第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷(二）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合与常用逻辑用语单元卷，含选择（单多）、填空、解答题型，覆盖命题否定、集合运算、充要条件等核心知识，注重基础巩固与创新应用，适配高中数学单元复习，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|命题否定、集合交并补、充分必要条件|基础题为主，如第1题命题否定考查数学抽象，第3题充要条件判断培养逻辑推理| |选择题（多选）|3/18|充要条件辨析、集合子集个数|多选项设计，如第9题结合方程根考查充要条件，提升思维严谨性| |填空题|3/15|集合相等、命题假命题参数范围、新定义“孤立元素”|创新情境，第14题“孤星集”定义应用，发展创新意识| |解答题|5/77|命题真假与参数范围、集合关系综合应用|综合性强，如第15题含逻辑联结词命题求参数，第19题方程与不等式综合，体现数学应用能力|

集合与常用逻辑用语单元测试卷(二）答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 2．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由，，所以． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【解】由推不出，例如， 由可得或，当时不能推出， 例如； 所以是的既不充分又不必要条件， 4．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解】对于命题，取，，是假命题，是真命题， 对于命题，取，，是真命题，是假命题， 因此选项ACD错误，B正确. 5．已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．39 【答案】A 【解】因为，所以， 因为，且满足， ， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 6．使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件只有 7．对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 8．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】易得：集合的“长度”为， 集合的 “长度”为. 因为它们都是的子集，要使“长度”最小， 集合、应该在的两端. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的 “长度”为：. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的“长度”为：. 综上可知，“长度”的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 10．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【解】因为， 因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9； 因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7； 因为，所以集合与的公共元素只有3； 所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即. 如图： 所以：， ，，故AC正确； 因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确； 因为，故D错误. 11．若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】BC 【解】因为命题“，”是假命题， 所以，使得为真命题， 当时，，当时，恒成立，符合题意， 当时，不恒成立，不符合题意， 当即时，有，解得， 综上，，结合选项知的值可能为1,3. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设、是实数，集合，，若，则的值为_______ A． B． C． D． 【答案】C 【解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解】等价于为真命题，因此，解得 14．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则，则 16．已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数取值集合． 【答案】(1) (2)或 【解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 .故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 17．设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 18．已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【解】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 19．根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在，且或，.(2) 【解】（1）因为，则且， ，且， 若，即，此时，，则，合乎题意； 若，即，此时，， 因为，则，此时，， 又因为，当时，，解得； 当时，，此时，， 当且时，，解得且， 因为， 若，即，则， 若，则，因为，此时，不存在. 综上所述，存在满足题设条件的实数、，且或，. （2）因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题不等式有解， 当时，不等式为，解得，合乎题意， 当时，，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合与常用逻辑用语单元测试卷(二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．39 6．使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 8．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 10．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 11．若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设、是实数，集合，，若，则的值为_______ A． B． C． D． 13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 14．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 16．已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数取值集合． 17．设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 18．已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 19．根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $