阶段测试卷（范围：向量、复数、三角函数、解三角形、数列）-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念理解-方法应用-综合创新”为主线，系统整合向量、复数、三角函数、解三角形、数列五大模块，通过典例提炼通性通法，培养数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|1|定义法与代数运算|从复数分类到纯虚数条件推导| |向量|3|数量积、夹角公式、共线定理|向量运算与几何意义的结合应用| |三角函数|4|图象变换、性质分析、辅助角公式|从函数解析式到图象与零点问题的逻辑链| |解三角形|5|正弦定理、面积公式、奔驰定理|三角形边角关系与面积最值的综合推导| |数列|5|递推关系、累加法、错位相减法|从通项公式到求和技巧的应用拓展|

2027高三一轮复习阶段测试卷 （范围：向量、复数、三角函数、解三角形、数列） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 4．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 5．设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，为公差，且，则下列说法正确的是（     ） A． B．当时，取最小值 C． D． 10．在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．，则 C．若，，有两解，则 D． 11．已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D．若且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则的值为________． 13．记的面积为 S ，若 ，且 ， 则 的最小值为_____________. 14．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且向量与向量的夹角为． (1)求与的值； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 16．已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前项和，求数列的前项和． 17．已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．已知向量，记函数．在中，若． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．锐角的内角的对边分别为,已知，为边的中点. (1)求； (2)若； （i）求的周长的取值范围； （ii）设点在边上 (含端点)，当的周长最大时，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A D B A C AD BCD 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】先由复数乘法法则化简，再根据复数的定义求解. 【详解】是纯虚数， 则，解得. 2．D 【分析】先根据求出的值，再根据向量夹角的计算公式求出向量与的夹角的余弦值，最后求出夹角. 【详解】因为 ，， 所以， 解得，即. 所以. 故向量与的夹角为. 3．C 【分析】根据的关系得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列前项和公式计算即可. 【详解】因为， 所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以 故选：C 4．A 【详解】由，得， 又的终边在第一象限，，所以， 所以． 5．D 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时的前项和为. 所以. 6．B 【分析】先利用共面向量定理求出，再由三角形面积求得，结合向量数量积的运算律与基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因，，可得， 因三点共线，故，解得，故， 又因的面积为，，则，解得. 由两边取平方， 可得， 因，当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为. 7．A 【分析】根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 故选：A. 8．C 【分析】由奔驰定理得三小三角形面积比为 3：4：5，垂心下面积比对应内角正切之比，结合三角形正切恒等式即可求出. 【详解】 延长交于，延长交于， 根据奔驰定理 结合题设，可得面积比，其中 ，，， 是 的垂心， 所以，所以， 所以，所以，因此 ， 同理 ，， ，， ，， 在 中由正弦定理得， 代入 ，，得，得 同理 ，即 ， 由三角形面积公式：，同理得，， 所以： 因为， 所以 ， 在三角形内，故为锐角三角形，设 ，，（）， 在中，因为， 得， 所以，，解得， 所以. 9．AD 【分析】利用等差数列前项和的性质依次分析选项即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 由以上分析可知，故C错误，D正确． 10．BCD 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解、推理判断ABC；利用和角的余弦公式判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得， 又，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有两解， 得，且，解得，C正确； 对于D，在中，， 则，D正确. 11．AD 【分析】先利用辅助角公式化简，结合平移规则和周期求出，得到和的解析式，再根据三角函数的对称性、图象变化、函数值求解逐一判断选项即可. 【详解】因为， 将其图象向右平移个单位后得， 由的最小正周期为，得，即， 因此，. 对于A：因为，为的最大值， 故的图象关于对称，A正确； 对于B：因为， 故不是的对称中心，B错误； 对于C：将的图象向右平移个单位， 得到，故C错误； 对于D：令，即， 当时，，所以或， 对应，，所以，故D正确. 12． 【详解】，，． ． 13．/ 【分析】根据向量的数量积及三角形的面积公式列方程可求得，进而求得，根据正弦定理及向量的数量积可将用角表示，进而由三角恒等变换消去一个参数后可求解. 【详解】， 又，所以，解得， ∵，得， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴，∴的最小值为. 14． 【分析】设第一根弦长为，求出另4根弦长，按从小到大排列，即可得“宫”与“角”所对琴弦长度，代入求解即可. 【详解】设第一根弦长为， 则第二根弦长为，第三根弦长为，第四根弦长为，第五根弦长为， 又因为， 又因为琴弦越短，发出的声音音调越高， 所以“宫，商，角，徵，羽”对应的弦长为：， 所以“宫”与“角”所对琴弦长度之比为：. 故答案为：. 15．(1)， (2) 【分析】（1）由向量数量积定义以及向量的运算法则求解即可； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为，，且向量与向量的夹角为，所以． ． （2）， 所以， ，所以． 向量与向量的夹角的余弦值 16．(1)已知，由，结合递推关系可知对任意，， 等式两边同时除以，整理得， 又首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. (2) 【分析】（1）构造等差数列递推式即可证明； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则的前项和为， 因此， 裂项相消得：. 17．(1) (2) 【分析】（1）先计算，再利用累加法可求. （2）利用，计算，从而得到，再利用错位相减法可求和. 【详解】（1）由题意得，， 当时，由累加法，得 ， 当时，，满足上式， 综上所述，． （2）由（1）得，，则， ， ， 所以 ， 所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）先通过向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式，将化简为正弦型函数的形式.代入，结合为三角形内角的范围，解三角方程求. （2）利用正弦定理将边比转化为对角正弦比，再根据锐角三角形的条件，解出角的精确范围，最后利用三角函数单调性求出值域. 【详解】（1）由题意，数量积为： ，化简得： ， 利用辅助角公式合并：. 因为，所以：，在中，，故. 在此范围内满足正弦值为的解为：（另一解得舍去，得舍去），解得. （2）由（1）知，则,即. 因为为锐角三角形，所以且. 代入得：,解得：. 由正弦定理得：，展开分子：，因为，单调递减，取值范围为. 所以：，故. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式、辅助角公式可求； （2）（i）利用正弦定理以及三角函数求值域； （ii）建系，利用坐标法求解. 【详解】（1）由以及正弦定理得， 在中，因为，所以． 代入上式化简得：． 因为，，所以，即． 因为A为锐角，所以，则，得． （2）（i）由正弦定理得， 所以 ． 因为是锐角三角形，所以，得， 所以，则， 所以 ． 所以周长的取值范围为． （ii）当三角形周长最大时，，，此时三角形为等边三角形， 以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意可知， 设，则， 所以． 当时，取最小值． 所以的最小值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $