第一单元 集合单元测试 - 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第一单元集合同步综合检测，整合多地区阶段检测与期末真题，覆盖集合概念、关系及运算，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，适配单元复习需求，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合关系、Venn图、子集|结合Venn图（题3）考查直观想象，参数范围题（题4）培养抽象能力| |选择题（多选）|3/18|集合运算、封闭集|题11以封闭集概念深化逻辑推理，体现数学思维| |填空题|3/15|集合相等、实际应用|题13水果店统计问题培养数据意识与应用能力| |解答题|5/77|集合综合运算、创新性质|题19“性质”探究题发展创新意识，多问设计提升推理能力|

人教A版必修第一册同步综合检测 高一数学备课组 第一单元 集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算 同步综合检测 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）下列集合中，与集合相等的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知全集，集合，，则（   ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·吉林松原·阶段检测）已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若（∁UA）∩B＝{2}，（∁UB）∩A＝{4}，则A∪B=（ ）． A．{2，3，4} B．{2．3} C．{2，4} D．{3，4} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·广东广州·期末）设全集，若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）设集合 ， 下列集合运算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，若集合，则的值为________． 13．（24-25高一上·河北·阶段检测）某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果店这三天售出的水果至少有______________种． 14．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合. (1)若集合，写出集合M的所有真子集； (2)． 16．（15分）（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知集合，. (1)若，中有且仅有一个元素，求； (2)若，求. 17．（15分）（25-26高三上·广西钦州·开学考试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 18．（17分）（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 19．（17分）（25-26高一上·广东深圳·期末）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册同步综合检测 高一数学备课组 第一单元 集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算 同步综合检测 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用数集的定义，空集的性质，元素与集合、集合与集合的关系判断各项的正误. 【详解】由于，，，. 故选：B 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，则 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【详解】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系列出不等式组求解即得. 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）下列集合中，与集合相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念和性质逐项判断即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，只有当和时，，故，C正确； D选项，， D错误. 故选：C 6．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知全集，集合，，则（   ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 【答案】D 【分析】根据子集个数公式计算后可判断A的正误，求出集合后求出后可判断BCD的正误. 【详解】对于A，集合的子集有个，故A错误； 对于B，,故，故， 不是中的元素，故不成立，故B错误； 对于C，由B的分析可得中的元素个数为，故C错误； 对于D，由B的分析可得，故D正确. 故选：D. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 8．（25-26高一上·吉林松原·阶段检测）已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若（∁UA）∩B＝{2}，（∁UB）∩A＝{4}，则A∪B=（ ）． A．{2，3，4} B．{2．3} C．{2，4} D．{3，4} 【答案】A 【详解】根据题意可得， 根据韦达定理，可得集合A的另外一个元素为3，所以， 根据题意可得根据韦达定理，可得集合B的另外一个元素为3，所以， 故 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·广东广州·期末）设全集，若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据包含关系和交并补的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C， ，，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）设集合 ， 下列集合运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对集合中分当，，，三种情况讨论，对集合中分和，再逐项判断即可. 【详解】 当时，， 当时，， 当时，， ， 当时，， 当时，， 所以，A正确； ，，B错； ，C正确； ，D正确， 故选：ACD 11．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，若集合，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据集合相等，结合集合的确定性、互异性，分析求解，即可得答案. 【详解】根据题意，，，所以， 故，则， 故，则，解得． 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以． 故答案为：1 13．（24-25高一上·河北·阶段检测）某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果店这三天售出的水果至少有______________种． 【答案】20 【分析】设出未知数，用韦恩图表达出其他量，得到不等式，求出答案. 【详解】设这三天售出相同种类的水果有种， 第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有种， 则这三天售出水果的种类关系如图所示．    由图可知，该水果店这三天售出水果有种， 由，得，所以． 故该水果店这三天售出的水果至少有20种． 故答案为：20 14．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是______． 【答案】10 【分析】根据集合中元素个数分别讨论，即可得出结果. 【详解】当集合中有1个元素时，集合中有5个元素，，，所以，此时，有序集合对为1个； 当集合中有2个元素时，集合中有4个元素，，，所以，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有3个元素时，集合中也有3个元素，，，不符合题意； 当集合中有4个元素时，集合中有2个元素，，，故，，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有5个元素时，集合中有1个元素，此时，故，此时，有序集合对为1个． 综上，满足题意的有序集合对共有（个）． 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合. (1)若集合，写出集合M的所有真子集； (2)． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据题意得到集合M，再根据真子集概念写出即可； （2）根据集合的交并补运算求解即可． 【详解】（1）， 集合M的真子集有：； （2），解得，则， 或，， ， 或， 综上，，或． 16．（15分）（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知集合，. (1)若，中有且仅有一个元素，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据中有且仅有一个元素得出，再应用并集定义计算求解； （2）根据集合间关系分类讨论计算求参. 【详解】（1）集合，中有且仅有一个元素， 所以或，进而得出或， 所以； （2）因为， 当中有且仅有一个元素，当，得出，符合题意；当，得出不合题意舍，所以； 当中有两个元素，，且，所以，当，得出，符合题意； 所以或. 17．（15分）（25-26高三上·广西钦州·开学考试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 18．（17分）（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，，，， (3)能， 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 19．（17分）（25-26高一上·广东深圳·期末）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 【答案】(1)不具备“性质”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）若去掉一个数时，可得集合，得到剩余所有元素之和为，不能分成相等的两个数，所以不具备“性质” （2）若去掉元素，得到或，若去掉元素，得到或，分别联立方程组，推出矛盾，即可得证； （3）设集合中所有元素之和为，得到为偶数，且的奇偶性必相同，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合题设中“性质”定义，进行推理，即可求解. 【详解】（1）集合， 若去掉任意一个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”， 对于集合， 若去掉一个数时，可得集合， 可得，其中为奇数，不能分成相等的两个数， 所以不具备“性质” （2）证明：由五元正整数集合， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 所以当时，集合一定不具备“性质” （3）证明：由集合， 设集合中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 所以的奇偶性必相同， ①若为奇数，则为奇数，所以必为奇数； ②若为偶数，此时取，可得仍满足题设中的条件，集合也具备“性质”， 若仍为奇数，由①知，集合具备“性质”，此时为奇数； 若仍为偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数，且具备“性质”的集合， 综上可得，集合中的元素个数为奇数. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $