第1章 二次函数 学情自测试卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，全面覆盖定义、图像性质、解析式、应用等核心知识，梯度设计合理，适配学情自测与单元巩固，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数定义（题1）、图像性质（题2、5）、函数关系判断（题4）|结合图像分析（题6、7），考查几何直观与推理能力| |填空题|6/18|解析式求法（题14）、最值（题13）、开放题（题12）|设置动态参数问题（题16），培养创新意识| |解答题|8/72|配方法（题17）、实际应用（题22拱桥、24利润）、几何综合（题23动点）|突出模型意识，如题24建立利润函数模型；综合几何与函数（题19、23），体现数学语言表达现实问题|

第1章二次函数学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 2．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 3．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 4．已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为是解题的关键．根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，不可能是一次函数关系，可能是二次函数关系，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为，故可能是反比例函数关系，故②正确； 故选：C． 5．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 6．已知二次函数的图象如图所示，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点位于y轴的正半轴， ，，， ， ，， 直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选B． 7．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 8．在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由向右平移个单位长度所得，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移性质得到的对称轴，直线到两条对称轴的距离相等，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得，， ∴的对称轴为直线， ∵与关于直线对称， ∴， ∴． 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 10．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知函数是二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，指数必须为2且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得且 ∴ 故m的值为． 故答案为：． 12．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 13．已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 14．已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线的对称轴是直线，且经过点，建立方程组求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且经过点， ， 解得， 则该抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 15．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为______． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴的求解，解决本题的关键是分类讨论的正负． （1）通过将抛物线方程化为顶点式或利用对称轴公式，可求得对称轴； （2）根据抛物线开口方向分类讨论：当时，抛物线开口向上，利用点与对称轴的位置关系及值不等式求解；当时，抛物线开口向下，验证条件是否成立，最终确定的取值范围． 【详解】解：（1）抛物线（）的对称轴公式为， 其中，，代入得， 故对称轴为直线； 故答案为：； （2）设点和在抛物线上，且，， 满足 ， 当时，抛物线开口向上，对称轴为 ， 由和，得 ， 由于，且开口向上，点离对称轴越远 值越大， 故，即 ， 代入和：，简化得 ，即 ， 又，即， 代入得， 因式分解为， 由于，需，解得 ， 综上，； 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 由和，得和，两点均在对称轴右侧， 开口向下时，右侧函数递减，需才能满足， 即 ，解得 ， 但与 结合得 ， 此时验证：即， 但在范围内，，，， 乘积为负，不满足不等式，故无解； 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 【详解】解： ． 18．已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 19．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 20．已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． （2）解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． （3）解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 21．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： (1)当时，的取值范围__________； (2)此二次函数的解析式是__________ (3)当时，的最大值是__________； (4)当时，的取值范围是__________； (5)若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)3 (4) (5) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，图象法确定的取值范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）根据增减性，进行求解即可； （5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 由图象可知，当时，的取值范围为或； （2）由（1）可知，图象经过，， ∴抛物线的解析式为； （3）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 故答案为：3； （4）由（2）可知，当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 当时，函数有最小值为； ∴； （5）∵， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴． 22．图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 (1)求的值； (2)求支柱的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是特定点坐标的确定； （1）由已知可得点的坐标，代入解析式即可求出的值； （2）由已知可得点的横坐标，代入解析式可得其纵坐标，因此的高即可求得． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：， ∵点在抛物线上， ∴， 即：； （2）由（1）可知， ∵， ∴点的横坐标是 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，即：点的纵坐标是， ∴． 23．如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． (1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当时，t的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据三角形的面积，即可求解； （2）当时，，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：当时， ， 解得． 所以经过2秒或4秒时的面积为． 24．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章二次函数学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.若=亿-m是=次函数，且开口向上，则m的值为（) A.3 B.-1 C.±3 D.4 2.函数y=(m-2)x2+m 是二次函数，则它的图象() A.开口向上，对称轴为V轴 B.开口向下，顶点在x轴上方 C.开口向上，与x轴无交点 D.开口向下，与x轴无交点 3,长为20cm,宽为l0cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边 ycm2 折起来，做成底面积为 的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为() A.y=(10-x(20-x)0<x<5) B.y=200-4xr2(0<x<5) c.y=(10-2x(20-2x)0<x<5) D.y=200+4x2(0<x<) 4.已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： 2 y与x的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系： ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.若4(-2)，B),C3y,)均在抛物线=-2x-上，则y,2,的大小关 系为() A,%>⅓>乃 B.为>>为 C.为>h>y D.片>片>为 6.已知二次函数'=+hr+e(a≠0) 的图象如图所示，则直线'=abr-c不经过() 试卷第1页，共3页 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知抛物线y=ar+hr+c(a≠0) 的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a+b+c>0 L:y=ax2-6ax-7a 8.在同一平面直角坐标系中，抛物线 与抛物线关于直线=m对称， L'可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为() A.3 B.4 c.5 D.6 9.如图，二次函数y=+h+c(a>0 与一次函数'=m+”的图家交于4，B两点，己 知点3) 点B在'轴上，则不等式r+br-mr≤0的解集是() y=ax2+bx+c y=mx+nA A.x≤-3或x≥0 B.x≤-1或x≥0 C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 10格搬物线C:)=《-+6进行平移得抛物线Cy=+2 P(m,5) ,点 在抛物线C 上，对应点P在抛物线C”上，则点P的横坐标可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 试卷第2页，共3页 二、填空题（每题3分，共18分） 1山.已知函数y=m-3x7 是二次函数，则的值为 12.在二次函数=(-m+1中，当x>1时，y随x的增大而增大，则实数四的值可以是 (写出一个满足条件的m值) 13.已知抛物线)=-4x+1 1,当1≤x54时，函数'的最大值是 14.已知抛物线y=r+hx-2 的对称轴是直线x=1,且经过点 3,0) 则该抛物线的函数 表达式是 二次函数=mr2-3x- 15. 的图象与坐标系横轴有交点，那么m的取值范围是 16,在平面直角坐标系中，已知抛物线'=mr-2mx-3(m≠0) (1)该抛物线的对称轴为 (用含m的式子表示)： (2)设P(,）,(4)为该抛物线上的两点，若5=-2m,与=m+1,且 4>y2>-3 则m的取值范围为： 三、解答题（每题9分，共72分） 1以.用配方法把=次西最方式-2x+3化成y4:-矿+的形式 y=-x2+2x+2 18.已知二次函数 (1)先补全表格，则m= 然后在平面直角坐标系xO少y中用“列表、描点、连线”的 方法画出该二次函数的图象： -1 0 2 y=-x2+2x+2 2 名 2 -1 试卷第3页，共3页 (2)根据表格图象可知，当-1<x<2时，y的取值范围是 ③)点4)和B(m 都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若片≥为， 结合函数 图象，直接写出n的取值范围. 3 2 -4-3-2-10 4衣 19.如图，已知△0AB的顶点 (-6,0)）B(0,2) O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时 针旋转90°，得到aODC】 B (I)写出C,D两点的坐标； (2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标： 20.已知二次函数y=-r+2mx+5 (u为常数). (1)当m=2时，二次函数图像的顶点坐标为 (2)当-1≤x≤2时，y的最大值是8，求m的值： (3)如果点 (m-2,a）hB(3,b)C(m+2,a) 点 点 都在这个二次函数的图像上，且a>b,请 直接写出m的取值范围. 2L.已知二次函数'=-r+bx+ 的图象如图所示，对称轴是直线=-，且经过点亿0) 解答下列问题： 试卷第4页，共3页 (1)当y<0时，x的取值范围 (2)此二次函数的解析式是 (3)当0≤x≤4时，y的最大值是 (4)当-2<x<2时，y的取值范围是 (⑤)若直线y=k与该二次函数的图象有公共点，则k的取值范围是 22.图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为10米（即HF=FG=GM=MP=10 米)，拱桥顶点D到桥面的距离DG=2米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛 物线的表达式为 y=ax2+6 F GM H E D B ① ② (1)求a的值： (2)求支柱EF的高. 23.如图，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以lCm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2cms的速度移动.如果点P,O分别从点A,B同时出发， 经过的时间为t秒，△PBO的面积为S. 试卷第5页，共3页 8cm A P 6cm B (I)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当S=8时，t的值 24.每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血 压血糖测试仪计划在该月销售.根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若 每降价1元，每天可多售出4台.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不 得低于120元.设每台降价x元，每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围： (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 试卷第6页，共3页