈A，∴ ＝2∈A. ∴A中必还有另外两个元素，且为－1， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）集合A不可能是单元素集. 证明：若A为单元素集，则a＝ ， 即a2－a＋1＝0，方程无解. ∴a≠ ，∴集合A不可能是单元素集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $