第六单元两、三位数除以一位数（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学苏教版

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理两、三位数除以一位数的知识体系，涵盖整十整百数口算、笔算四步流程、商中间末尾有0的除法等核心模块，用框架图呈现首位够除与不够除、余数规则等重难点，清晰展现知识内在逻辑与递进关系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如“整十数口算补0规律”夯实运算能力，提升题如“手工展141个作品摆8张桌子”培养应用意识，结合高频易错点分析，帮助学生规避商漏0、余数超标等问题，支持教师实施精准分层教学，助力不同层次学生提升。

第六单元 两、三位数除以一位数（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《两、三位数除以一位数》是苏教版三年级上册数学核心计算单元，承接二年级表内除法、有余数除法基础，是小学阶段整数除法体系的关键进阶内容。本单元系统掌握整十、整百数除以一位数口算，两位数、三位数除以一位数的笔算除法，包含首位整除、首位不够除、有余数除法、商中间或末尾有0的特殊除法，建立规范竖式笔算体系，是后续小数除法、多位数除法、四则混合运算及解决复杂除法应用题的重要基础。 2. 单元核心知识体系 本单元包含六大核心模块：整十整百数除以一位数的口算规律、两三位数除以一位数基本笔算算理、首位不够除的除法规则、除法余数核心性质、商中间和末尾有0的特殊除法、除法验算方法，同时整合除法数量关系、估算逻辑、计算层级规律与完整易错点辨析，构建完整的整数笔算除法知识体系。 3. 核心学习本质 依托数位拆分思想，将两位数、三位数按十位、百位、个位依次拆分，从高位到低位逐位平均分，遵循十进制平均分与余数顺延规则，实现从表内简单除法向多位数笔算除法的思维升级，掌握标准化、程序化的笔算运算逻辑。 知识点二、整十、整百数除以一位数口算规律 1. 整十数除以一位数口算原理 把整十数看作几个十，用几个十除以一位数，得到的结果表示几个十，最后在得数末尾补0。本质是将大数除法转化为表内除法计算，简化口算步骤，依托计数单位完成快速运算。 2. 整百数除以一位数口算原理 把整百数看作几个百，用几个百除以一位数，算出结果表示几个百，对应在得数末尾补两个0，计算逻辑与整十数口算完全一致，仅计数单位层级不同。 3. 口算通用规律 先忽略末尾的0，用前面的非零数字除以一位数，算出表内除法结果，再看被除数末尾剩余几个0，就在商的末尾补上对应个数的0，适配所有整除型整十、整百数除法口算。 4. 口算商的位数预判 整十、整百数除以一位数，商可能是整十数、整百数或个位数，根据被除数计数单位与除数的匹配情况自动适配，无余数、无剩余，均为完全整除运算。 知识点三、两、三位数除以一位数笔算通用规则 1. 笔算核心运算顺序 多位数除以一位数，统一从最高位除起，从高位向低位依次逐位计算，先除百位、再除十位、最后除个位，依次类推，不可从低位倒序计算，运算顺序固定不变。 2. 逐位笔算四步流程 所有笔算除法统一遵循四步固定流程：一除、二乘、三减、四落。先用当前数位数字除以除数，算出商；用商乘除数写出乘积；用当前数位余数减去乘积；落下下一位数字，继续循环计算，直至所有数位计算完毕。 3. 商的数位书写规则 除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的正上方，数位严格对齐，保证商的百位、十位、个位与被除数对应数位一一对应，杜绝数位错位。 4. 余数硬性大小规则 每一步计算得到的余数，必须始终小于除数，若余数大于或等于除数，说明当前商偏小，需要调大商重新计算，这是除法笔算的核心判定标准。 知识点四、首位够除与首位不够除除法规律 1. 首位够除判定与特征 三位数除以一位数，被除数百位上的数字大于或等于除数，属于首位够除。此时商是三位数，最高位商写在百位上，直接从百位开始逐位除起，数位完整、计算流程标准。 2. 首位不够除判定与特征 三位数除以一位数，被除数百位上的数字小于除数，属于首位不够除。此时百位无法单独平均分，需要将百位与十位数字合并为几百几十数再除，商的最高位在十位上，最终商是两位数。 3. 商的位数预判方法 两位数除以一位数，十位数字≥除数，商是两位数；十位数字＜除数，商是一位数。三位数除以一位数，百位数字≥除数，商是三位数；百位数字＜除数，商是两位数，可快速预判商的位数范围。 知识点五、有余数除法完整规则 1. 有余数除法核心性质 在整数除法中，不能整除时产生余数，余数必须满足：0＜余数＜除数，余数最小为1，最大为除数减1，不存在余数大于等于除数的合法情况。 2. 末尾有余数书写规范 当最后一位个位计算完成后，剩余数字小于除数，直接作为最终余数保留，无需继续计算，算式末尾规范标注余数，余数数位与被除数个位对齐。 3. 余数顺延计算规则 每一步计算产生的余数，必须与下一位落下的数字组合成新数，继续参与除法计算，不可直接舍弃中间余数，中间余数必须顺延参与下位运算。 知识点六、商中间、末尾有0的特殊除法（重难点） 1. 商中间有0的算理规则 三位数除以一位数，百位除完无余数，十位上的数字小于除数、不够商1时，必须在十位上商0占位，再落下个位数字合并继续计算，十位的0绝对不能省略，否则数位缺失、商的位数错误。 2. 商末尾有0的算理规则 两、三位数除以一位数，除到十位刚好整除无余数，个位数字小于除数或个位为0，直接在个位商0占位，剩余个位小数直接作为余数或整除收尾，保证商的数位完整。 3. 0的占位核心意义 除法竖式中，不够商1的数位必须商0占位，0起到补全数位、固定商的位数的关键作用，不可以空数位、不写0，是特殊除法最核心规范。 4. 0不能做除数硬性规则 0可以作为被除数，0除以任何不为0的数，商都是0；0绝对不能作为除数，0做除数无数学意义，属于运算禁忌。 知识点七、除法验算完整体系 1. 整除除法验算规则 没有余数的除法，验算公式：商×除数=被除数，通过乘法反向验证除法结果，等式成立则计算正确。 2. 有余数除法验算规则 有余数的除法，验算公式：商×除数＋余数=被除数，必须同时乘除数、加余数，两步完成验算，缺一不可，是易错重点。 3. 验算核心作用 通过固定验算公式，可自主排查商写错、余数超标、漏写0、数位对错等所有笔算错误，是保证除法计算准确率的核心方法。 知识点八、除法估算核心逻辑 1. 估算适用场景 不需要精确计算时，可将被除数看成最接近的整十、整百数，用口算除法快速估算结果范围，用于判断精确值的大致区间、检验结果合理性。 2. 估算核心原则 将被除数估成能被除数整除的就近整数，不改变除数，只调整被除数，估算结果为近似值，用于快速判断笔算结果是否合理。 知识点九、除法基础数量关系 1. 整除数量公式 被除数÷除数=商、商×除数=被除数、被除数÷商=除数，三者互相推导，构成整除完整数量逻辑。 2. 有余数除法数量公式 被除数÷除数=商……余数、被除数=商×除数+余数、除数=（被除数−余数）÷商，公式可逆推导，适配所有有余数除法场景。 3. 除法两类应用模型 平均分模型：总数÷份数=每份数；包含分模型：总数÷每份数=份数，两类模型覆盖本单元所有除法实际应用逻辑。 知识点十、单元高频易错点汇总 1. 笔算顺序与数位易错 不从高位除起，颠倒运算顺序；商的数位对错，高位商写低位、低位商写高位；数位错位导致整体结果错误。 2. 0的占位易错 十位、个位不够商1时，漏写0占位；误认为末尾无数字可以不写0，导致商少一位、数值严重偏差。 3. 余数规则易错 计算后余数大于或等于除数，未及时调商；忽略中间余数，落下数字错误；末尾余数书写不规范、漏写余数。 4. 首位不够除易错 首位不够除时，不合并下一位数字直接商0；不会预判商的位数，导致商多位数、少位数的格式错误。 5. 验算方法易错 有余数除法验算只乘不加余数；验算公式记反，用被除数反向计算，无法正确自查对错。 6. 口算易错 整十整百数口算末尾0补错个数；混淆计数单位，几个十、几个百换算错误，口算结果偏差。 7. 特殊规则易错 混淆0的除法规律，误算0÷任意数=0以外结果；错误认为0可以做除数，违背运算硬性规则。 8. 步骤书写易错 笔算跳过乘、减步骤，竖式过程残缺；落下数字遗漏、步骤混乱，导致后续计算连锁出错。 一、例题讲解 【典例】 1．的积的末尾有( )个0；的商的末尾有( )个0。 【答案】 3 2 【分析】计算出400×5的积，再数出末尾0的个数计算出402÷4的商，再数出商末尾0的个数。 【详解】400×5＝2000 402÷4＝1002 的积的末尾有3个0；的商的末尾有2个0。 【典例】 2．125×8的积的末尾有( )个0；算式807÷8的商的末尾有( )个0。 【答案】 3 2 【分析】要判断积、商末尾0的个数，需要先计算出算式结果，再数末尾0的数量。 【详解】125×8＝1000，1000末尾有3个0。 807÷8＝100……7，商是100，末尾有2个0。 【典例】 3．《本草纲目》中称三七为“金不换”。药店收购了858克三七，已售出240克，剩下的平均装成了3袋储存，每袋装多少克？ 【答案】206克 【分析】要计算每袋装多少克，需先求出剩余的三七质量，再用剩余质量除以袋数。 【详解】（克） （克） 答：每袋装206克。 【典例】 4．为了庆祝神舟二十三号载人飞船成功发射，铜陵市某小学举办了“航天主题”手工展活动，共有141个手工作品，每张桌子摆8个，可以摆满多少张桌子？还剩多少个手工作品？ 【答案】17张；5个； 【分析】已知共有141个手工作品，每张桌子摆8个，求能摆满的桌子数与剩余个数，用除法计算，商是摆满的桌子数，余数是剩余的作品数。 【详解】（张）（个） 答：可以摆满17张桌子，还剩5个手工作品。 提升练习 二、填空题 5．绳采飞扬，挑战自我。淘气和奇思在课间操进行了跳绳比赛。淘气2分钟跳了238个，奇思3分钟跳了345个，( )跳绳跳得快。 【答案】淘气 【分析】求谁跳得快，应将两人每分钟跳绳次数进行比较，每分钟跳绳数＝跳绳数÷时间，据此代入数值解答。 【详解】238÷2＝119（个） 345÷3＝115（个） 119＞115 所以淘气跳绳跳得快。 6．《三字经》是我国的传统启蒙教材，以“三字一句”的格式呈现，读起来朗朗上口。如“人之初，性本善，性相近，习相远。”那么《三字经》的第378个字，是第( )句的第( )个字。 【答案】 126 3 【分析】因为《三字经》固定是每句3个字，我们可以这样计算：先算378个字一共对应多少完整的3字句：用总字数除以每句的字数，378÷3＝126，没有余数，说明刚好数完第126句的全部3个字，也就是第126句的第3个字。 【详解】378÷3＝126 《三字经》的第378个字，是第126句的第3个字。 7．三年级3个班共收集介休景点照片93张，在求平均每个班收集多少张照片时，同学们列出了的算式。口算时，先算( )，再算( )，最后算( )。 【答案】 【分析】两位数除以一位数的拆分方法：把93拆成整十数90和个位数3，先把整十部分除以除数，再把个位部分除以除数，最后把两次得到的商加起来，就得到最终结果。 【详解】口算93÷3时，先算90÷3＝30，再算3÷3＝1，最后算30＋1＝31。 8．王阿姨准备制作一些糖葫芦（如图），她一共准备了407颗山楂，最多可以制作( )串这样的糖葫芦。 【答案】67 【分析】观察图片，每串糖葫芦需要6颗山楂。要计算最多能做多少串，用山楂总数量除以每串所需的山楂数量，用到除法运算。如果计算结果有余数，那么余数部分的山楂不足以再制作一串，因此取商的整数部分作为最终结果。 【详解】（串）……5（颗） 余下的5颗山楂不够再做1串完整的糖葫芦，所以最多能制作67串。 9．183天是( )个星期零( )天。 【答案】 26 1 【分析】一个星期有7天，用183除以7，即可知道183天是多少个星期零几天。 【详解】183÷7＝26（个）……1（天） 183天是26个星期零1天。 10．某小学组织“科技创新大赛”活动，学校为参赛选手准备了273个烧杯用于实验操作，若每个托盘最多能放9个烧杯，则准备30个托盘( )。（填“够”或“不够”） 【答案】不够 【分析】已知273个烧杯，每个托盘最多能放9个烧杯，先用除法计算出一共需要多少个托盘，如果有余数，则是不够装一个托盘的烧杯数，也需要一个托盘，所以要在商的基础上加1。将最后的结果再与30比较即可。 【详解】273÷9＝30（个） ……3（个） 30＋1＝31（个） 30＜31 准备30个托盘不够。 11．助农志愿者助力家乡特产销售，开播后前7分钟卖出896袋红薯粉条和756袋黄河小米。平均每分钟卖出( )袋黄河小米。 【答案】 108 【分析】根据题意，用黄河小米的总袋数除以7即可求出平均每分钟卖出的袋数。 【详解】756÷7＝108（袋） 12．每本日记本5元，五一期间商店促销活动，买4本送1本，100元最多可以买到( )本日记本。 【答案】25 【分析】首先，看一下100元可以买到多少本日记本，然后将买到的日记本每4本分成一组，根据优惠活动，每一组可再领到1本日记本，最后将买的日记本和送的日记本本数加在一起，就是最多可得到的日记本本数。 【详解】100÷5＝20（本） 20÷4＝5（组） 20＋5×1 ＝20＋5 ＝25（本） 所以，100元最多买到25本日记本。 三、选择题 13．乐乐练习写毛笔字，6天一共写了276个字，请你估一估他平均每天写字的个数。下面的答案中，正确的是（    ）。 A．比40个少 B．在40个到50个之间 C．比50个多 【答案】B 【分析】求乐乐平均每天写多少字的算式为：276÷6，根据三位数除以一位数的估算，可以先将276估成240，估算出乐乐平均每天写的字数；再将276估成300，估算出乐乐平均每天写的字数，因为240＜276＜300，所以乐乐平均每天写的字数就在这两个估算值之间。根据计算结果选出正确的选项即可。 【详解】276估成240， 240÷6＝40（个），240＜276，所以乐乐实际每天写的字数大于40个；276估成300，300÷6＝50（个），276＜300，所以乐乐实际每天写的字数小于50个；因此乐乐平均每天写字的个数在40个到50个之间。选项B符合题意。 14．下面各组数中，除以3都没有余数的是（    ）。 A．345、221、136 B．273、169、306 C．489、366、183 【答案】C 【分析】除以3都没有余数，那么每个选项里的几个数都要能被3整除，即用这几个数除以3，看有无余数即可。 【详解】A．，345是3的倍数；，221不是3的倍数，排除A。 B．，273是3的倍数；，169不是3的倍数，排除B。 C．，489是3的倍数；，366是3的倍数；，183是3的倍数，三个数都符合要求，所以C符合要求。 15．下面算式中，商最接近100的是（    ）。 A．598÷5 B．303÷3 C．812÷4 【答案】B 【分析】把算式中的被除数估算成与它相近的几百几十的数，且可以被除数整除的数即可，据此计算出各个选项的结果，再比较，看哪个商最接近100，由此可解。 【详解】A．598÷5≈600÷5＝120 B．303÷3≈300÷3＝100 C．812÷4≈800÷4＝200 商最接近100的算式是303÷3。 16．山东潍坊又称“鸢都”，制作风筝历史悠久。制作一只风筝需要5根竹条和4张彩纸，现有264根竹条和226张彩纸，最多可以制作（    ）只风筝。 A．52 B．56 C．108 【答案】A 【分析】制作完整风筝需要同时使用竹条和彩纸，要分别算出两种材料各自最多能做的风筝数量，取较小的数值就是最多能做的完整风筝数。 【详解】竹条可制作风筝数量：264÷5＝52（只）……4（根） 彩纸可制作风筝数量：226÷4＝56（只）……2（张） 56＞52 因此最多可以制作52只风筝。 17．为响应“一盔一带”安全守护行动，王叔叔带150元去商场为家人购买了2个安全头盔。根据下面的竖式，你认为下面说法正确的是（    ）。 A．2个安全头盔14元 B．王叔叔还剩10元 C．王叔叔还剩1元 【答案】B 【分析】根据除法竖式可知：2表示2个安全头盔，150表示带的150元，商在十位上，表示70，说明一个安全头盔是70元，余数1在十位上，表示还剩下10元，据此解答。 【详解】A．从竖式中可知，商7在十位上，表示1个安全头盔是70元，2个安全头盔是140元，选项说法错误，不符合题意。 B．从竖式中可知，商7在十位上，此时余数1也在十位上，十位上的1表示1个10，即买2个安全头盔后还剩下10元，选项说法正确，符合题意。 C．从竖式中可知，商7在十位上，此时余数1也在十位上，十位上的1表示1个10，即买2个安全头盔后还剩下10元，不是还剩1元，选项说法错误，不符合题意。 四、判断题 18．计算时，可以这样想：48个十除以8等于6个十。( ) 【答案】 √ 【分析】几百几十的数除以一位数口算时，可以将几百几十数看作几个十，再用表内除法计算。 【详解】480是48个十，，即48个十除以8等于6个十，该说法正确。 故答案为：√ 19．计算306÷6时，因为被除数中间是0，所以商的中间也是0。( ) 【答案】× 【分析】计算306÷6时，要按被除数与商的对应数位计算。百位上的3除以6不够商1，要先看前两位30，30除以6得5，商5写在十位；再把个位上的6落下继续除，不能只根据被除数中间有0就判断商中间也有0。 【详解】306÷6＝51。计算时，30÷6＝5，商5与被除数的十位对齐；再把个位上的6落下，6÷6＝1，商1与个位对齐。因此商是51，中间没有0，原题说法错误。 故答案为：× 20．把186本笔记本平均分给4个班，每班分到46本，还剩2本。( ) 【答案】 √ 【分析】根据题意，用笔记本的本数除以班级个数，再根据商和余数进行判断即可。 【详解】186÷4＝46（本）……2（本） 所以，把186本笔记本平均分给4个班，每班分到46本，还剩2本。 故答案为：√ 21．一辆汽车限乘6人，81人至少需要租13辆这样的汽车。( ) 【答案】× 【分析】每辆车限乘6人，用总人数81除以每辆客车可以乘坐的人数即可，当有余数（剩余的人）时，需要再加1辆车，不能直接舍去。 【详解】（辆）（人） （辆） 由此可知，一辆汽车限乘6人，81人至少需要租13辆这样的汽车，说法错误。 故答案为：× 22．一辆观光车限乘7人，65人至少需要10辆观光车。( ) 【答案】√ 【分析】租车类问题中，若计算后有余数，余下的人也需要1辆车，最终车辆数为商加1。 【详解】（辆）（人） （辆） 一辆观光车限乘7人，65人至少需要10辆观光车。原题说法正确。 故答案为：√ 五、计算题 23．用递等式计算。 （387＋373）÷4              520＋654÷6              234×5－39 【答案】；； 【分析】（1）先计算括号里的加法，再计算括号外的除法； （2）先计算除法，再计算加法； （3）先计算乘法，再计算减法。 【详解】（387＋373）÷4 ＝760÷4 ＝190 520＋654÷6 ＝520＋109 ＝629 234×5－39 ＝1170－39 ＝1131 六、解答题 24．李伯伯一共摘了282个苹果，分装在3个同样的筐里，请你估算一下，平均每筐大约装多少个苹果？（注意说明你的估算结果在哪两个数之间） 【答案】90个；估算结果在90和100之间 【分析】将被除数估成能被3整除的接近的整十、整百数，分别计算后确定商的范围，得到估算结果。 【详解】把282看作接近的较小的能被3整除的数270：（个） 因为，所以每筐苹果数多于90个； 把282看作接近的较大的能被3整除的数300：（个） 因为，所以每筐苹果数少于100个； 答：平均每筐大约装90个苹果，估算结果在90和100之间。 25．“六一”儿童节那天，老师带领同学们折千纸鹤装扮教室。每人折9只，36名同学刚好全部折完。如果每人折6只，需要多少名同学一起折？ 【答案】 54名 【分析】千纸鹤的总数量固定不变，先算出总数量，再用总数量除以每人折6只的数量，就能得到需要的同学人数。 【详解】（只） （名） 答：需要54名同学一起折。 26．研学活动中，同学们需要分组进行湖边环保清理。全年级共有216名同学，平均分成8个小组进行活动。每个小组有多少名同学？ 【答案】27名 【分析】把216名同学平均分成8个小组，求每个小组的人数，就是把216平均分成8份，求每份是多少，用除法计算。 【详解】（名） 答：每个小组有27名同学。 27．永城盛产枣干，某工厂加工了一批枣干，发货时可供选择的包装箱有大小两种规格：大箱子每个可以装9千克，小箱子每个可以装6千克。原计划用126个小箱子，正好装完，实际改用大箱子，需要多少个？ 【答案】84个 【分析】先求出枣干的总质量，总质量＝每个小箱子装的质量×小箱子个数；再用总质量除以每个大箱子装的质量，求出需要大箱子的数量。 【详解】126×6＝756（千克） 756÷9＝84（个） 答：需要84个。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 两、三位数除以一位数（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《两、三位数除以一位数》是苏教版三年级上册数学核心计算单元，承接二年级表内除法、有余数除法基础，是小学阶段整数除法体系的关键进阶内容。本单元系统掌握整十、整百数除以一位数口算，两位数、三位数除以一位数的笔算除法，包含首位整除、首位不够除、有余数除法、商中间或末尾有0的特殊除法，建立规范竖式笔算体系，是后续小数除法、多位数除法、四则混合运算及解决复杂除法应用题的重要基础。 2. 单元核心知识体系 本单元包含六大核心模块：整十整百数除以一位数的口算规律、两三位数除以一位数基本笔算算理、首位不够除的除法规则、除法余数核心性质、商中间和末尾有0的特殊除法、除法验算方法，同时整合除法数量关系、估算逻辑、计算层级规律与完整易错点辨析，构建完整的整数笔算除法知识体系。 3. 核心学习本质 依托数位拆分思想，将两位数、三位数按十位、百位、个位依次拆分，从高位到低位逐位平均分，遵循十进制平均分与余数顺延规则，实现从表内简单除法向多位数笔算除法的思维升级，掌握标准化、程序化的笔算运算逻辑。 知识点二、整十、整百数除以一位数口算规律 1. 整十数除以一位数口算原理 把整十数看作几个十，用几个十除以一位数，得到的结果表示几个十，最后在得数末尾补0。本质是将大数除法转化为表内除法计算，简化口算步骤，依托计数单位完成快速运算。 2. 整百数除以一位数口算原理 把整百数看作几个百，用几个百除以一位数，算出结果表示几个百，对应在得数末尾补两个0，计算逻辑与整十数口算完全一致，仅计数单位层级不同。 3. 口算通用规律 先忽略末尾的0，用前面的非零数字除以一位数，算出表内除法结果，再看被除数末尾剩余几个0，就在商的末尾补上对应个数的0，适配所有整除型整十、整百数除法口算。 4. 口算商的位数预判 整十、整百数除以一位数，商可能是整十数、整百数或个位数，根据被除数计数单位与除数的匹配情况自动适配，无余数、无剩余，均为完全整除运算。 知识点三、两、三位数除以一位数笔算通用规则 1. 笔算核心运算顺序 多位数除以一位数，统一从最高位除起，从高位向低位依次逐位计算，先除百位、再除十位、最后除个位，依次类推，不可从低位倒序计算，运算顺序固定不变。 2. 逐位笔算四步流程 所有笔算除法统一遵循四步固定流程：一除、二乘、三减、四落。先用当前数位数字除以除数，算出商；用商乘除数写出乘积；用当前数位余数减去乘积；落下下一位数字，继续循环计算，直至所有数位计算完毕。 3. 商的数位书写规则 除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的正上方，数位严格对齐，保证商的百位、十位、个位与被除数对应数位一一对应，杜绝数位错位。 4. 余数硬性大小规则 每一步计算得到的余数，必须始终小于除数，若余数大于或等于除数，说明当前商偏小，需要调大商重新计算，这是除法笔算的核心判定标准。 知识点四、首位够除与首位不够除除法规律 1. 首位够除判定与特征 三位数除以一位数，被除数百位上的数字大于或等于除数，属于首位够除。此时商是三位数，最高位商写在百位上，直接从百位开始逐位除起，数位完整、计算流程标准。 2. 首位不够除判定与特征 三位数除以一位数，被除数百位上的数字小于除数，属于首位不够除。此时百位无法单独平均分，需要将百位与十位数字合并为几百几十数再除，商的最高位在十位上，最终商是两位数。 3. 商的位数预判方法 两位数除以一位数，十位数字≥除数，商是两位数；十位数字＜除数，商是一位数。三位数除以一位数，百位数字≥除数，商是三位数；百位数字＜除数，商是两位数，可快速预判商的位数范围。 知识点五、有余数除法完整规则 1. 有余数除法核心性质 在整数除法中，不能整除时产生余数，余数必须满足：0＜余数＜除数，余数最小为1，最大为除数减1，不存在余数大于等于除数的合法情况。 2. 末尾有余数书写规范 当最后一位个位计算完成后，剩余数字小于除数，直接作为最终余数保留，无需继续计算，算式末尾规范标注余数，余数数位与被除数个位对齐。 3. 余数顺延计算规则 每一步计算产生的余数，必须与下一位落下的数字组合成新数，继续参与除法计算，不可直接舍弃中间余数，中间余数必须顺延参与下位运算。 知识点六、商中间、末尾有0的特殊除法（重难点） 1. 商中间有0的算理规则 三位数除以一位数，百位除完无余数，十位上的数字小于除数、不够商1时，必须在十位上商0占位，再落下个位数字合并继续计算，十位的0绝对不能省略，否则数位缺失、商的位数错误。 2. 商末尾有0的算理规则 两、三位数除以一位数，除到十位刚好整除无余数，个位数字小于除数或个位为0，直接在个位商0占位，剩余个位小数直接作为余数或整除收尾，保证商的数位完整。 3. 0的占位核心意义 除法竖式中，不够商1的数位必须商0占位，0起到补全数位、固定商的位数的关键作用，不可以空数位、不写0，是特殊除法最核心规范。 4. 0不能做除数硬性规则 0可以作为被除数，0除以任何不为0的数，商都是0；0绝对不能作为除数，0做除数无数学意义，属于运算禁忌。 知识点七、除法验算完整体系 1. 整除除法验算规则 没有余数的除法，验算公式：商×除数=被除数，通过乘法反向验证除法结果，等式成立则计算正确。 2. 有余数除法验算规则 有余数的除法，验算公式：商×除数＋余数=被除数，必须同时乘除数、加余数，两步完成验算，缺一不可，是易错重点。 3. 验算核心作用 通过固定验算公式，可自主排查商写错、余数超标、漏写0、数位对错等所有笔算错误，是保证除法计算准确率的核心方法。 知识点八、除法估算核心逻辑 1. 估算适用场景 不需要精确计算时，可将被除数看成最接近的整十、整百数，用口算除法快速估算结果范围，用于判断精确值的大致区间、检验结果合理性。 2. 估算核心原则 将被除数估成能被除数整除的就近整数，不改变除数，只调整被除数，估算结果为近似值，用于快速判断笔算结果是否合理。 知识点九、除法基础数量关系 1. 整除数量公式 被除数÷除数=商、商×除数=被除数、被除数÷商=除数，三者互相推导，构成整除完整数量逻辑。 2. 有余数除法数量公式 被除数÷除数=商……余数、被除数=商×除数+余数、除数=（被除数−余数）÷商，公式可逆推导，适配所有有余数除法场景。 3. 除法两类应用模型 平均分模型：总数÷份数=每份数；包含分模型：总数÷每份数=份数，两类模型覆盖本单元所有除法实际应用逻辑。 知识点十、单元高频易错点汇总 1. 笔算顺序与数位易错 不从高位除起，颠倒运算顺序；商的数位对错，高位商写低位、低位商写高位；数位错位导致整体结果错误。 2. 0的占位易错 十位、个位不够商1时，漏写0占位；误认为末尾无数字可以不写0，导致商少一位、数值严重偏差。 3. 余数规则易错 计算后余数大于或等于除数，未及时调商；忽略中间余数，落下数字错误；末尾余数书写不规范、漏写余数。 4. 首位不够除易错 首位不够除时，不合并下一位数字直接商0；不会预判商的位数，导致商多位数、少位数的格式错误。 5. 验算方法易错 有余数除法验算只乘不加余数；验算公式记反，用被除数反向计算，无法正确自查对错。 6. 口算易错 整十整百数口算末尾0补错个数；混淆计数单位，几个十、几个百换算错误，口算结果偏差。 7. 特殊规则易错 混淆0的除法规律，误算0÷任意数=0以外结果；错误认为0可以做除数，违背运算硬性规则。 8. 步骤书写易错 笔算跳过乘、减步骤，竖式过程残缺；落下数字遗漏、步骤混乱，导致后续计算连锁出错。 一、例题讲解 【典例】 1．的积的末尾有( )个0；的商的末尾有( )个0。 【典例】 2．125×8的积的末尾有( )个0；算式807÷8的商的末尾有( )个0。 【典例】 3．《本草纲目》中称三七为“金不换”。药店收购了858克三七，已售出240克，剩下的平均装成了3袋储存，每袋装多少克？ 【典例】 4．为了庆祝神舟二十三号载人飞船成功发射，铜陵市某小学举办了“航天主题”手工展活动，共有141个手工作品，每张桌子摆8个，可以摆满多少张桌子？还剩多少个手工作品？ 提升练习 二、填空题 5．绳采飞扬，挑战自我。淘气和奇思在课间操进行了跳绳比赛。淘气2分钟跳了238个，奇思3分钟跳了345个，( )跳绳跳得快。 6．《三字经》是我国的传统启蒙教材，以“三字一句”的格式呈现，读起来朗朗上口。如“人之初，性本善，性相近，习相远。”那么《三字经》的第378个字，是第( )句的第( )个字。 7．三年级3个班共收集介休景点照片93张，在求平均每个班收集多少张照片时，同学们列出了的算式。口算时，先算( )，再算( )，最后算( )。 8．王阿姨准备制作一些糖葫芦（如图），她一共准备了407颗山楂，最多可以制作( )串这样的糖葫芦。 9．183天是( )个星期零( )天。 10．某小学组织“科技创新大赛”活动，学校为参赛选手准备了273个烧杯用于实验操作，若每个托盘最多能放9个烧杯，则准备30个托盘( )。（填“够”或“不够”） 11．助农志愿者助力家乡特产销售，开播后前7分钟卖出896袋红薯粉条和756袋黄河小米。平均每分钟卖出( )袋黄河小米。 12．每本日记本5元，五一期间商店促销活动，买4本送1本，100元最多可以买到( )本日记本。 三、选择题 13．乐乐练习写毛笔字，6天一共写了276个字，请你估一估他平均每天写字的个数。下面的答案中，正确的是（    ）。 A．比40个少 B．在40个到50个之间 C．比50个多 14．下面各组数中，除以3都没有余数的是（    ）。 A．345、221、136 B．273、169、306 C．489、366、183 15．下面算式中，商最接近100的是（    ）。 A．598÷5 B．303÷3 C．812÷4 16．山东潍坊又称“鸢都”，制作风筝历史悠久。制作一只风筝需要5根竹条和4张彩纸，现有264根竹条和226张彩纸，最多可以制作（    ）只风筝。 A．52 B．56 C．108 17．为响应“一盔一带”安全守护行动，王叔叔带150元去商场为家人购买了2个安全头盔。根据下面的竖式，你认为下面说法正确的是（    ）。 A．2个安全头盔14元 B．王叔叔还剩10元 C．王叔叔还剩1元 四、判断题 18．计算时，可以这样想：48个十除以8等于6个十。( ) 19．计算306÷6时，因为被除数中间是0，所以商的中间也是0。( ) 20．把186本笔记本平均分给4个班，每班分到46本，还剩2本。( ) 21．一辆汽车限乘6人，81人至少需要租13辆这样的汽车。( ) 22．一辆观光车限乘7人，65人至少需要10辆观光车。( ) 五、计算题 23．用递等式计算。 （387＋373）÷4              520＋654÷6              234×5－39 六、解答题 24．李伯伯一共摘了282个苹果，分装在3个同样的筐里，请你估算一下，平均每筐大约装多少个苹果？（注意说明你的估算结果在哪两个数之间） 25．“六一”儿童节那天，老师带领同学们折千纸鹤装扮教室。每人折9只，36名同学刚好全部折完。如果每人折6只，需要多少名同学一起折？ 26．研学活动中，同学们需要分组进行湖边环保清理。全年级共有216名同学，平均分成8个小组进行活动。每个小组有多少名同学？ 27．永城盛产枣干，某工厂加工了一批枣干，发货时可供选择的包装箱有大小两种规格：大箱子每个可以装9千克，小箱子每个可以装6千克。原计划用126个小箱子，正好装完，实际改用大箱子，需要多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $