1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示，从空间直角坐标系建立（单位正交基底、点与向量坐标）到坐标运算（线性运算、数量积），再到平行垂直判定、模长夹角计算，最终形成坐标法解决立体几何问题的知识链，搭建从基础到应用的学习支架。 资料以“目标-梳理-典例-检测”为框架，通过对比平面与空间向量运算培养数学思维，结合直三棱柱、正方体实例发展空间观念，坐标法应用体现数学语言的模型意识。课中助教师分层教学，课后检测与反思帮助学生查漏补缺，强化核心素养。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间向量坐标的定义，会求空间点与向量的坐标 重点 2. 熟练掌握空间向量坐标下的线性运算、数量积运算公式，区分与平面向量的异同 重点 3. 掌握利用坐标判定向量平行、垂直，求解模长、夹角的坐标公式 重难点 4. 能够运用向量坐标解决立体几何简单计算，建立坐标法解决几何问题的思维 高频考点 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间直角坐标系与向量的坐标 💡 知识梳理 · 在空间选取单位正交基底，建立空间直角坐标系. O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. 温馨提示　(1)基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. (3)建立的坐标系均为右手直角坐标系. 空间任意一点，若，则点坐标记为；向量坐标为. 其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标. 重要公式：若，， 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标. · 坐标轴或某坐标平面上点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 📝 即学即练 已知，，求向量的坐标. 知识点 2 空间向量的坐标线性运算 💡 知识梳理 · 设，， 加法：；减法：；数乘： 📝 即学即练 已知，，求. 知识点 3 坐标形式的数量积、模长、夹角 💡 知识梳理 设， · 数量积： 模长公式： · 夹角公式： 📝 即学即练 ，求. 知识点 4 平行与垂直的坐标判定 💡 知识梳理 设，， 1. 向量平行： 2. 向量垂直： 📝 即学即练 判断与是否垂直. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】在直三棱柱中，，，D为的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，的坐标分别为________. 【跟练1-1】在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标． 【跟练1-2】如图所示，在正四棱柱中， ，分别为底面 、底面的中心， ，， 为的中点， 在上，且 . (1)以为原点，分别以，，所在直线为 轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． (2)以为原点，分别以 ，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． 【跟练1-3】在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为______. 【典例2】（多选）下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（    ） A．线段的中点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点关于坐标原点对称的点的坐标为 D．点关于平面对称的点的坐标为 【跟练2-1】（多选）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则（    ） A．点P到点O的距离是 B．点P关于轴对称点的坐标是 C．点P关于点对称的点的坐标是 D．点P关于平面对称的点的坐标是 【跟练2-2】在平面直角坐标系中，点的几个特殊的对称点的坐标如下： ①关于原点的对称点是； ②关于轴的对称点是； ③关于轴的对称点是． 那么，在空间直角坐标系中，点的几种特殊的对称点的坐标如下： （1）关于原点的对称点是________． （2）关于轴的对称点是________． （3）关于轴的对称点是________． （4）关于轴的对称点是________． （5）关于平面的对称点是________． （6）关于平面的对称点是________． （7）关于平面的对称点是________． 【典例3】在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【跟练3-1】已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【跟练3-2】已知向量则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟练3-3】在平行四边形中，，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例4】已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟练4】已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 【典例5-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【典例5-2】在棱长为2的正方体中，分别为，的中点. (1)求； (2)求直线与所成角的余弦值. 【跟练5】如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题： (1)证明：； (2)求异面直线与夹角的余弦值； (3)求的长度. 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 空间向量坐标：终点坐标减去起点坐标，依托单位正交基底建立坐标体系. 2. 坐标运算：加减、数乘、数量积均为对应坐标分量运算，和平面向量运算逻辑一致. 3. 平行利用数倍关系判定；垂直等价于数量积等于 0. 4. 模长、向量夹角全部可以通过坐标直接计算，是坐标法解立体几何的基础. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2. 在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3. 设{，，}是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是_________________． 4. 已知点，，若，则点的坐标是______. 5. 如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________． 6. 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7. 已知向量，则下列向量中与成的是 A． B． C． D． 8. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______． 9. 若向量，，满足条件，则（   ） A． B． C．0 D．2 10. 已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 11. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； (2)设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量； (3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 学 习 反 思 思得失 · 促精进 学生容易混淆 “点的坐标” 与 “向量坐标”，经常忘记向量坐标要用终点减起点.做平行判定时容易直接写分量比值，忽略有分量为 0 的特殊情况；夹角计算容易算错数量积或者模长.教学中要多对比平面向量与空间向量坐标公式，强化易错情形训练，为后续空间立体几何证明计算打下基础. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间向量坐标的定义，会求空间点与向量的坐标 重点 2. 熟练掌握空间向量坐标下的线性运算、数量积运算公式，区分与平面向量的异同 重点 3. 掌握利用坐标判定向量平行、垂直，求解模长、夹角的坐标公式 重难点 4. 能够运用向量坐标解决立体几何简单计算，建立坐标法解决几何问题的思维 高频考点 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间直角坐标系与向量的坐标 💡 知识梳理 · 在空间选取单位正交基底，建立空间直角坐标系. O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. 温馨提示　(1)基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. (3)建立的坐标系均为右手直角坐标系. 空间任意一点，若，则点坐标记为；向量坐标为. 其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标. 重要公式：若，， 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标. · 坐标轴或某坐标平面上点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 📝 即学即练 已知，，求向量的坐标. 【答案】 【详解】终点减起点，. 知识点 2 空间向量的坐标线性运算 💡 知识梳理 · 设，， 加法：；减法：；数乘： 📝 即学即练 已知，，求. 【答案】 【详解】，. 知识点 3 坐标形式的数量积、模长、夹角 💡 知识梳理 设， · 数量积： · 模长公式： · 夹角公式： 📝 即学即练 ，求. 【答案】 【详解】, , . 知识点 4 平行与垂直的坐标判定 💡 知识梳理 设，， 1. 向量平行： 2. 向量垂直： 📝 即学即练 判断与是否垂直. 【答案】两向量互相垂直 【详解】，故. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】在直三棱柱中，，，D为的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，的坐标分别为________. 【答案】， 【分析】设出同方向的单位向量，然后根据空间向量的线性运算表示出，由此可求对应向量的坐标. 【详解】设同方向的单位方向向量分别为， 因为 ， 所以， 因为 ， 所以， 故答案为：，. 【跟练1-1】在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【答案】； 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，进而结合题设求解即可. 【详解】由题意 ， 所以. 又， 所以 【跟练1-2】如图所示，在正四棱柱中， ，分别为底面 、底面的中心， ，， 为的中点， 在上，且 . (1)以为原点，分别以，，所在直线为 轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． (2)以为原点，分别以 ，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）如下图，正方形中，，∴，从而 ， ∴各点坐标分别为，，，，，，，，，，，． （2）如下图，由（1）同理可得，，，，，，，，，，，，． 【跟练1-3】在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为______. 【答案】 【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出的坐标即可得解. 【详解】依题意，，则， 则点，而点， 所以PD的中点M的坐标为. 故答案为： 【典例2】（多选）下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（    ） A．线段的中点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点关于坐标原点对称的点的坐标为 D．点关于平面对称的点的坐标为 【答案】AD 【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可. 【详解】由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确； 点关于x轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误； 点关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误； 点关于平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确. 故选：AD. 【跟练2-1】（多选）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则（    ） A．点P到点O的距离是 B．点P关于轴对称点的坐标是 C．点P关于点对称的点的坐标是 D．点P关于平面对称的点的坐标是 【答案】AD 【分析】选项A，由空间向量两点间距离坐标公式可得；选项B，关于轴对称，则对称点的横坐标与点点的横坐标相同，故B错误；选项C，由空间向量中点坐标公式可得；选项D，点关于平面对称的点的横、纵坐标与点的相同，竖坐标互为相反数. 【详解】选项A，由点P的坐标为得， ，故A正确； 选项B，点P关于轴对称点的坐标是，故B错误； 选项C，设点P关于点对称的点的坐标是， 则，解得， 即对称点为，故C错误； 选项D，点P关于平面对称的点的坐标是，故D正确. 故选：AD. 【跟练2-2】在平面直角坐标系中，点的几个特殊的对称点的坐标如下： ①关于原点的对称点是； ②关于轴的对称点是； ③关于轴的对称点是． 那么，在空间直角坐标系中，点的几种特殊的对称点的坐标如下： （1）关于原点的对称点是________． （2）关于轴的对称点是________． （3）关于轴的对称点是________． （4）关于轴的对称点是________． （5）关于平面的对称点是________． （6）关于平面的对称点是________． （7）关于平面的对称点是________． 【答案】 【分析】根据空间中的点关于坐标原点、坐标轴以及坐标平面对称点的特点写出对称点的坐标. 【详解】（1）关于原点对称，所有坐标变为变为互为相反数，所以； （2）关于轴对称，不变变为原来相反数，所以； （3）关于轴对称，不变变为原来相反数，所以； （4）关于轴对称，不变变为原来相反数，所以； （5）关于平面对称，不变变为互为相反数，所以； （6）关于平面对称，不变变为互为相反数，所以； （7）关于平面对称，不变变为互为相反数，所以. 【点睛】本题考查空间中的点的对称坐标，难度较易.关于坐标轴对称，其中有两个坐标变为相反数；关于坐标平面对称，其中仅有一个坐标变为相反数. 【典例3】在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标； （2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标. 【详解】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 【跟练3-1】已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 【跟练3-2】已知向量则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】由题可得， 故选:B. 【跟练3-3】在平行四边形中，，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即可求解. 【详解】设，则，， 又，解得：. 即. 故选：A. 