集合 高频考点专项练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合核心考点，以“概念-运算-应用-创新”为逻辑主线，通过分层题型系统提炼定义转化、分类讨论、数形结合等解题方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-4|定义法、数轴法|集合概念→元素特性→交并补运算| |综合应用|单选5-6、填空11-12、解答17-19|不等式求解、集合关系分析|集合与函数定义域、不等式的综合应用| |创新拓展|单选7、多选8-10、填空13-14、解答15-16|新定义转化、分类讨论、组合计数|基础运算→新情境问题→数学建模与证明|

集合 高频考点专项练 2027学年高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．设集合，，为整数集，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 3．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 4．已知集合，则集合中元素的个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 5．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 二、多选题 8．若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 9．设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（   ） A． B．中的元素个数为36 C． D． 10．对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（    ） A．若集合，则 B．若集合，则 C．若集合，则 D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为，的最大值为，则 三、填空题 11．全集，，，，，，则_______. 12．设，则集合的元素的个数_____． 13．设集合，都至少含有两个元素，且，同时满足：条件1：对任意，若则；条件2；对任意，若，则.给出下列说法： ①若只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若只有2个元素，则必有3个元素； ③若只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合，满足有4个元素. 其中所有正确说法的序号是______. 14．已知集合，定义表示A的元素个数，，，为A的三个互不相同的子集.若集合，且，则不同的B的个数为________． 四、解答题 15．对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 16．已知一元二次不等式对一切实数x都成立，设满足条件的的取值集合为. (1)求集合； (2)对于两非空集合，定义：，若，求. 17．已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合. (1)求； (2)若集合，且，求实数a的取值范围． 18．已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： i.且C中含有3个元素， ii.（表示空集）． 19．已知集合，． (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C D B A BD ACD AC 1．A 因为，，所以，又为整数集，所以.故选A. 2．B 由，， 所以． 3．B 由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得：. 由于，故：，解得：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．C 若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则； 所以，共个元素. 5．D 先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 6．B 根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 7．A 根据集合新定义，分别求出当子集为单元素、两个元素、三个元素以及四个元素时的“绝对交错和”，即可求得答案. 对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 8．BD 求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 9．ACD 利用新定义判断AB；结合列举法利用古典概型概率公式求解判断C；求出所有满足的n，然后求平均值即可判断D. 对于A，因为，所以，所以，正确； 对于B，中的元素个数为，错误； 对于C，设，中满足元素如下： 因为，所以以的大小作为分类依据， 时，，，，， ，，，共有7个， 同理时有8个，时有9个，所以，正确； 对于D，集合中所有元素和为， 所以，正确. 10．AC 解析 选项A，，A正确；选项B，解方程得：，二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误；C选项，设，求导得，时，，递增；时，，递减；最大值，且，，因此一个零点；又，，因此另一个零点，则，C正确；选项D，集合元素差为3或8，均小于11，因此可将按每11个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可，时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和；每组（第组，）的和为，因此时总和：，，D错误.故选AC. 11． 通过Venn图即可求解； 根据题意作出Venn图，如图所示， 由图可得. 故答案为： 12．1 通过令，得到的方程组求解即可. 分别令， 得到方程，解得， 则集合的元素的个数为1，所以． 故答案为：1 13．①② 解析 对于①：由条件2知，，，且，所以若只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确； 对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，，，，，，而与为两个互不相等的正数，与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误. 对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设，由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素. 当集合只有2个元素时即，由条件1得，则，或，故. 当集合有多于2个元素时，不妨设，则，由于，所以，，又，故集合至少有3个元素，与中只有两个元素矛盾. 综上，，故②正确，③错误.故答案为①②. 14．35 如下图，将，，，放入，，，中，共有种不同的放法，去掉不满足题意的情况数，补充被多减的情况数，最后考虑次序可得答案. 如图，将，，，放入，，，中，共有种不同的放法． 需排除的情况：当时，将，，，放入其中，有种放法，不满足条件． 同理，和都是种放法不满足条件．但的情况被减多了2次． 最后考虑次序，故所求B的个数为． 15．(1) (2)4 (3) 对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． （1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. （1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； （2）设，则，因为， 故符合条件的的个数为. （3）略 16．(1) (2)或 （1）由题意，解不等式组即可求解； （2）先根据定义域的求法得或，然后利用补集运算求得，进而利用集合新定义求解即可. （1）由题意 因为时，不等式对一切实数x都成立， 则，解得． 所以． （2）对于，因为，所以或， 即或，所以， 又，由集合新定义知：或. 17．(1) (2) （1）分别求出，并计算即可. （2）分类讨论整合出的取值集合即可. （1）要使函数有意义， 则解得，所以， 对于函数，，所以， 所以. （2）因为，， 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，要使，则，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 18．1084. 先判断出中含有12+12-4=20个元素，利用组合的定义直接求解. 因为集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素， 所以中含有12+12-4=20个元素. 因此满足且C中含有3个元素，有. 所以满足且C中含有3个元素的集合C有1140个； 因为满足的集合C有个， 所以i、ii的集合C有1140-56=1084个. 19．(1)或 (2) （1）解不等式求出集合，再根据集合的运算即可求出答案； （2）等价于，解方程得或，分为，和三种情况分别求解，即可求出答案. （1）不等式可化为， 即，解得， 所以， 不等式，则， 令，则，解得， 即，所以， 所以，所以或， 所以或. （2）因为，所以， 令，解得或， 当时，，符合； 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $