第1章二次函数.单元自测 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 覆盖二次函数图像性质、平移、最值等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配九年级上册第1章单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|对称轴（题1）、平移（题2）、图像与x轴交点（题3）|结合图像辨析考查抽象能力| |填空|4题/20分|二次函数定义（题9）、图像与不等式（题10）|设置新定义“和等顶二次函数”（题12），培养创新意识| |解答|6题/60分|解析式求法（题13）、工厂生产最值（题14）、菱形存在性（题18）|以实际生产为情境建立模型（题14），综合几何与函数考查推理意识|

2026-2027学年浙教版九年级上册数学单元自测 第1章二次函数.能力提升 时间:90分钟 满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________ 考卷信息:本卷试题共18题，单选8题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 1．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 2．把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A． B． C． D． 3．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 4．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C．D． 5．已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 6．在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当且时，则 C．当时，则 D．当时，则 7．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．若是二次函数，则________． 10．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 11．已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 12．设二次函数的图象的顶点坐标分别为，若，且开口方向相同，则称是的“和等顶二次函数”． （1）已知二次函数与，那么____________的“和等顶二次函数”（填“是”与“不是”）； （2）已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“和等顶二次函数”，则n的值为____________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求该函数的顶点坐标． 14．某工厂现有74台机器，每台机器平均每天生产360件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为件，求与之间的关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是多少？ 15．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)设是在第一象限内抛物线上的一点，且，求点的坐标． 16．已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 17．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 18．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．B 9． 10．或 11．6 12． 是 2 13．【详解】（1）∵二次函数的图象经过点 ， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式：； （2）∵， ∴函数的顶点坐标为：． 14．【详解】（1）根据题意，得， ∵解得：； （2）∵中， ∴二次函数图象有最高点，函数有最大值， 即当，． 所以增加8台机器，可以使每天的生产量最大，最大总量是26896件． 15．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴，解得， ∴二次函数的表达式为． （2）过D作于N，作于M， ， 根据，则顶点的坐标为， ； （3）P是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图． ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵． ∴，即， ∴． 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的坐标为， 则过B、E的直线的解析式为， 令，解得，或， 所以直线与抛物线的两个交点为， 即所求的坐标为 ． 16．【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 17．【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 18．【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $