第六单元大数的运算（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学苏教版

该小学数学讲义以苏教版四年级上册“大数的运算”为核心，通过知识框架图系统梳理单元整体认知、笔算规则等十大知识点，构建“基础-特殊-规律-应用”的完整知识闭环，用思维导图呈现乘除运算内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“估算-精算-验算”三阶练习设计，如典例1通过305名学生门票计算培养数感与运算能力，易错点汇总针对性解决试商调商等问题。分层练习适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升数学思维与应用意识。

第六单元 大数的运算（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《大数的运算》是苏教版四年级上册数学核心计算单元，承接三年级整数四则运算、两三位数乘除一位数、大数认识基础，是小学整数运算体系的关键进阶单元。本单元正式拓展多位数大数笔算体系，系统掌握三位数乘两位数、两三位数除以两位数的大数笔算、含0特殊运算、积与商的变化规律，配套大数四则混合运算、计算器大数运算，适配万级、亿级大数计算场景，是小学阶段整数笔算的收官核心内容，为后续小数、分数运算及复杂应用题计算奠定核心基础。 2. 单元核心知识体系 本单元包含七大核心模块：三位数乘两位数大数笔算、乘数含0特殊乘法运算、两三位数除以两位数大数笔算、被除数含0特殊除法运算、积与商的通用变化规律、大数四则混合运算、计算器大数运算与验算，同时整合大数运算数量关系、运算精度规则、大数估算逻辑、完整易错点辨析，构建完整的小学大数运算知识闭环。 3. 核心学习本质 依托数位拆分与位值原理，掌握多位数大数分层运算逻辑，突破低位数运算局限，规范大数笔算流程，理解乘除运算的变化规律，实现基础运算向大数精准运算、程序化运算、规律化运算的思维升级，适配生活中大数计量、统计、计算场景。 知识点二、三位数乘两位数标准笔算规则 1. 笔算数位对齐规范 竖式计算严格遵循末位对齐原则，两位数的个位、十位分别对齐三位数的个位、十位，保证每一步部分积数位精准对应，杜绝整体错位、数位混乱。 2. 分层分步运算流程 第一步，用两位数的个位数字依次乘三位数每一位，从个位到百位逐位计算，得到第一层部分积，积的末位对齐个位；第二步，用两位数的十位数字依次乘三位数每一位，逐位运算进位，得到第二层部分积，积的末位固定对齐十位；第三步，将两层部分积按数位对齐相加，最终得到大数乘积。 3. 进位运算通用规则 大数乘法进位规则与基础乘法一致，每一位相乘满几十就向前一位进几，连续多位产生进位时，进位数值必须参与高位运算，不得遗漏、错加，保证每一层部分积计算精准。 4. 乘积位数规律 三位数乘两位数，积的位数固定为四位数或五位数，可通过最高位进位预判结果范围，快速校验计算结果是否合理，规避明显计算失误。 知识点三、乘数中间、末尾有0的大数乘法（重难点） 1. 乘数中间有0的乘法规则 三位数中间含0时，0必须正常参与乘法运算，遵循0乘任何数都得0的规则；若低位计算有进位，需用0加上进位数作为本位结果，无进位则本位写0占位，绝对不能省略0的运算步骤，避免数位缺失、数值错误。 2. 乘数末尾有0的简便笔算规则 两个乘数末尾含有0时，采用简便算法：将两个乘数末尾非0数字对齐，先计算0前面数字的乘积；统计两个乘数末尾所有0的总个数，在算出的乘积末尾统一补上对应个数的0，简化大数运算步骤，减少书写量与计算误差。 3. 末尾0的数量特征 大数乘法中，乘积末尾0的总个数不少于两个乘数末尾0的总个数，乘法进位过程可能额外产生新的0，不可仅凭乘数0的个数判定积的末尾0数量。 知识点四、两、三位数除以两位数大数笔算规则 1. 大数除法核心试商原理 两位数除大数无法直接口算试商，统一采用四舍五入试商法：将除数看成接近的整十数估算商值，再验证商是否适配原式，是大数除法专属核心方法。除数个位小于5，舍去个位估整十；除数个位大于或等于5，进一估整十。 2. 笔算固定运算步骤 严格遵循先看高位、逐位试商流程：先看被除数前两位，若前两位大于或等于除数，前两位够除，商的最高位写在十位；若前两位小于除数，前两位不够除，多看一位看前三位，商的最高位写在个位。逐位试商、乘、减、落数，循环运算至所有数位计算完毕。 3. 试商调商核心规则 试商后必须验证余数，余数大于或等于除数，说明商偏小，需要调大重试；试商后乘积大于被除数，说明商偏大，需要调小重试，直至余数小于除数，商取值合规。 4. 商的位数预判规律 三位数除以两位数，被除数前两位≥除数，商是两位数；被除数前两位＜除数，商是一位数，可快速预判商的位数，校验笔算结果合理性。 知识点五、除法含0特殊运算规则 1. 商中间有0的大数除法 三位数除以两位数，十位除完无余数，个位数字小于除数、不够商1时，必须在个位商0占位，末尾剩余数字作为余数，0不可省略，保证商的数位完整、位数准确。 2. 商末尾有0的大数除法 除到十位刚好整除无余数，个位为0或个位数字小于除数，直接在个位商0收尾，剩余数字作余数，适配大数整除与有余数收尾场景。 3. 0的除法硬性规则 0除以任何不为0的大数，商均为0；0绝对不能作为除数，大数运算中禁止出现除数为0的算式，无数学意义。 知识点六、积与商的变化规律（核心规律） 1. 积的通用变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也随之乘几或除以相同的数；两个乘数同时变化时，积的变化为两个乘数变化倍数的乘积，适配所有大数乘法运算。 2. 积不变规律 一个乘数乘一个不为0的数，另一个乘数除以相同的数，积保持不变，可利用该规律简化大数乘法运算，实现简便计算。 3. 商的通用变化规律 除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商同步乘几或除以几；被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商反向除以几或乘几，是大数除法快速推算、简便运算的核心依据。 4. 商不变规律（重难点） 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商的大小保持不变，余数会随之同步变化。该规律是大数除法化简、口算、简便笔算、小数除法铺垫的核心规律。 知识点七、大数四则混合运算规则 1. 无括号大数混合运算 只有同级乘除或同级加减，从左往右依次运算；同时含乘除和加减，先算大数乘除，后算加减，严格遵循运算优先级，不因数字大数改变运算顺序。 2. 含小括号大数混合运算 含有小括号的大数运算，优先计算括号内部的大数运算，再计算括号外部运算；括号内依旧遵循先乘除后加减的优先级，保证多层运算逻辑规范。 知识点八、计算器大数运算与验算 1. 计算器适用场景 位数多、数值大、笔算繁琐的大数乘除、加减、混合运算，可使用计算器快速计算，同时用于笔算大数结果的精准验算，排查笔算误差。 2. 计算器运算规范 严格按照算式顺序依次输入数字与运算符号，含括号算式同步输入括号，保证输入顺序与数学运算顺序一致，输出结果精准无误。 知识点九、大数运算核心数量关系 1. 乘法基础数量关系 乘数×乘数=积、积÷一个乘数=另一个乘数，适配所有大数乘法运算与逆向验算场景。 2. 除法基础数量关系 整除场景：被除数÷除数=商、被除数=商×除数、除数=被除数÷商；有余数场景：被除数÷除数=商……余数、被除数=商×除数+余数，适配大数有余数除法验算与推算。 3. 高频实用数量关系 总价=单价×数量、路程=速度×时间，两类核心模型适配大数运算实际应用，是大数解决生活统计、出行、购物问题的核心依据。 知识点十、单元高频易错点汇总 1. 大数乘法笔算易错 两位数十位相乘的部分积末位对错位，未对齐十位；多层进位遗漏、错加；中间有0乘法漏算0的数位，导致部分积缺失、结果错误。 2. 末尾0简便运算易错 末尾有0乘法对齐错误；补0个数统计不全、漏补0；混淆进位新增0与原有0，导致乘积末尾0数量错误。 3. 大数除法试商易错 试商估数偏差大，不会灵活调商；忽略余数必须小于除数的规则，余数超标不修正；调商后未重新计算乘积，导致商值错误。 4. 除法数位与0占位易错 预判商的位数失误，高位够除未商、低位乱商；不够商1时漏写0占位，商的数位缺失、位数错乱；末尾余数漏写、书写不规范。 5. 变化规律易错 记错积与商的变化方向，混淆同向变化与反向变化；运用商不变规律时，忽略余数同步变化，余数推算错误；忘记0除外的限定条件。 6. 混合运算易错 大数运算盲目从左往右算，违背先乘除后加减优先级；含括号算式未优先算括号内，运算顺序颠倒；大数计算步骤遗漏、数字抄写错误。 7. 验算与估算易错 大数运算不验算，无法自查进位、数位错误；不会通过积、商的位数范围预判结果对错，出现明显数值偏差无法识别。 8. 数量关系易错 混淆乘除逆向数量公式，无法根据大数结果反向推导未知量；不会匹配路程、总价模型解决大数实际运算问题。 一、例题讲解 【典例】 1．305名学生去公园游玩，门票是29元一张，这些学生买门票大约花了( )元，实际花了( )元。 【答案】 9000 8845 【分析】根据题意，用门票的价格乘学生人数，即可求出实际花费的钱数；估算时，把门票价格和学生人数看成最接近的整十数、整百数，解题即可。 【详解】305×29 ≈300×30 ＝9000（元） 305×29＝8845（元） 所以，这些学生买门票大约花了9000元，实际花了8845元。 【典例】 2．《楚辞》是我国文学史上第一部浪漫主义诗歌总集。某出版社出版的《楚辞》正文一共44页，平均每页850个字，求《楚辞》正文一共有多少个字的算式是( )。 【答案】 【分析】根据页数乘每页的字数等于总字数，代入数据即可。 【详解】求《楚辞》正文一共有多少个字的算式是。 【典例】 3．某果园里种了158棵梨树，苹果树的棵数是梨树的30倍。果园里两种果树共有多少棵？ 【答案】4898棵 【分析】用梨树的棵数乘30，求出苹果树的棵数，再将两种树的棵数相加，即可得到总棵数。 【详解】158×30＋158 ＝4740＋158 ＝4898（棵） 答：果园里两种果树共有4898棵。 【典例】 4．读书节中品数学味道。 (1)学校“读书节”要对“读书小达人”进行表彰。全校6个年级，每个年级4个班，每个班表彰5名，一共有多少名读书小达人受到表彰？ (2)学校为受表彰的“读书小达人”购买图书作为奖励。6本图书需要168元，买120本这样的图书需要多少元？（先用列表法或摘录法整理信息和问题，再列式解答。） 【答案】(1) 120名 (2) 本数 价格（元） 6 168 120 ？ 3360元 【分析】（1）先用6×4计算出全校的班级总数，再用班级总数乘每个班表彰的人数即可求出总表彰人数。 （2）先用168÷6求出每本图书的价格，再乘120即可求出买120本这样的图书需要多少元。 【详解】（1） （名） 答：一共有120名读书小达人受到表彰。 （2）表格略； 168÷6＝28（元） 28×120＝3360（元） 答：买120本这样的图书需要3360元。 提升练习 二、填空题 5．小亮在计算（5400÷45＋□）×18时，漏看了括号，算出的结果是264，这道题的正确结果是( )。 【答案】2304 【分析】正确的算式应该是：，小亮漏看了小括号，所以他实际计算的算式是：，算出的结果是：。先根据小亮错误的算法，求出方框（□）里的数是多少；然后再把求出的数代入到正确的算式中，计算出正确结果。 【详解】 6．120×50的积是( )位数，末尾一共有( )个0。 【答案】 四 3 【分析】先根据因数末尾有0的乘法计算方法求出积，再数出积的位数和末尾0的个数。特别注意因数末尾0 的个数与积末尾0的个数不一定相等，因为非零部分相乘可能产生新的0。 【详解】120×50＝6000 120×50的积是四位数，末尾一共有3个0。 7．的积是( )位数；的积的末尾有( )个0。 【答案】 五 4 【分析】计算出325×45的积，即可知道325×45的积是几位数； 计算出125×80的积，看积的末尾有几个0，即可解答。 【详解】325×45＝14625，14625是五位数，所以325×45的积是五位数； 125×80＝10000，125×80的积的末尾有4个0。 8．用3、4、5、6、7五个数字组成一个三位数和一个两位数。组成乘积最大的三位数和两位数是( )和( )，两个数的积是( )。 【答案】 653 74 48322 【分析】要使组成的三位数和两位数的乘积最大，应遵循“高位填大数”的原则。首先将最大的两个数字7和6分别放在三位数的百位和两位数的十位上；然后将剩下的数字5、4、3按照从大到小的顺序，依次尝试填入三位数的十位、两位数的个位和三位数的个位，通过计算比较几种主要情况的积，从而确定最大值。 确定最高位数字：情形一：两位数的十位是7，三位数的百位是6；情形二：两位数的十位是6，三位数的百位是7。 确定其余位数字：剩下的数字是5、4、3。为了使积最大，次大的数字5和4应放在三位数的十位和两位数的个位，最小的数字3放在三位数的个位。 【详解】若三位数百位是6，则两位数十位是7，由分析可知，积较大的是653×74，643×75； 若三位数百位是7，则两位数十位是6，由分析可知，积较大的是743×65，753×64。 653×74＝48322 643×75＝48225 743×65＝48295 753×64＝48192 48322＞48295＞48225＞48192 用3、4、5、6、7五个数字组成一个三位数和一个两位数。组成乘积最大的三位数和两位数是653和74，两个数的积是48322。 9．335×40的积的末尾有( )个0；要使312×□6的积是五位数，□里最小填( )。 【答案】 2 3 【分析】计算出335×40的积是多少，再看积末尾有几个0即可； 要使312×□6的积是五位数，可以在□内填入1、2、3等数，计算算式的积，看什么时候积是五位数，则此时□里的数便是能填的最小数。 【详解】335×40＝13400，13400的末尾有2个0，所以335×40的积的末尾有2个0； 312×□6，□里填1时；312×16＝4992，积是四位数； 312×□6，□里填2时，312×26＝8112，积是四位数； 312×□6，□里填3时，312×36＝11232，积是五位数。 要使312×□6的积是五位数，□里最小填3。 10．乐乐骑自行车从家去图书馆，他前6分钟骑了1410米，照这样的速度，他一共需要24分钟才能到图书馆。乐乐家距离图书馆( )米。 【答案】5640 【分析】根据速度＝路程÷时间，先算出乐乐1分钟骑多少米；再根据路程＝速度×时间，计算出乐乐家距离图书馆的距离。 【详解】1410÷6＝235（米） 235×24＝5640（米） 11．用2，4，0，1，6组成的三位数乘两位数的乘法算式，其中乘积最大的算式是( )。 【答案】610×42＝25620或420×61＝25620 【分析】要使乘积最大，应把较大的数字放在高位。两位数和三位数的最高位应是这五个数字中较大的两个，即6和4。先考虑两位数的十位为6，三位数的百位为4的情况。此时剩下的数字为2、1、0，组成的两位数可能是62、61、60，三位数可能是410、420、401、402、412、421等； 计算可得：62×410＝25420，61×420＝25620，60×421＝25260等。 再考虑两位数的十位为4，三位数的百位为6的情况。剩下的数字同样是2、1、0，组成的两位数可能是42、41、40，三位数可能是610、620、601、602、612、621等。计算可得：42×610＝25620，41×620＝25420，40×621＝24840等。 【详解】根据分析，610×42＝25620和420×61＝25620的乘积最大； 因此，用2，4，0，1，6组成的三位数乘两位数的乘法算式，其中乘积最大的算式是610×42＝25620或420×61＝25620。 12．幸福采摘园种植了一批石榴树，每行种植了160棵，种植了30行，一共种植了多少棵石榴树？列式为( )，计算时可以先算( )乘( )的积，再在积的末尾添上( )个0，结果是( )棵。 【答案】 160×30 16 3 两 4800 【分析】每行种植了160棵，种植了30行，用160乘30，即可求得一共种植了多少棵石榴树。两个末尾有0的数相乘，先把两个乘数中“0”前面的数相乘，再看两个乘数中一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。由题意得，计算160×30时，可以先算16×3。乘数160和乘数30的末尾一共有2个0，所以再在前面得数的末尾添上2个0。 【详解】16×3＝48 160×30＝4800（棵） 幸福采摘园种植了一批石榴树，每行种植了160棵，种植了30行，一共种植了多少棵石榴树？列式为160×30，计算时可以先算16乘3的积，再在积的末尾添上2个0，结果是4800棵。 三、选择题 13．关于如图算式的计算过程，说法正确的是（    ）。 A．甲表示的数＞乙表示的数 B．甲表示的数是乙的10倍 C．甲表示的数＝乙表示的数 D．乙表示的数是甲的10倍 【答案】D 【分析】在乘法竖式中，先用上方的乘数乘下方乘数的个位数得到甲数，再用上方的乘数乘下方乘数的十位数得到乙数，据此判断甲乙的关系。 【详解】在乘法竖式□□□×88中，甲是□□□×8的结果，乙是□□□×80的结果。因为80÷8＝10，所以乙表示的数是甲的10倍。 14．列竖式计算，下面算式（    ）的过程中，“2×7”表示200×70。 A．290×87 B．209×78 C．209×87 D．29×780 【答案】B 【分析】要使竖式中的“”表示，需要在某个因数的百位（代表个百），在另一个因数的十位（代表个十），据此判断即可。 【详解】A．中2在百位、7在个位，“”表示，与题干所给的表达式不相符，该选项不是正确选项； B．中2在百位、7在十位，“”表示，与题干所给的表达式相符，该选项是正确选项； C．中2在百位、7在个位，“”表示，与题干所给的表达式不相符，该选项不是正确选项； D．中2在十位、7在百位，“”表示，与题干所给的表达式不相符，该选项不是正确选项； 所以B选项是正确的。 15．明明家的面积是105平方米，他家所在的物业收费标准是每个月每平方米2元。明明家全年的物业费是（    ）元。 A．2520 B．5040 C．210 D．1260 【答案】A 【分析】先用105乘2，计算明明家每月的物业费，再乘12，就能得到全年的物业费。 【详解】每月物业费：（元） 全年物业费：（元） 明明家全年的物业费是2520元。 16．林林在用计算器计算24×108时，发现数字键“8”失灵了。如果他仍用这个计算器计算，那么输入（    ）不能得到正确的得数。 A．12×216 B．24×110－2 C．109×24－24 D．24×107＋24 【答案】B 【分析】对每个选项的算式进行计算得出结果，再与24×108计算出的结果进行对比判断。 【详解】A．12×216＝2592，正确； B．，结果错误； C．，正确； D．，正确。 17．9□4×□2是一道三位数乘两位数的算式，这道算式的得数可能是（    ）。 A．10846 B．11088 C．2928 D．108048 【答案】B 【分析】先根据两个乘数的个位判断积的个位数字，排除不符合的选项，再计算出算式积的最小、最大值确定积的范围，排除不在范围内的选项即可。 【详解】两个乘数的个位分别是4和2，，可知积的个位是8，排除A选项； 积的最小值：，积的最大值：，C选项，排除；D选项，排除；只有B选项11088符合要求。 四、判断题 18．最小的三位数乘最大的两位数，积是9900。( ) 【答案】√ 【分析】先确定最小的三位数是100，最大的两位数是99，计算二者的积再和9900比较即可判断。 【详解】100×99＝9900 所以最小的三位数乘最大的两位数，积是9900，此说法正确。 故答案为：√。 19．240×（25÷5）和240×25÷5的运算顺序不同，计算结果也不同。( ) 【答案】× 【分析】第一个算式先算括号内的除法，再算乘法；第二个算式按照从左到右的顺序依次计算乘法和除法，分别计算出两个算式的得数再比较即可。 【详解】240×（25÷5） ＝240×5 ＝1200 240×25÷5 ＝6000÷5 ＝1200 ，两个算式运算顺序不同，计算结果相同。原题说法错误。 故答案为：× 20．350×12的积的末尾有2个“0”。( ) 【答案】√ 【分析】三位数乘两位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘的结果加起来；当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零； 计算出350×12的积，数出末尾0的个数即可判断对错。 【详解】，4200的末尾有2个0。 故答案为：√ 21．一间教室要用方砖铺地，用边长为4分米的方砖，需要120块。如果改用面积为8平方分米的方砖，至少需要240块。( ) 【答案】√ 【分析】先求出边长4分米方砖的面积，乘需要的块数得到教室的总面积，总面积不变，除以新方砖的面积得到需要的块数，和题干给出的240块对比即可判断对错。 【详解】边长4分米的方砖面积：（平方分米） 教室总面积：（平方分米） 需要面积8平方分米的方砖块数：（块） 故答案为：√ 22．10个边长是10米的正方形的面积是1公顷。( ) 【答案】× 【分析】根据正方形面积＝边长×边长，先求出边长是10米的正方形的面积是多少平方米，再用乘法求出10个的面积，然后根据1公顷＝10000平方米，把1公顷换算成平方米数，最后再进行比较即可。 【详解】10×10＝100（平方米） 100×10＝1000（平方米） 1公顷＝10000平方米 1000平方米＜10000平方米 所以，10个边长是10米的正方形的面积是1000平方米，故原题的说法错误。 故答案为：× 五、计算题 23．用竖式计算。 539×28＝    24×308＝    69×370＝ 【答案】15092；7392；25530 【分析】两位数乘三位数，先用两位数个位去乘三位数，再用两位数十位去乘三位数，最后把两次积相加。 计算三位数中间有0乘两位数时，先用两位数个位数字依次乘三位数个位、十位、百位，中间的0也要参与计算，0乘得0后有进位要加上进位；再用两位数十位数字乘三位数，得数末尾对齐十位，最后将两次乘积相加。 计算三位数末尾有0乘两位数时，先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 【详解】                                                     六、解答题 24．五一期间，“农家乐”游园迎来了许多游客。到采摘园的有25个团，每个团120人；参加编织和捕鱼的共有28个团，每个团108人。请你帮忙算一算，五一期间到“农家乐”游园的一共有多少人？ 【答案】6024人 【分析】游园总人数由采摘园游客人数和参加编织、捕鱼的游客人数两部分组成，分别用团数乘每个团的人数算出两部分人数，再相加即可得到总人数。 【详解】 （人） 答：五一期间到“农家乐”游园的一共有6024人。 25．砂糖橘丰收：果园收获240筐，每筐6千克，每千克卖12元，全部售出总收入多少元？ 【答案】17280元 【分析】先求出卖每筐的钱数，用每千克卖的钱数乘每筐重量，再求砂糖橘的总收入，用卖每筐的钱数乘筐数。 【详解】12×6＝72（元） 240×72＝17280（元） 答：全部售出总收入17280元。 26．李叔叔从家到单位，如果骑自行车，速度是250米/分，需要24分钟。如果改乘公交车，速度是750米/分，需要多少分钟？ 【答案】8分钟 【分析】家到单位的路程固定不变，根据路程＝速度×时间，用骑自行车的速度乘所用时间，求出总路程，再用总路程除以公交车的速度，就能得到乘公交车需要的时间。 【详解】250×24＝6000（米） 6000÷750＝8（分钟） 答：需要8分钟。 27．中国传世名画《清明上河图》画面为长方形，是北宋张择端所作，具有重要的历史价值和艺术价值。这幅画长528厘米，宽25厘米。它的面积是多少？ 【答案】 13200平方厘米 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，据此代入数据计算即可。 【详解】528×25＝13200（平方厘米） 答：它的面积是13200平方厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 大数的运算（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《大数的运算》是苏教版四年级上册数学核心计算单元，承接三年级整数四则运算、两三位数乘除一位数、大数认识基础，是小学整数运算体系的关键进阶单元。本单元正式拓展多位数大数笔算体系，系统掌握三位数乘两位数、两三位数除以两位数的大数笔算、含0特殊运算、积与商的变化规律，配套大数四则混合运算、计算器大数运算，适配万级、亿级大数计算场景，是小学阶段整数笔算的收官核心内容，为后续小数、分数运算及复杂应用题计算奠定核心基础。 2. 单元核心知识体系 本单元包含七大核心模块：三位数乘两位数大数笔算、乘数含0特殊乘法运算、两三位数除以两位数大数笔算、被除数含0特殊除法运算、积与商的通用变化规律、大数四则混合运算、计算器大数运算与验算，同时整合大数运算数量关系、运算精度规则、大数估算逻辑、完整易错点辨析，构建完整的小学大数运算知识闭环。 3. 核心学习本质 依托数位拆分与位值原理，掌握多位数大数分层运算逻辑，突破低位数运算局限，规范大数笔算流程，理解乘除运算的变化规律，实现基础运算向大数精准运算、程序化运算、规律化运算的思维升级，适配生活中大数计量、统计、计算场景。 知识点二、三位数乘两位数标准笔算规则 1. 笔算数位对齐规范 竖式计算严格遵循末位对齐原则，两位数的个位、十位分别对齐三位数的个位、十位，保证每一步部分积数位精准对应，杜绝整体错位、数位混乱。 2. 分层分步运算流程 第一步，用两位数的个位数字依次乘三位数每一位，从个位到百位逐位计算，得到第一层部分积，积的末位对齐个位；第二步，用两位数的十位数字依次乘三位数每一位，逐位运算进位，得到第二层部分积，积的末位固定对齐十位；第三步，将两层部分积按数位对齐相加，最终得到大数乘积。 3. 进位运算通用规则 大数乘法进位规则与基础乘法一致，每一位相乘满几十就向前一位进几，连续多位产生进位时，进位数值必须参与高位运算，不得遗漏、错加，保证每一层部分积计算精准。 4. 乘积位数规律 三位数乘两位数，积的位数固定为四位数或五位数，可通过最高位进位预判结果范围，快速校验计算结果是否合理，规避明显计算失误。 知识点三、乘数中间、末尾有0的大数乘法（重难点） 1. 乘数中间有0的乘法规则 三位数中间含0时，0必须正常参与乘法运算，遵循0乘任何数都得0的规则；若低位计算有进位，需用0加上进位数作为本位结果，无进位则本位写0占位，绝对不能省略0的运算步骤，避免数位缺失、数值错误。 2. 乘数末尾有0的简便笔算规则 两个乘数末尾含有0时，采用简便算法：将两个乘数末尾非0数字对齐，先计算0前面数字的乘积；统计两个乘数末尾所有0的总个数，在算出的乘积末尾统一补上对应个数的0，简化大数运算步骤，减少书写量与计算误差。 3. 末尾0的数量特征 大数乘法中，乘积末尾0的总个数不少于两个乘数末尾0的总个数，乘法进位过程可能额外产生新的0，不可仅凭乘数0的个数判定积的末尾0数量。 知识点四、两、三位数除以两位数大数笔算规则 1. 大数除法核心试商原理 两位数除大数无法直接口算试商，统一采用四舍五入试商法：将除数看成接近的整十数估算商值，再验证商是否适配原式，是大数除法专属核心方法。除数个位小于5，舍去个位估整十；除数个位大于或等于5，进一估整十。 2. 笔算固定运算步骤 严格遵循先看高位、逐位试商流程：先看被除数前两位，若前两位大于或等于除数，前两位够除，商的最高位写在十位；若前两位小于除数，前两位不够除，多看一位看前三位，商的最高位写在个位。逐位试商、乘、减、落数，循环运算至所有数位计算完毕。 3. 试商调商核心规则 试商后必须验证余数，余数大于或等于除数，说明商偏小，需要调大重试；试商后乘积大于被除数，说明商偏大，需要调小重试，直至余数小于除数，商取值合规。 4. 商的位数预判规律 三位数除以两位数，被除数前两位≥除数，商是两位数；被除数前两位＜除数，商是一位数，可快速预判商的位数，校验笔算结果合理性。 知识点五、除法含0特殊运算规则 1. 商中间有0的大数除法 三位数除以两位数，十位除完无余数，个位数字小于除数、不够商1时，必须在个位商0占位，末尾剩余数字作为余数，0不可省略，保证商的数位完整、位数准确。 2. 商末尾有0的大数除法 除到十位刚好整除无余数，个位为0或个位数字小于除数，直接在个位商0收尾，剩余数字作余数，适配大数整除与有余数收尾场景。 3. 0的除法硬性规则 0除以任何不为0的大数，商均为0；0绝对不能作为除数，大数运算中禁止出现除数为0的算式，无数学意义。 知识点六、积与商的变化规律（核心规律） 1. 积的通用变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也随之乘几或除以相同的数；两个乘数同时变化时，积的变化为两个乘数变化倍数的乘积，适配所有大数乘法运算。 2. 积不变规律 一个乘数乘一个不为0的数，另一个乘数除以相同的数，积保持不变，可利用该规律简化大数乘法运算，实现简便计算。 3. 商的通用变化规律 除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商同步乘几或除以几；被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商反向除以几或乘几，是大数除法快速推算、简便运算的核心依据。 4. 商不变规律（重难点） 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商的大小保持不变，余数会随之同步变化。该规律是大数除法化简、口算、简便笔算、小数除法铺垫的核心规律。 知识点七、大数四则混合运算规则 1. 无括号大数混合运算 只有同级乘除或同级加减，从左往右依次运算；同时含乘除和加减，先算大数乘除，后算加减，严格遵循运算优先级，不因数字大数改变运算顺序。 2. 含小括号大数混合运算 含有小括号的大数运算，优先计算括号内部的大数运算，再计算括号外部运算；括号内依旧遵循先乘除后加减的优先级，保证多层运算逻辑规范。 知识点八、计算器大数运算与验算 1. 计算器适用场景 位数多、数值大、笔算繁琐的大数乘除、加减、混合运算，可使用计算器快速计算，同时用于笔算大数结果的精准验算，排查笔算误差。 2. 计算器运算规范 严格按照算式顺序依次输入数字与运算符号，含括号算式同步输入括号，保证输入顺序与数学运算顺序一致，输出结果精准无误。 知识点九、大数运算核心数量关系 1. 乘法基础数量关系 乘数×乘数=积、积÷一个乘数=另一个乘数，适配所有大数乘法运算与逆向验算场景。 2. 除法基础数量关系 整除场景：被除数÷除数=商、被除数=商×除数、除数=被除数÷商；有余数场景：被除数÷除数=商……余数、被除数=商×除数+余数，适配大数有余数除法验算与推算。 3. 高频实用数量关系 总价=单价×数量、路程=速度×时间，两类核心模型适配大数运算实际应用，是大数解决生活统计、出行、购物问题的核心依据。 知识点十、单元高频易错点汇总 1. 大数乘法笔算易错 两位数十位相乘的部分积末位对错位，未对齐十位；多层进位遗漏、错加；中间有0乘法漏算0的数位，导致部分积缺失、结果错误。 2. 末尾0简便运算易错 末尾有0乘法对齐错误；补0个数统计不全、漏补0；混淆进位新增0与原有0，导致乘积末尾0数量错误。 3. 大数除法试商易错 试商估数偏差大，不会灵活调商；忽略余数必须小于除数的规则，余数超标不修正；调商后未重新计算乘积，导致商值错误。 4. 除法数位与0占位易错 预判商的位数失误，高位够除未商、低位乱商；不够商1时漏写0占位，商的数位缺失、位数错乱；末尾余数漏写、书写不规范。 5. 变化规律易错 记错积与商的变化方向，混淆同向变化与反向变化；运用商不变规律时，忽略余数同步变化，余数推算错误；忘记0除外的限定条件。 6. 混合运算易错 大数运算盲目从左往右算，违背先乘除后加减优先级；含括号算式未优先算括号内，运算顺序颠倒；大数计算步骤遗漏、数字抄写错误。 7. 验算与估算易错 大数运算不验算，无法自查进位、数位错误；不会通过积、商的位数范围预判结果对错，出现明显数值偏差无法识别。 8. 数量关系易错 混淆乘除逆向数量公式，无法根据大数结果反向推导未知量；不会匹配路程、总价模型解决大数实际运算问题。 一、例题讲解 【典例】 1．305名学生去公园游玩，门票是29元一张，这些学生买门票大约花了( )元，实际花了( )元。 【典例】 2．《楚辞》是我国文学史上第一部浪漫主义诗歌总集。某出版社出版的《楚辞》正文一共44页，平均每页850个字，求《楚辞》正文一共有多少个字的算式是( )。 【典例】 3．某果园里种了158棵梨树，苹果树的棵数是梨树的30倍。果园里两种果树共有多少棵？ 【典例】 4．读书节中品数学味道。 (1)学校“读书节”要对“读书小达人”进行表彰。全校6个年级，每个年级4个班，每个班表彰5名，一共有多少名读书小达人受到表彰？ (2)学校为受表彰的“读书小达人”购买图书作为奖励。6本图书需要168元，买120本这样的图书需要多少元？（先用列表法或摘录法整理信息和问题，再列式解答。） 提升练习 二、填空题 5．小亮在计算（5400÷45＋□）×18时，漏看了括号，算出的结果是264，这道题的正确结果是( )。 6．120×50的积是( )位数，末尾一共有( )个0。 7．的积是( )位数；的积的末尾有( )个0。 8．用3、4、5、6、7五个数字组成一个三位数和一个两位数。组成乘积最大的三位数和两位数是( )和( )，两个数的积是( )。 9．335×40的积的末尾有( )个0；要使312×□6的积是五位数，□里最小填( )。 10．乐乐骑自行车从家去图书馆，他前6分钟骑了1410米，照这样的速度，他一共需要24分钟才能到图书馆。乐乐家距离图书馆( )米。 11．用2，4，0，1，6组成的三位数乘两位数的乘法算式，其中乘积最大的算式是( )。 12．幸福采摘园种植了一批石榴树，每行种植了160棵，种植了30行，一共种植了多少棵石榴树？列式为( )，计算时可以先算( )乘( )的积，再在积的末尾添上( )个0，结果是( )棵。 三、选择题 13．关于如图算式的计算过程，说法正确的是（    ）。 A．甲表示的数＞乙表示的数 B．甲表示的数是乙的10倍 C．甲表示的数＝乙表示的数 D．乙表示的数是甲的10倍 14．列竖式计算，下面算式（    ）的过程中，“2×7”表示200×70。 A．290×87 B．209×78 C．209×87 D．29×780 15．明明家的面积是105平方米，他家所在的物业收费标准是每个月每平方米2元。明明家全年的物业费是（    ）元。 A．2520 B．5040 C．210 D．1260 16．林林在用计算器计算24×108时，发现数字键“8”失灵了。如果他仍用这个计算器计算，那么输入（    ）不能得到正确的得数。 A．12×216 B．24×110－2 C．109×24－24 D．24×107＋24 17．9□4×□2是一道三位数乘两位数的算式，这道算式的得数可能是（    ）。 A．10846 B．11088 C．2928 D．108048 四、判断题 18．最小的三位数乘最大的两位数，积是9900。( ) 19．240×（25÷5）和240×25÷5的运算顺序不同，计算结果也不同。( ) 20．350×12的积的末尾有2个“0”。( ) 21．一间教室要用方砖铺地，用边长为4分米的方砖，需要120块。如果改用面积为8平方分米的方砖，至少需要240块。( ) 22．10个边长是10米的正方形的面积是1公顷。( ) 五、计算题 23．用竖式计算。 539×28＝    24×308＝    69×370＝ 六、解答题 24．五一期间，“农家乐”游园迎来了许多游客。到采摘园的有25个团，每个团120人；参加编织和捕鱼的共有28个团，每个团108人。请你帮忙算一算，五一期间到“农家乐”游园的一共有多少人？ 25．砂糖橘丰收：果园收获240筐，每筐6千克，每千克卖12元，全部售出总收入多少元？ 26．李叔叔从家到单位，如果骑自行车，速度是250米/分，需要24分钟。如果改乘公交车，速度是750米/分，需要多少分钟？ 27．中国传世名画《清明上河图》画面为长方形，是北宋张择端所作，具有重要的历史价值和艺术价值。这幅画长528厘米，宽25厘米。它的面积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $