2026-2027学年北师大版数学八年级上册期中模拟测试能力卷

**基本信息** 北师大版八年级上册期中模拟卷，以实数、勾股定理、坐标系为核心，融合达·芬奇勾股证明、《算法统宗》秋千问题等文化素材，及编程程序、动点规律等现实情境，通过定义探究（奇异三角形）、公式应用（海伦-秦九韶）等题设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数范围、圆与数轴、勾股证明、尺规作图|结合达·芬奇剪拼图考勾股定理，程序运算题体现跨学科| |填空题|6/18|坐标规律、立方根估算（华罗庚方法）、网格角度|以华罗庚速算案例考立方根估算，渗透数学史| |解答题|7/52|奇异三角形探究、海伦-秦九韶公式、秋千问题应用|设计“定义感知-思考-运用-创新”四阶探究题，强化推理与建模|

北师大版数学八年级上册期中模拟测试能力卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知则实数m的范围是（　　） A．0<m<1 B．1<m<2 C．2<m<3 D．3<m<4 2．如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点A 到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A 对应的数是（　　） A．2-2π B．π-2 C．5-2π D．2-π 3．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图， △ABC中，已知∠C=90°， BC=3， AB=5，分别以点 A和点 B为圆心，大于 AB的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于 M，N两点，直线 MN分别与边 AB，AC相交于点 D，E，连接 BE.则线段 CE的长为(　　) A．1 B． C． D．3 5．《算法统宗》是中国古代数学名著，书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；绳索二十尺，良工巧算记之；送行二步水平齐，问君升高几许?”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，秋千的绳索总长为20尺.将它往前水平推送两步（两步=10尺）时，秋千的绳索始终保持拉直的状态，问此时踏板相比静止时升高了多少尺?”（　　） A． B． C． D． 6．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是 ，当输入x的值是27时，输出y的值是 (　　) A．3 B． C． D． 7．如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，-2），第3次运动到点（3，0），…按这样的运动规律，动点P第2026次运动到的点的坐标是（　　） A．（2025，1） B．（2026，-2） C．（2026，1） D．（2025，-2） 8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右旋转到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置，…，依次进行下去，发现A(3，0)，A1(12，3)，A2(15，0)，…，那么点A2 025的坐标为（　　）． A．(12 153，0) B．(12 153，3) C．(12 156，0) D．(12 156，3) 9．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)→(2，0)→(2，1)→(1，1)→(1，2)→(2，2)→，…，根据这个规律，第2 025个点的坐标为　 　. 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为　 　． 13．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.华罗庚解释如下： ①由可得10<<100.由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有92的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，又27<59<64，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39. 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是　 　. 14．如图，在2×3的正方形网格中，∠1＋∠2＝　 　°. 15．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则　 　． 16． 若 则 　 　 三、解答题 17．计算： （1） （2） 18．【定义】我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形. （1）【感知】若 三边长分别是2， 和 判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由； （2）【思考】已知1 中，两边长分别是5， ，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是　 　； （3）【运用】若 是奇异三角形，直角边为a、b(a<b)，斜边为c，求ɑ：b：c的值.(比值从小到大排列) （4）【创新】如图，以AB 为斜边分别在AB的两侧作直角 与 其中 且AD=BD，若四边形ADBC 内存在点 E，使得AE=AD，CB=CE.试说明 是奇异三角形. 19．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）. 材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S. （1）利用材料1解决下面的问题： 当a=3，b=5，c=6时，求这个三角形的面积； （2）利用材料2解决下面的问题： 已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC. ①当x=2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 ； ②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积. 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在网格点上，A的坐标为． （1）填空：点的坐标为______． （2）求出的面积． （3）把向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到．在图中画出并写出、、三点坐标．若上的一点的坐标为，请直接写出点的对应点的坐标． 21．一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，OA所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m，且OB=OC=OA，∠BOC=90°. （1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由； （2）小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ （3）秋千静止时A点离地面的高度AM是多少m？ 22．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）化简： （2）计算： （3）若求的值． 23．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解： 即 则 即 ，则实数 的范围是 。 故选：C。 【分析】先确定 的取值范围，再求出 的取值范围，即可求解。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得：AA´=π×1=π， 设滚动前点A对应的数为x， ∴=π， 解得：x=2-π， ∴滚动前点A 对应的数为：2-π. 故答案为：D. 【分析】根据题意求出AA´的值，设滚动前点A对应的数为x，根据数轴上两点间的距离等于两点对应值之差的绝对值可得关于x的方程，解方程即可求解. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【分析】根据题意，结合勾股定理即可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 【分析】根据勾股定理求出的值，由作图可得垂直平分，额即可得到；设，则，在中根据勾股定理求出x的值解答即可． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴尺， 在中，尺， ∴尺， 即此时踏板相比静止时升高了尺． 故答案为：B. 【分析】过点B作于点E，即可得到四边形为矩形，进而可得尺，然后根据勾股定理求出，再根据线段的和差解答即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：当输入的值为8时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为， 当输入的值为27时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为， 故选：B. 【分析】根据流程图顺序计算得到结果即可． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得，动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，点的纵坐标依次为0、−2、0，1，每个循环向右运动4个单位， ∵2026÷4＝506……2， ∴第2026次运动时，点P在第507次循环的第1次运动上， ∴横坐标为2026，纵坐标为0， ∴此时P2026（2026，-2）． 故答案为：B． 【分析】观察图形可知：每4次运动为一个循环，点的纵坐标依次为0、−2、0，1，并且每一个循环向右运动4个单位，用2026÷4可判断出第2026次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标． 8．【答案】D 【解析】【解答】解： A(3，0)，A1(12，3)，A2(15，0)，…， ∴A3(24，3)，A4(27，0) ∵2025÷4=506......1 ∴ A2 025的坐标为 （3+3×8×506+9，3）， 即 A2 025的坐标为 （12156，3）。 故答案为：D . 【分析】首先根据A(3，0)，A1(12，3)，A2(15，0)，…，各点坐标的变化规律，可得出A3(24，3)，A4(27，0)，进而根据2025÷4=506......1，可得出A2 025的坐标为 （3+3×8×506+9，3），即 A2 025的坐标为 （12156，3），即可得出答案。 9．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：A． 【分析】可先确定A1B1的长度，然后在数轴上表示出，随后分别表示出A2B2、A3B3、A4B4……，找出规律即可解答。 10．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：P1（-1，-1），P2（1，1），P3（-2，-2），P4（2，2），P5（-3，-3），P6（3，3），P7（-4，-4），P8（4，4），…， ∴奇数点在第三象限，偶数点在第一象限， ∴奇数点规律：P1（-1，-1），P3（-2，-2），P5（-3，-3），P7（-4，-4），…P2n-1（-n，-n）， ∴P2023（-1012，-1012） 故答案为：A. 【分析】根据图象可知，前8个点的坐标，发现奇数点在第三象限，由题意得P2n-1（-n，-n），即可解决问题. 11．【答案】(45，0) 【解析】【解答】解：根据图形 以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方 例如：右下角的点的横坐标为1时，共有1=12个点 右下角的点的横坐标为2时，共有4=22个点， 右下角的点的横坐标为3时，共有9=32个点， 右下角的点的横坐标为4时，共有16=42个点 右下角的点的横坐标为n时，共有n2个点 ∵2025=452 ∴第2025个点的坐标是(45，0)， 故答案为：(45，0). 【分析】根据题意，得到点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，由于2025=452，所以第2025个点的坐标可得. 12．【答案】 【解析】【解答】解：，，， ，， 又， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点间距离公式、勾股定理及坐标的几何表示。由A(-1，0)和B(1，0)可得AB = 2，OA = 1。根据BC ⊥ x轴且BC = 1，在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC = =。由作图知AP = AC =，则OP = AP - OA = - 1，故点P的坐标为( - 1， 0)。 13．【答案】72 【解析】【解答】 解：∵1000 < 373248 < 1000000， ∴373248的立方根是两位数。 ∵373248的个位数字是8；23= 8， ∴立方根的个位数字是2 划去373248后面的三位数248，得到前面的数373； ∵73 = 343， 83=512，且343 < 373 < 512， ∴立方根的十位数字是7。 故答案为：72 【分析】根据阅读材料中的估算方法：先估算373248的立方根是两位数，再由个位数8确定实际数位的最后一位数为2，划去373248后面的三位数248，得到前面的数373；，由此估算十位数为7，由此即可解答. 14．【答案】45 【解析】【解答】解：如图所示，连接BC， 所以 因为 所以 是等腰直角三角形， 所以 因为 所以 故答案为：45. 【分析】根据网格特点得到是等腰直角三角形，即可得到，然后根据平行线的性质和角的和差解答即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵以AC、BC为边向外作正方形，面积分别记为 若 在 中， 由勾股定理得： 解得： (负值已舍去)， 故答案为： 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出AB的平方，进而求出AB. 16．【答案】15 【解析】【解答】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 【分析】先化简a得到，即可得到得 ，整理得．然后将多项式化简代入降次解答即可． 17．【答案】（1）解： =2-3+2 =1 （2）解： 【解析】【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算，按照运算顺序先乘除后加减，同时利用二次根式的乘除法和性质进行化简； （2）本题首先利用完全平方式进行展开，然后利用二次根式的性质进行化简，最后合并同类项即可。 18．【答案】（1）解：是，理由如下； ∴△ABC是奇异三角形. （2）​​​​​​​ （3）解：分类讨论：①当 时， 又∵ 则 即c=0(不符合题意，舍去). ②当 时， 又∵ 则 即 (不符合题意，舍去). ③当 时， 又∵ ∴a：b：c=1： ： （4）解：∵∠ACB=∠ADB=90°， ∵AD=BD， ∵AE=AD，CB=CE， ∴△ACE是奇异三角形 【解析】【解答】解：(2)①当为斜边时，另一条直角边， 或，故5不符合； ②当，5是直角边时，斜边， ∵， ∴符合 故答案为：. 【分析】(1)由可知，△ABC是奇异三角形； (2)分为斜边或为直角边，分别求出第三边长度，再根据奇异三角形定义进行判断； (3)根据奇异三角形的定义得：a2+c2=2b2，又a2+b2=c2，可得a，b，c的关系； (4)由勾股定理得AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，再由AE=AD，CB=CE，可得AC2+CE2=2AE2. 19．【答案】（1）解：∵a＝3，b＝5，c＝6， ∴p＝＝7， ∴S＝＝. （2）解：①3. ②∵0＜x≤4， ∴，， ∴C△ABC＝＝， ∵C△ABC＝，0＜x≤4，x为整数， ∴当x＝4时，三边为，1，4， ∵＋1＜4， ∴x＝4不合题意，舍去， 当x＝3时，三边为2，2，3，符合题意，此时C△ABC取最大值， ∴a＝2，b＝2，c＝3， ∴S＝ ＝ ＝． 【解析】【解答】解：（2）①当x＝2时，，，， ∴△ABC中最长边的长度为3． 故答案为：3. 【分析】（1）求出p，把a、b、c、p的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把x＝2代入计算即可求解； ②根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而化简C△ABC，根据C△ABC取最大值且x为整数，确定出a、b、c的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 20．【答案】（1） （2）解：. （3）解：如图所示，即为所求作图形， ，，； ，，， 【解析】【解答】（1）解：如图所示，的顶点在网格点上，A的坐标为 故答案为：． （3）若上的一点的坐标为，则点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点B的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点O、A、B的对应点，再连接即可，最后求出点的坐标即可. （1）解：如图所示，的顶点在网格点上，A的坐标为 故答案为：． （2）如图所示，； （3）如图所示，即为所求作图形， ，，； 若上的一点的坐标为，则点的对应点的坐标为． 21．【答案】（1）解：△OBD与△COE全等， ∵∠BOC=90°， ∴∠BOD+∠COE=90°， ∵BD⊥OD， ∴∠BDO=90°， ∴∠BOD+∠OBD=90°， ∴∠COE=∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS） （2）解：∵△OBD≌△COE ∴OE=BD=1.2m，OD=EC=1.6m ∴DE=OD-OE=1.6-1.2=0.4m ∵MD=0.9m ∴ME=MD+DE=0.9+0.4=1.3m （3）解：∵OC= ∴OD=EC=1.6m ∴AD=OA-OD=2-1.6=0.4m ∴AM=DM-AD=0.9-0.4=0.5m 【解析】【分析】(1)由互余关系知∠COE=∠OBD，再结合OB=OC得全等； (2)由全等的性质知OE和OD的长，得DE的长，即可得ME的长； (3)先求出半径OC，由此得AD的长，即可得AM的长. 22．【答案】（1）解：​​​​​​​ （2）解： （3）解： ∴ 【解析】【分析】 （1）根据题意将分式的分子分母同时乘以有理化因子，结再根据平方差公式计算化简即可解答； （2）观察分母属于型，因而根据题意将分式的分子分母分别乘以有理化因子，再根据正负数和为0，抵消掉中间项，计算即可解答； （3）根据题意将的分式的分子分母同时乘以有理化因子，再利用完全平方公式化简得到，再代值到多项式中计算即可解答． （1）解： （2）解： （3）解： ∴ 23．【答案】（1）；. （2）解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的一半， ， 设点，则， ，解得：或， 点的坐标为或. （3）解：①当点在线段的延长线上时，.②当点在线段上时，.③当点在线段的反向延长线上时，． 【解析】【解答】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段，则点，即，点，即， 故答案为：；. （3）解：根据平移的性质得：， ①如图， 当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， . ②如图， 当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， . ③如图， 当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，，当点在线段上时，，当点在线段的反向延长线上时，． 【分析】（1）根据题目情境，结合平移法则即可得点，即，点，即，即可得答案. 故答案为：；. （2）根据、两点坐标，求出，根据角形的面积等于三角形面积的一半， 从而求出，设点，则，根据三角形面积公式即可列方程，解出即可得点的坐标为或. （3）根据平移的性质得平行，当点在线段的延长线上时，过点作，即可得 相等，根据平行，得平行，即可得相等，进一步得，同理得当点在线段上时，，当点在线段的反向延长线上时，，综合即可得答案. （1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， 则点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：，； （2）解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的一半， ， 设点，则， ， 解得：或， 点的坐标为或； （3）解：由平移的性质可知，， ①如图，当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， ； ③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 学科网（北京）股份有限公司 $