【典例4】已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案. 【详解】因为，所以，故. 故选：A 【跟练4】已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或. 【解析】（1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出； （2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值； （3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值. 【详解】解：（1）点，，， ∴， 由，设，且， ∴，解得， ∴或； （2）， ， 若与互相垂直，则， ∴， 即， 化简得， 解得或； （3）向量， ， 由向量与平行，则 ， 解得或. 【典例5-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求出，再根据共线向量证明即可. 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴ ， ∴， 即PQ∥BD1. 【典例5-2】在棱长为2的正方体中，分别为，的中点. (1)求； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，写出向量坐标得到向量的模；方法二：在直角三角形中由勾股定理求值； （2）方法一：建立空间直角坐标系，由向量夹角得到直线夹角；方法二：在直角三角形中由边长得到余弦值. 【详解】（1）方法一：以点为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则则，所以； 方法二：连接，在中，， 在中，，所以； （2）方法一：以点为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以，， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为； 方法二： 取中点，连接， 因为分别是的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以， 所以直线与所成角即为直线与所成角， 在中，，， 即直线与所成角的余弦值为. 【跟练5】如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题： (1)证明：； (2)求异面直线与夹角的余弦值； (3)求的长度. 【答案】(1)证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意得，，，， ，， 因为，， 所以， 所以，所以. (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明线线垂直； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求异面直线夹角余弦值； （3）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求向量模长即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，， 所以 . 故异面直线与夹角的余弦值为. （3）由（1）可得， 故. 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 空间向量坐标：终点坐标减去起点坐标，依托单位正交基底建立坐标体系. 2. 坐标运算：加减、数乘、数量积均为对应坐标分量运算，和平面向量运算逻辑一致. 3. 平行利用数倍关系判定；垂直等价于数量积等于 0. 4. 模长、向量夹角全部可以通过坐标直接计算，是坐标法解立体几何的基础. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间直角坐标系中点关于平面对称的规律，结合已知坐标求解． 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的规律是： 坐标保持不变，坐标变成原来的相反数， 已知点，则对称点的坐标为，故B正确． 故选：B． 2. 在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据坐标的定义可知. 【详解】由题意可知，点到平面的距离为该点横坐标的绝对值，即为2． 3. 设{，，}是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是_________________． 【答案】 【分析】利用向量坐标运算性质即可得出． 【详解】的坐标为，的坐标为．故， 故答案为． 4. 已知点，，若，则点的坐标是______. 【答案】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即可. 【详解】由点，，得，则， 所以点的坐标是. 故答案为： 5. 如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________． 【答案】 【分析】利用空间向量的正交分解和坐标表示求解. 【详解】设为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知， , 所以， 所以， 所以，． 故答案为: ;. 6. 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点坐标可求得向量，计算可得结果. 【详解】易知，所以； 因此可得. 故选：C 7. 已知向量，则下列向量中与成的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：对于A选项中的向量，，则； 对于B选项中的向量，，则； 对于C选项中的向量，，则； 对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B. 8. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______． 【答案】 【分析】依次写出，，，利用空间两点间距离公式求出答案. 【详解】由题意得，，， 故. 故答案为： 9. 若向量，，满足条件，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量减法和数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以， 又， 即， 即，解得. 故选：D. 10. 已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法运算和减法运算即可求解. 【详解】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． 11. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； (2)设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量； (3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设侧棱长为，然后表示出对应点坐标，根据求得的值即可； （2）根据为中点可得，然后结合可求结果； （3）先表示出的坐标，然后计算出，再结合空间向量夹角的余弦值计算公式求解出结果. 【详解】（1）设侧棱长为， 则， 所以， 因为， 所以， 解得（负值舍去），故侧棱长为. （2）因为M为BC1的中点， 所以. （3）由（1）知， 所以，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 学 习 反 思 思得失 · 促精进 学生容易混淆 “点的坐标” 与 “向量坐标”，经常忘记向量坐标要用终点减起点.做平行判定时容易直接写分量比值，忽略有分量为 0 的特殊情况；夹角计算容易算错数量积或者模长.教学中要多对比平面向量与空间向量坐标公式，强化易错情形训练，为后续空间立体几何证明计算打下基础. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $