1.1 集合 专项训练 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以考点-考法为框架，系统整合集合概念、关系、运算及新定义问题，方法总结覆盖参数求解、集合关系判定等核心技巧，知识逻辑从基础到综合层层递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的概念与元素特性|3考法|元素互异性检验、集合相等参数确定、数集点集辨析|从元素基本特性出发，构建集合概念认知基础| |集合间的基本关系|5考法|子集个数公式、包含关系参数范围推断、充要条件判定|以集合关系为桥梁，连接概念与逻辑推理| |集合的基本运算|6考法|不等式解集运算、韦恩图与摩根定律应用、函数定义域值域结合|整合各类不等式与函数知识，强化运算工具性| |集合的新定义与综合探究|2考法|新定义规则转化、跨专题工具应用（如组合分析）|从具象到抽象，培养创新意识与数学表达能力|

2027届高三数学一轮复习专项训练：1.1 集合 练习卷 考点一：集合的概念与元素特性 1 考法1：基于元素互异性与方程解的参数求解 1 考法2：利用两集合相等关系确定参数值 1 考法3：数集与点集的特征辨析及元素枚举 1 考点二：集合间的基本关系 2 考法4：根据集合元素个数计算子集与真子集数目 2 考法5：探求满足特定包含关系的未知集合个数 2 考法6：依据集合包含关系逆向推断参数取值范围 3 考法7：结合充分必要条件判定集合的包含关系 3 考法8：抽象集合包含关系的逻辑推理论证 4 考点三：集合的基本运算 4 考法9：一元二次与绝对值不等式解集合运算 4 考法10：指数与对数不等式解集合运算 5 考法11：分式与根式不等式解集合运算 6 考法12：三角不等式解集合运算 6 考法13：结合函数定义域与值域的集合运算 7 考法14：利用韦恩图与摩根定律解集合运算 7 考点四：集合的新定义与综合探究 8 考法15：集合新定义性质与运算推理 8 考法16：集合新定义综合探究与证明 10 【1.1 集合 方法总结】 11 考点一：集合的概念与元素特性 考法1：基于元素互异性与方程解的参数求解 1.（2025·河北衡水中学·检测）设集合，，若，则（　　） A. B. C. D. 2.（2026·湖北楚天协作体·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（　　） A. 或 B. C. 或 D. 3.（2025·河北衡水·联考）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 考法2：利用两集合相等关系确定参数值 4.（2025·河南金科新未来·模拟）设集合，，若，则（　　） A. B. C. D. 5.（2026·山东德州·一模）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿． 考法3：数集与点集的特征辨析及元素枚举 6.（2026·内蒙古赤峰·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 7.（2026·辽宁大连二十四中·检测）已知集合，，则中最小的3个元素为（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 考点二：集合间的基本关系 考法4：根据集合元素个数计算子集与真子集数目 8.（2026·云南玉溪一中·模拟）若，则的真子集个数为（　　） A. B. C. D. 9.（2026·山东泰安·检测）已知集合，，则的子集个数为（　　） A. B. C. D. 10.（2026·重庆八中·检测）已知集合，则的子集个数是（　　） A. B. C. D. 11.（2026·河北衡水部分中学·检测）若，则的真子集个数为（　　） A. B. C. D. 12.（2026·辽宁东北育才·检测）已知全集，若集合，则的子集个数为（　　） A. B. C. D. 13.（2024·江西吉安六校·联考）设集合，则集合的子集个数为＿＿＿＿＿＿. 考法5：探求满足特定包含关系的未知集合个数 14.（2026·河北金科大联考·联考）已知集合，若，则集合的个数为（　　） A. B. C. D. 考法6：依据集合包含关系逆向推断参数取值范围 15.（2026·内蒙古包头·二模）已知集合，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 16.（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 17.（2026·陕西咸阳·模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 18.（2024·江西上饶六校·模拟）（多选）设集合，若，则的值可以为（　　） A. B. C. D. 19.（2026·安徽合肥一六八中·一模）已知集合，若，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 20.（2026·山东九五协作体·一模）已知为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③中所有元素的和分别记为，且. 则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考法7：结合充分必要条件判定集合的包含关系 21.（2026·山东枣庄·一模）已知集合，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 22.（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知集合，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考法8：抽象集合包含关系的逻辑推理论证 23.（2025·河南TOP二十名校·联考）若集合满足：，且，则称互为对偶集.已知函数，定义. （1）当时，证明：； 考点三：集合的基本运算 考法9：一元二次与绝对值不等式解集合运算 24.（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 25.（2025·全国二卷·检测）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 26.（2026·山西晋中·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 27.（2026·山东济南·二模）已知集合，，若，则（　　） A. B. C. D. 28.（2026·重庆南开中学·检测）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 29.（2026·重庆江津中学·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 30.（2026·山东潍坊·一模）若集合，，则＿＿＿＿＿＿. 考法10：指数与对数不等式解集合运算 31.（2026·河南豫东名校·二模）已知，，则（　　） A. B. C. D. 32.（2026·山西·二模）集合，，则（　　） A. B. C. D. 33.（2026·重庆南开中学·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 34.（2026·安徽安庆·二模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 35.（2026·广东中山·二模）若集合，，则（　　） A. B. C. D. 36.（2026·江西南昌·一模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 37.（2026·宁夏银川一中·模拟）已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 考法11：分式与根式不等式解集合运算 38.（2025·河南TOP二十·联考）已知集合，则（　　） A. B. C. D. 39.（2026·安徽滁州·二模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 40.（2026·浙江嘉兴·二模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 41.（2026·辽宁抚顺·一模）设集合，，则（　　） A. B. C. D. 考法12：三角不等式解集合运算 42.（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 43.（2026·江西南昌·二模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 考法13：结合函数定义域与值域的集合运算 44.（2026·吉林白山·一模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 45.（2026·黑龙江哈三中·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 46.（2025·江西九师联盟·检测）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 47.（2026·江苏南通·检测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 48.（2026·陕西西安新城·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 49.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 考法14：利用韦恩图与摩根定律解集合运算 50.（2026·河北唐山·一模）已知全集及其两个非空真子集，，则（　　） A. B. C. D. 51.（2026·甘肃兰州·模拟）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A. B. C. D. 52.（2025·江西萍乡·二模）（多选）已知全集，集合，，且满足：，，则下列说法正确的为（　　） A. B. C. 集合可能是 D. 53.（2026·湖南天壹联盟·模拟）（多选）若，，，，则下列命题为真命题的是（　　） A. B. 的真子集个数为7 C. D. 考点四：集合的新定义与综合探究 考法15：集合新定义性质与运算推理 54.（2025·江西萍乡实验·一模）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称与互为逆元.则称关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的是（　　） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集关于数的加法构成群 C. 实数集关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 55.（2025·福建福九联盟·联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（　　） A. 若，，且，则 B. 若，且，则对任意，都有 C. 若，，则存在实数，使得 D. 若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 56.（2026·山东济宁·一模）（多选）对于一个有限集合（），定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（　　） A. 若集合，则 B. 若集合，则 C. 若集合，则 D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为，的最大值为，则 57.（2026·广东东莞·一模）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿. 考法16：集合新定义综合探究与证明 58.（2025·广东燕博园·联考）已知，.设集合，集合.若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. （1）当时，直接写出的“相邻元”； （2）当时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且，，求证：是“好数”. 59.（2026·山东济南·二模）给定正整数，数集满足对于任意，都存在，使得. （1）若，，且，求； （2）证明：对于任意，都有； （3）若，，且，求数集中所有元素的和.（用含有的式子表示） 【1.1 集合 方法总结】 1. 求解集合中含有参数的问题时，必须时刻警惕集合元素的互异性，求出参数后务必代回原集合进行检验，剔除不合题意的解.（第1、2、3、5、16、18题） 2. 集合相等意味着两个集合中的元素完全一致，可以列出对应元素相等的方程组，求解后同样需要检验.（第4、5题） 3. 确定集合的真子集或子集个数时，先通过解方程、不等式或列举法明确集合中的元素个数，再套用公式：子集个数为，真子集个数为.（第8、9、10、11、12、13题） 4. 探求满足特定包含关系的未知集合个数时，根据交、并、补等运算结果，确定未知集合中“必须含有”和“可能含有”的元素，进而利用子集个数公式列举或计算.（第14题） 5. 处理集合的包含关系（如）时，若集合为离散点集，则逐个验证元素归属；若集合为连续区间，则转化为端点值的不等式组，特别注意端点处等号的取舍与空集情况的讨论.（第15、17、19题） 6. 结合充分必要条件判定集合关系时，小集合可以推出大集合，大集合不能推出小集合，因此“子集”对应“充分条件”，“母集”对应“必要条件”.（第21、22题） 7. 抽象集合的推理证明问题，常需结合函数的单调性、奇偶性等性质，将集合的包含条件转化为函数值的大小关系进行论证.（第23题） 8. 处理由二次不等式、绝对值不等式、分式不等式界定的集合运算时，先求出各不等式的解集区间，注意分式分母不为零的隐含限制，再在数轴上通过取交集、并集或补集完成求解.（第24、25、26、27、28、29、38、39、40、41题） 9. 涉及指数、对数不等式的集合运算，必须优先明确对数函数的定义域（真数大于0），结合指数函数与对数函数的单调性脱去外层符号化简集合，若涉及自然数集或整数集需对底数等常数做精确估算后列举.（第30、31、32、33、34、35、36、37、44、45、46、47、48、49题） 10. 求解三角函数型集合运算时，结合单位圆或三角函数在特定区间上的单调性与图象有界性确定自变量取值，涉及求子集个数时先确定交集元素个数，再代入公式计算.（第42、43题） 11. 运用韦恩图与德·摩根定律（和）解决交、并、补混合运算，通过将全集元素分配到各互不相交的子区域，可快速还原集合内部元素结构并判断命题真伪.（第50、51、52、53题） 12. 应对集合新定义问题（如群公理、集合极差模长、相邻元、差值构造等），核心是“翻译新规则并落实到具体代数与几何对象”： （1） 紧扣定义提取核心等式或关系式，通过特值代入、反例构造排除错误命题；（第54、55题） （2） 将抽象集合元素具象化为高维向量、坐标点集或数列，结合导数单调性、整点平移、组合分析等跨专题工具探究集合性质.（第56、57、58、59题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练：1.1 集合 解析卷 答案速查表 2 考点一：集合的概念与元素特性 2 考法1：基于元素互异性与方程解的参数求解 2 考法2：利用两集合相等关系确定参数值 3 考法3：数集与点集的特征辨析及元素枚举 4 考点二：集合间的基本关系 4 考法4：根据集合元素个数计算子集与真子集数目 4 考法5：探求满足特定包含关系的未知集合个数 6 考法6：依据集合包含关系逆向推断参数取值范围 6 考法7：结合充分必要条件判定集合的包含关系 8 考法8：抽象集合包含关系的逻辑推理论证 9 考点三：集合的基本运算 10 考法9：一元二次与绝对值不等式解集合运算 10 考法10：指数与对数不等式解集合运算 11 考法11：分式与根式不等式解集合运算 13 考法12：三角不等式解集合运算 14 考法13：结合函数定义域与值域的集合运算 15 考法14：利用韦恩图与摩根定律解集合运算 17 考点四：集合的新定义与综合探究 19 考法15：集合新定义性质与运算推理 19 考法16：集合新定义综合探究与证明 22 【1.1 集合 方法总结】 25 答案速查表 1 2 3 4 5 C C C 6 7 8 9 10 C B D B D 11 12 13 14 15 A B 4 B C 16 17 18 19 20 C D ABD 8 21 22 23 24 25 B C 见解析 C D 26 27 28 29 30 A D B C (-2,0) 31 32 33 34 35 B C B C D 36 37 38 39 40 B D C A C 41 42 43 44 45 C C B C A 46 47 48 49 50 A B B C C 51 52 53 54 55 B BCD BC D ABC 56 57 58 59 AC 31 见解析 见解析 考点一：集合的概念与元素特性 考法1：基于元素互异性与方程解的参数求解 1.（2025·河北衡水中学·检测）设集合，，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据交集的结果，确定集合中元素的对应关系，列出方程求解，注意验证元素的互异性. 【解析】集合，，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C. 2.（2026·湖北楚天协作体·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是 A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【思路】分类讨论参数是否为.当时，方程为一元一次方程，有一个解；当时，方程为一元二次方程，要使集合只有一个元素，则判别式，求解即可. 【解析】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意， 综上可得或. 3.（2025·河北衡水·联考）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据集合相等的定义，分两种情况列出方程组求解，注意利用集合中元素的互异性进行检验. 【解析】因为，当时，解得，此时不满足集合元素的互异性；当时，解得或（舍去），即满足集合元素的互异性，故.故答案为. 考法2：利用两集合相等关系确定参数值 4.（2025·河南金科新未来·模拟）设集合，，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据集合相等的概念，对应元素相等，结合对数函数的性质求解，并注意检验. 【解析】若，则必有，同时也满足，故.C选项正确. 5.（2026·山东德州·一模）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据集合相等，对应元素相等列出方程组，结合元素的互异性求解参数，进而求出代数式的值. 【解析】∵ ，，∴ 且且且， ∴ 或， 当时，∵ 且，∴ ，∴ . 当时，解得，∵ 且，∴ 不成立. 综上可得，. 故答案为：. 考法3：数集与点集的特征辨析及元素枚举 6.（2026·内蒙古赤峰·模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】先用列举法表示出集合，再根据交集的定义求解. 【解析】集合，又，则.故选C. 7.（2026·辽宁大连二十四中·检测）已知集合，，则中最小的3个元素为 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【思路】分别列举出集合的前几个元素，根据交集的定义找出公共元素中最小的三个. 【解析】，， 故中最小的3个元素为0，4，8. 故选：B. 考点二：集合间的基本关系 考法4：根据集合元素个数计算子集与真子集数目 8.（2026·云南玉溪一中·模拟）若，则的真子集个数为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据集合的真子集个数公式计算即可，其中为集合中元素的个数. 【解析】因为集合，所以的真子集有共7个.故选D. 9.（2026·山东泰安·检测）已知集合，，则的子集个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】先根据已知条件求出集合，再求出，最后根据子集个数公式求解. 【解析】由题意，，将代入得. 则. 中有2个元素，故其子集个数为.故选B. 10.（2026·重庆八中·检测）已知集合，则的子集个数是 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据自然数集的定义求出集合中的元素，再利用子集个数公式求解. 【解析】∵ ，∴ ，即，∴ 有7个元素. ∴ 的子集个数为，故选D. 11.（2026·河北衡水部分中学·检测）若，则的真子集个数为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据集合包含关系确定集合，再利用真子集个数公式求解. 【解析】因为，所以， 所以的真子集个数为.故选A. 12.（2026·辽宁东北育才·检测）已知全集，若集合，则的子集个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】解一元二次不等式求出全集，根据补集运算求出，再利用子集个数公式求解. 【解析】∵ 解不等式，得，又∵ ，∴ 全集. ∵ 集合，由补集定义可得，共3个元素.∵ 含个元素的集合的子集个数为，∴ 的子集个数为.故选B. 13.（2024·江西吉安六校·联考）设集合，则集合的子集个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】4 【思路】先求出集合的交集，得到交集中的元素个数，再利用子集个数公式求解. 【解析】由题意可得，故的子集个数为. 故答案为：4. 考法5：探求满足特定包含关系的未知集合个数 14.（2026·河北金科大联考·联考）已知集合，若，则集合的个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据并集的结果确定集合中必含的元素和可能含有的元素，列举出所有可能的集合，再结合子集条件进行筛选. 【解析】由，可知集合中的元素必在中，且必含有元素. 所以集合可以是，. 又因为，上述两个集合均满足条件. 所以集合的个数为2.故选B. 考法6：依据集合包含关系逆向推断参数取值范围 15.（2026·内蒙古包头·二模）已知集合，，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据子集的定义，集合中的元素都在集合中，从而得到关于参数的方程，求解即可. 【解析】因为，，， 所以，可得，解得.故选C. 16.（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【思路】根据集合包含关系，分情况讨论参数可能的值，并注意利用集合元素的互异性进行检验. 【解析】因为，， 所以或， 当时，，满足题意； 当时，解得或， 若，则，满足题意； 若，则，不满足集合中元素的互异性，舍去. 综上所述，的值为或. 故选：C. 17.（2026·陕西咸阳·模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先解分式不等式求出集合，再解一次不等式求出集合，最后根据集合的包含关系列出关于参数的不等式求解. 【解析】由，解得，即. 由，解得，即. 因为，所以，解得. 所以实数的取值范围为.故选D. 18.（2024·江西上饶六校·模拟）（多选）设集合，若，则的值可以为 A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】先解一元二次方程求出集合，由转化为，再分类讨论集合为空集和非空集的情况，分别求出参数的值. 【解析】集合，由可得，则分或或或四种情况，当时，；当时，满足，解得；当时，满足，解得；当时，显然不符合条件，所以的值可以为.故选ABD. 19.（2026·安徽合肥一六八中·一模）已知集合，若，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】由交集结果转化为集合的包含关系，再根据区间端点的大小关系列出不等式组求解. 【解析】因为，故，所以，即. 故答案为. 20.（2026·山东九五协作体·一模）已知为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③中所有元素的和分别记为，且. 则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】8 【思路】根据集合划分和元素和相等的条件，得出集合总和必须是3的倍数，从而确定的可能取值.通过逐个检验较小的值，结合集合元素的奇偶性和特定元素归属条件，找到满足条件的最小值. 【解析】由①知构成的一个划分.由③知中所有元素的和必须是3的倍数，即或. 若，，无法分成3个非空子集. 若，，但，和大于2，矛盾. 若，，，要使和为5，需，则（偶数），，矛盾. 若，，，和大于7，矛盾. 若，.3的倍数中全为偶数，可取，此时中全为奇数，可取，此时.剩余元素放入，则，.满足所有条件. 所以正整数的最小值为8. 考法7：结合充分必要条件判定集合的包含关系 21.（2026·山东枣庄·一模）已知集合，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【思路】先分析两个集合的元素特征，确定两个集合之间的包含关系，再根据包含关系判断充分必要条件. 【解析】集合为偶数集，集合为的倍数构成的集合，显然，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B. 22.（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知集合，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【思路】分别判断充分性和必要性.充分性：将代入集合，看是否满足；必要性：由求出的所有可能值，看是否一定推出. 【解析】解：因为，， 当时，显然，故充分性成立； 当，则或，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 考法8：抽象集合包含关系的逻辑推理论证 23.（2025·河南TOP二十名校·联考）若集合满足：，且，则称互为对偶集.已知函数，定义. （1）当时，证明：； 【答案】证明见解析 【思路】先求出函数的导数，判断函数的单调性，再根据集合的定义和函数的单调性进行推理论证. 【解析】（1）当时，， 则， 因为，所以，所以， 因此在上单调递减. 而时，，有，则，故. 考点三：集合的基本运算 考法9：一元二次与绝对值不等式解集合运算 24.（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】先解一元二次不等式求出集合，再结合交集定义找出集合与的公共部分即可. 【解析】由题意可知，所以. 故选：C. 25.（2025·全国二卷·检测）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】求解高次方程得到集合的元素，再由交集运算筛选出集合和中共有的元素. 【解析】，故. 故选：D. 26.（2026·山西晋中·模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先根据补集的概念求出集合在实数集中的补集，再与集合求交集. 【解析】由题可知，则. 故选：A. 27.（2026·山东济南·二模）已知集合，，若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】理解集合的描述法定义即，先解一元二次不等式求出集合，再对集合中元素逐个检验. 【解析】，则，所以. 故选：D. 28.（2026·重庆南开中学·检测）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】解绝对值不等式化简集合，再与列举法表示的集合求交集. 【解析】，. 故选：B. 29.（2026·重庆江津中学·模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】求解一元二次不等式确定集合的连续区间范围，进而筛选出离散集合中的对应元素. 【解析】解不等式，得，则，而，所以. 故选：C. 30.（2026·山东潍坊·一模）若集合，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】分别化简集合与指数不等式集合，结合数轴求两区间的公共部分. 【解析】，，故. 考法10：指数与对数不等式解集合运算 31.（2026·河南豫东名校·二模）已知，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用指数函数单调性求解不等式化简集合，再与集合求交集. 【解析】，，则. 故选：B. 32.（2026·山西·二模）集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】注意对数函数的定义域及底数的取值估计，结合集合中自然数集的限制条件列举整数. 【解析】由，其中，又，则. 故选：C. 33.（2026·重庆南开中学·模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用同底指数函数的单调性化简集合，再结合实数区间求交集. 【解析】由，得，即.已知，因此，. 故选：B. 34.（2026·安徽安庆·二模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】先解对数不等式转化为一元一次不等式组求，再解一元二次不等式求，最后求交集. 【解析】，，所以. 故选：C. 35.（2026·广东中山·二模）若集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】抓住对数函数的真数大于零求定义域，化简集合后求与有限集的交集. 【解析】要使有意义，则，，即，则. 故选：D. 36.（2026·江西南昌·一模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】明确自然数集包含，解对数不等式并估算底数的大小，进而求交集. 【解析】由题意可知，由得，所以，则. 故选：B. 37.（2026·宁夏银川一中·模拟）已知集合，集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】注意集合为函数值域，集合为对数不等式的解集，求出各自范围后求交集. 【解析】集合中，，则，故.集合中，，解得，故，则. 故选：D. 考法11：分式与根式不等式解集合运算 38.（2025·河南TOP二十·联考）已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根式被开方数非负确定集合的定义域，再与自然数集（包含0）求交集. 【解析】∵ ，∴ . 故选：C. 39.（2026·安徽滁州·二模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分式不等式等价转化为二次不等式求集，再与一次不等式解集求交集. 【解析】由题意得，，所以. 故选：A. 40.（2026·浙江嘉兴·二模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】分式不等式等价于得到开区间，再找出离散集合中的元素. 【解析】不等式解得，则，又，所以. 故选：C. 41.（2026·辽宁抚顺·一模）设集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】解分式不等式时注意分母符号与，再与二次不等式解集求交集. 【解析】，，. 故选：C. 考法12：三角不等式解集合运算 42.（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【思路】将集合中具体的角代入三角函数求值，判断是否在区间内，确定交集元素个数后利用公式求子集数. 【解析】对集合中的每个元素分别代入正弦函数判断是否满足：，，，，故，共有2个元素，其子集个数为. 故选：C. 43.（2026·江西南昌·二模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】结合正弦函数在区间上的图象特征，确定满足的自变量取值区间. 【解析】在内，由解得，所以. 故选：B. 考法13：结合函数定义域与值域的集合运算 44.（2026·吉林白山·一模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】求解对数函数定义域确定集合，再与离散集合取交集筛选出大于的元素. 【解析】的定义域为，即，则，可得. 故选：C. 45.（2026·黑龙江哈三中·模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据自然对数定义域列不等式求出集合，再与集合求公共区间. 【解析】由得，解得，所以.又，所以. 故选：A. 46.（2025·江西九师联盟·检测）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】由根式在分母上的限制条件求函数定义域，进而从集合中筛选出满足条件的元素. 【解析】∵ ，，∴ . 故选：A. 47.（2026·江苏南通·检测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】结合偶次根式与对数函数性质分别求定义域与值域，注意区分元素与集合、集合与集合间的符号关系. 【解析】由题设，则，值域，所以，，集合之间关系不能用表示，所以A、C、D错，B对. 故选：B. 48.（2026·陕西西安新城·模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】注意集合由自变量范围限制下的函数值域构成，结合指数函数单调性求出后再取交集. 【解析】∵ 函数是实数集上的增函数，∴ 由，因此，而集合，所以. 故选：B. 49.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】分别求解二次不等式与二次复合对数函数的值域，再结合数轴求两区间的并集. 【解析】由于，解得，所以，又∵ ，∴ ，. 故选：C. 考法14：利用韦恩图与摩根定律解集合运算 50.（2026·河北唐山·一模）已知全集及其两个非空真子集，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】直接应用集合运算的德·摩根定律（反演律）或借助韦恩图进行直观识别. 【解析】如图：. 故选：C. 51.（2026·甘肃兰州·模拟）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】观察韦恩图确定阴影区域对应的集合运算关系为中去掉的部分，列举集合的整数元素后筛选. 【解析】设全集为，由图可知阴影部分可表示为，可知，则. 故选：B. 52.（2025·江西萍乡·二模）（多选）已知全集，集合，，且满足：，，则下列说法正确的为（　　） A. B. C. 集合可能是 D. 【答案】BCD 【思路】借助德·摩根定律将补集的交转化为并集的补，进而确定与，再逐项分析集合的从属与包含关系. 【解析】由题意知，所以. 对于A，∵ ，且，∴ ，A选项错误； 对于B，∵ ，∴ ，B选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B.若，当时，，，，此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，∵ ，又，∴ ，D选项正确. 故选：BCD. 53.（2026·湖南天壹联盟·模拟）（多选）若，，，，则下列命题为真命题的是 A. B. 的真子集个数为7 C. D. 【答案】BC 【思路】利用韦恩图将全集中的元素逐个填入对应的区域，还原出集合与的具体元素，进而判断各命题. 【解析】，由，，，作出Venn图，如图所示. 由图可知，，，故A错误，C正确； 集合的真子集个数为个，故B正确； ∵ ，∴ ，D错误. 故选：BC. 考点四：集合的新定义与综合探究 考法15：集合新定义性质与运算推理 54.（2025·江西萍乡实验·一模）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称与互为逆元.则称关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的是 A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集关于数的加法构成群 C. 实数集关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 【答案】D 【思路】严格依据群的定义四条公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）逐一验证各集合在对应运算下的性质. 【解析】由且，使，但，不存在，使，故A错误； 由且，都有，但，不存在，使，故B错误； 由且，使，但，不存在，使，故C错误； 对所有的，可设（），则，①满足加法结合律，即，有；②，使得，有；③，设，，使，正确. 故选：D. 55.（2025·福建福九联盟·联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是 A. 若，，且，则 B. 若，且，则对任意，都有 C. 若，，则存在实数，使得 D. 若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【思路】结合新定义的本质（集合极差），分别对离散集、不等式解集、二次函数值域区间及区间并集的最值差进行分类讨论与构造反例. 【解析】A选项，由，，可得，，∵ ，∴ ，，故A错误； B选项，由知，且，则且，但是不一定成立，例如：，，，，故B错误； C选项，由，，当，即时，；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以不存在实数，使得，故C错误； D选项，由，，取，可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确. 故选：ABC. 56.（2026·山东济宁·一模）（多选）对于一个有限集合（），定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（　　） A. 若集合，则 B. 若集合，则 C. 若集合，则 D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为，的最大值为，则 【答案】AC 【思路】结合新定义“集合模长”即将集合元素求和，综合运用裂项求和、方程根的判定、导数零点分析与同余周期分组极值策略逐项探究. 【解析】选项A，，A正确； 选项B，解方程得：，二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误； C选项，设，求导得，时，递增；时，递减；最大值，且，因此一个零点；又，因此另一个零点，则，C正确； 选项D，集合元素差为3或8，均小于11，因此可将按每11个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可，时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和；每组（第组，）的和为，因此时总和：，，D错误. 故选：AC. 57.（2026·广东东莞·一模）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】31 【思路】先列举集合与中的所有整点坐标，再理解集合运算的平移扩张几何意义，分类按边界扩展计数避免重复. 【解析】集合表示圆内的整点，，共5个点. 集合表示矩形内的整点，，共个点. 表示中所有点以中5个向量进行平移所得点集的并集. 中的点横坐标范围为，纵坐标范围为. 当加上时，得到矩形内的15个点； 当加上时，增加了的3个点； 当加上时，增加了的3个点； 当加上时，增加了的5个点； 当加上时，增加了的5个点. 全部点互不重叠，总元素个数为个. 故答案为：31. 考法16：集合新定义综合探究与证明 58.（2025·广东燕博园·联考）已知，.设集合，集合.若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. （1）当时，直接写出的“相邻元”； （2）当时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且，，求证：是“好数”. 【答案】（1），，.（2）证明见解析.（3）证明见解析. 【思路】紧扣“相邻元”定义（恰有一个分量相差1，其余分量完全相同），第（1）问直接在集合中变动一个分量；第（2）问构造子集为中去掉前两个分量为的元素集合，并证明每个元素至多被挖去一个相邻元；第（3）问采用容斥与子集构造思想，通过分类集合不交性完成相邻元个数的下界论证. 【解析】（1）的“相邻元”为：，，. （2）∵ ，∴ . 设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”. 设，构造，则集合中的元素个数为. 对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个， 满足，从而在集合中至少有8个“相邻元”， 所以是“好数”. （3）设，. ①当时，集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”. 设，则中含有个元素. 设，. 则中含有个元素，，并且两两交集为空集. 设，则共有：个元素. ②对于，有在每一个（）中，至多有一个“相邻元”. 下面证明该结论：设，，且均是的“相邻元”. 由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即后位相同. 设与不同位置为，即；与不同位置为，即. 当相同时，又中与差为1的只有一个数，则. 当时，， 或. 所以在每一个中，至多有一个“相邻元”. ③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论： 元素中第都是中元素. 中第都是中元素. 故中至少有3个元素属于不同的和. 所以不存在，均是的“相邻元”. 由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故： 是“好数”. 59.（2026·山东济南·二模）给定正整数，数集满足对于任意，都存在，使得. （1）若，，且，求； （2）证明：对于任意，都有； （3）若，，且，求数集中所有元素的和.（用含有的式子表示） 【答案】（1）.（2）证明见解析.（3）当时，数集中所有元素之和为；当时，数集中所有元素之和为. 【思路】第（1）问根据新定义两两作差必须能表示为列方程求解；第（2）问用反证法结合极值元素证明所有元素位于同侧；第（3）问分与讨论，通过数学归纳或递推证明集合元素构成等差数列并求和. 【解析】（1）对于或或时命题显然成立， 又，解得或或， 结合题意可得. （2）当时，命题显然成立. 当时，若既不是中最大的元素，也不是中最小的元素， 不妨设为中的最大元素，为中最小的元素， 则且，，等号成立当且仅当， 故矛盾！ 故为中的最大元素或最小元素. 若为最大元素，则，有，故， 同理可得，若为最小元素有，. 命题得证. （3）若，，，故是中最小元素， 下证成等差数列. ∵ ，故成立时， ∴ ，∴ 成等差数列. 若，对于成立， ， 即， 故成立时，. 而中，两个元素的最大差值为， ，故， 即，从而有. 从而，对于成立. 故时，中元素之和为. 当时，为最大元素，同理可证为等差数列， 其中，故此时中元素之和为. 综上所述，当时，中元素之和为；当，中元素之和为. 【1.1 集合 方法总结】 1. 求解集合中含有参数的问题时，必须时刻警惕集合元素的互异性，求出参数后务必代回原集合进行检验，剔除不合题意的解.（第1、2、3、5、16、18题） 2. 集合相等意味着两个集合中的元素完全一致，可以列出对应元素相等的方程组，求解后同样需要检验.（第4、5题） 3. 确定集合的真子集或子集个数时，先通过解方程、不等式或列举法明确集合中的元素个数，再套用公式：子集个数为，真子集个数为.（第8、9、10、11、12、13题） 4. 探求满足特定包含关系的未知集合个数时，根据交、并、补等运算结果，确定未知集合中“必须含有”和“可能含有”的元素，进而利用子集个数公式列举或计算.（第14题） 5. 处理集合的包含关系（如）时，若集合为离散点集，则逐个验证元素归属；若集合为连续区间，则转化为端点值的不等式组，特别注意端点处等号的取舍与空集情况的讨论.（第15、17、19题） 6. 结合充分必要条件判定集合关系时，小集合可以推出大集合，大集合不能推出小集合，因此“子集”对应“充分条件”，“母集”对应“必要条件”.（第21、22题） 7. 抽象集合的推理证明问题，常需结合函数的单调性、奇偶性等性质，将集合的包含条件转化为函数值的大小关系进行论证.（第23题） 8. 处理由二次不等式、绝对值不等式、分式不等式界定的集合运算时，先求出各不等式的解集区间，注意分式分母不为零的隐含限制，再在数轴上通过取交集、并集或补集完成求解.（第24、25、26、27、28、29、38、39、40、41题） 9. 涉及指数、对数不等式的集合运算，必须优先明确对数函数的定义域（真数大于0），结合指数函数与对数函数的单调性脱去外层符号化简集合，若涉及自然数集或整数集需对底数等常数做精确估算后列举.（第30、31、32、33、34、35、36、37、44、45、46、47、48、49题） 10. 求解三角函数型集合运算时，结合单位圆或三角函数在特定区间上的单调性与图象有界性确定自变量取值，涉及求子集个数时先确定交集元素个数，再代入公式计算.（第42、43题） 11. 运用韦恩图与德·摩根定律（和）解决交、并、补混合运算，通过将全集元素分配到各互不相交的子区域，可快速还原集合内部元素结构并判断命题真伪.（第50、51、52、53题） 12. 应对集合新定义问题（如群公理、集合极差模长、相邻元、差值构造等），核心是“翻译新规则并落实到具体代数与几何对象”： （1） 紧扣定义提取核心等式或关系式，通过特值代入、反例构造排除错误命题；（第54、55题） （2） 将抽象集合元素具象化为高维向量、坐标点集或数列，结合导数单调性、整点平移、组合分析等跨专题工具探究集合性质.（第56、57、58、59题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $