第二单 三角形的再认识（专项训练）-2026-2027学年北师大版数学五年级上册

**基本信息** 聚焦三角形内角和与三边关系，通过分层题型系统训练等腰三角形性质及综合应用，渗透分类讨论与逻辑推理，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|填空1-6、11|内角和计算、等腰三角形腰长判断|从内角和180°核心概念出发，推导等腰三角形边角关系| |性质辨析|选择13-17、判断18-22|三边关系验证（两边和>第三边）|通过正反例强化三角形构成条件的逻辑推理| |综合拓展|解答24-29|组合分类讨论、内角和不变性证明|整合概念与性质，解决实际问题及变式拓展|

第二单 三角形的再认识提升训练 一、填空题 1．一个三角形其中两个角的度数分别是55°和70°，按边分，它是( )三角形。 2．一个等腰三角形，它的两条边长是8厘米和4厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 3．一个三角形的两条边分别长4厘米和9厘米。第三条边最短是( )厘米，最长是( )厘米。（取整厘米数） 4．一个等腰三角形，从它的顶点向对边作垂线，分成的每个小三角形的内角和是( )。 5．妍妍准备用木条制作一个等腰三角形，她先确定出其中两边的长为8厘米和10厘米，要做成这个等腰三角形，她至少需要准备( )厘米长的木条。 6．把三角形的三条边都扩大到原来的2倍，则它现在的内角和是( )°。 7．如图，三角形剪去一个角后，剩下图形的内角和是( )，∠1＋∠2的度数为( )。 8．已知一个三角形的三个内角分别是∠1、∠2和∠3，且∠1＝∠2，∠2的度数是∠3的4倍，则∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 9．一个三角形，，，则这个三角形中最大角是( )°，最小角是( )°。 10．将30dm长的铁丝剪成3段，第一段长15.1dm，第二段长8.4dm，第三段长( )dm，这三段铁丝( )围成一个三角形。（填“能”或“不能”）。 11．一个等腰三角形的顶角是，底角是( )，它的底边长16cm，腰长9cm，它的周长是( )cm。 12．如图所示，小思从学校出发到研学基地走( )号路线近一些，因为( )。 二、选择题 13．用下面（    ）组的3根木条正好可以摆成一个三角形。（单位：厘米） A． B． C． D． 14．一条等腰三角形丝巾的顶角是100°，它的一个底角是（    ）。 A．100° B．80° C．60° D．40° 15．如果一个等腰三角形的一个内角是120°，那么这个三角形也是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 16．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和10厘米，那么它的周长是（    ）。 A．20厘米 B．25厘米 C．20厘米或25厘米 D．无法确定 17．小明和爸爸一起摆三角形，现在有四种长度的小木棒各一根，分别长9厘米、6厘米、5厘米和4厘米。从中任选3根，能摆出（    ）种不同的三角形。 A．2 B．3 C．4 D．5 三、判断题 18．长度分别是13厘米、20厘米和6厘米的小棒能摆出一个三角形。( ) 19．对于任意三角形，它的三个内角中至少有两个锐角。( ) 20．长度为5cm、8cm、3cm的3根小棒可以围成三角形。( ) 21．三根长度分别是2厘米、2厘米、5厘米的小棒可以拼成一个等腰三角形。( ) 22．有两根长度分别是6厘米和9厘米的小棒，能围成三角形的第三根小棒（长度取整厘米数）最短是4厘米。( ) 四、计算题 23．计算下面三角形中未知角的度数。 五、解答题 24．张叔叔有几根废木料，想用来拼接一个三角形框架。张叔叔任取三根废木料摆成三角形，可以摆成哪几种不同的三角形？（单位：厘米） 25．把一个三角形分成两个小三角形（如图），每个小三角形的内角和是多少度？为什么？ 26．如果三角形的两条边分别长5厘米和8厘米，另一条边可能是几厘米？（取整厘米数）最长是几厘米？最短是几厘米？ 27．如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其余两个内角的度数分别是多少度？ 28．三角形一个内角是42度，是另一个内角度数的一半，第三个内角多少度？ 29．如图，把三角形ABC的一边延长得到∠4。 (1)∠3和∠4拼成的角是_______角。 (2)你能说明∠1＋∠2＝∠4吗？ 第4页，共4页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．等腰 【分析】首先明确三角形内角和为180°，因为已知两个内角的度数，所以可以用内角和减去已知两个角的度数，计算出第三个角的度数。得到三个内角的度数后，判断是否存在相等的角，如果有两个角相等，对应的两条边长度也相等，按边分类的话是等腰三角形。 【详解】我们首先用三角形内角和是180°的知识，算出第三个角的度数： 180°－55°－70°＝55°。 这个三角形里有两个角度数相等，对应的两条边长度也相等，因此它就是等腰三角形。 2．20 【分析】等腰三角形的两腰相等；根据三角形边的特性，任意两边的和大于第三边；先判断腰的长度，再计算周长。 【详解】如果腰是4厘米，4＋4＝8（厘米），8＝8，不能围成三角形。 如果腰是8厘米，4＋8＝12（厘米），12＞8，能围成三角形。 所以，腰是8厘米，底是4厘米。 周长：8＋8＋4＝20（厘米） 3． 6 12 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，根据题目所给两边，先用这两边求差，然后用差加1，即可算出这个三角形第三边最短是多少；再用这两边求和，用和减去1，即可算出这个三角形第三边最长是多少。 【详解】4＋9＝13（厘米） 13－1＝12（厘米） 9－4＝5（厘米） 5＋1＝6（厘米） 一个三角形的两条边分别长4厘米和9厘米。第三条边最短是6厘米，最长是12厘米。 4．180° 【分析】所有三角形的内角和都是180°，和三角形的形状、大小无关。 【详解】把大等腰三角形分成的小三角形依然是三角形，所以每个小三角形的内角和还是180°。 5．26 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边；依此计算出第三条边最短的长度，然后再计算出这个等腰三角形的周长即可。 【详解】腰最短为8厘米：8＋8＝16（厘米），16＞10，满足题意，所以两条腰是8厘米，一条边为10厘米。 8＋8＋10＝26（厘米） 6．180 【分析】三角形内角和是固定规律，无论三角形边长放大或缩小，形状只是等比例变大变小，内角和永远不变，始终是180°。 边长扩大2倍只改变三角形大小，不改变每个内角的度数。 【详解】把三角形的三条边都扩大到原来的2倍，则它现在的内角和是180°。 7． 360°/360度 270°/270度 【分析】求剩下图形的内角和：从图里的虚线能看出，这道剪角的方式是不经过原三角形的另外两个顶点剪去一个角，原本的3条边会多出1条边，剩下的图形是四边形。小学数学里我们学过，任意四边形的内角和都是360°。 求∠1＋∠2的度数：原三角形是直角三角形，被剪去的那个角是90°，三角形原本的内角和是180°，所以剩下的两个内角加起来是180°－90°＝90°。而剩下的四边形内角和是360°，因此∠1＋∠2＝360°－90°＝270°。 【详解】180°－90°＝90° ∠1＋∠2＝360°－90°＝270° 剩下图形的内角和是360°，∠1＋∠2的度数为270°。 8． 80 80 20 【分析】三角形内角和等于180°。已知∠1＝∠2，∠2的度数是∠3的4倍，则∠1也是∠3的4倍。把∠3看作1份，则∠1和∠2都是4份，根据三角形内角和算出1份的量，据此作答。 【详解】由三角形内角和等于180°可得： ∠1＋∠2＋∠3＝180° 4＋4＋1 ＝8＋1 ＝9（份） 1份的量：180°÷9＝20° 4份的量：20°×4＝80° 因此∠1＝80°，∠2＝80°，∠3＝20°。 9． 95 40 【分析】三角形内角和是180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，因为∠A＋∠B＝85°，据此计算∠C；∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＋∠C＝135°，据此计算∠A；最后用180°减∠A、∠C，即可求得∠B，据此解答。 【详解】∠A＋∠B＋∠C＝180° ∠A＋∠B＝85° ∠B＋∠C＝135° ∠C＝180°－（∠A＋∠B ）＝180°－85°＝95° ∠A＝180°－（∠B＋∠C ）＝180°－135°＝45° ∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－95°－45°＝40° 40°＜45°＜95° 因此，这个三角形中最大角是95°，最小角是40°。 10． 不能 【分析】根据题意，铁丝总长度减去第一段和第二段的长度，即可求出第三段的长度。判断三条线段能否围成三角形，依据是三角形任意两边之和大于第三边，通常只需验证两条较短边的和是否大于最长边。 【详解】30－15.1－8.4 ＝14.9－8.4 ＝6.5（dm） 8.4＋6.5＝14.9（dm） 14.9dm＜15.1dm 将30dm长的铁丝剪成3段，第一段长15.1dm，第二段长8.4dm，第三段长6.5dm，这三段铁丝不能围成一个三角形。 11． 81 34 【分析】三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，所以180°减顶角的度数等于2个底角的度数和，再除以2即等于一个底角的度数；等腰三角形的两腰相等，一条腰长是9cm，另一条腰的长也为9cm，底边长是16cm，然后根据三角形的周长等于三边长度之和，求出这个等腰三角形的周长是多少即可。 【详解】（180°－18°）÷2 ＝162°÷2 ＝81° 9×2＋16 ＝18＋16 ＝34（cm） 因此，一个等腰三角形的顶角是18°，底角是81°，它的底边长16cm，腰长9cm，它的周长是34cm。 12． ② 三角形的两边之和大于第三边 【分析】根据题意可知，学校、①号路线途经点、研学基地三点构成三角形，①号路线长度为该三角形两条边的长度和，②号路线为该三角形的第三条边；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，则②号路线一定小于①号路线，据此填空即可。 【详解】由分析得： 从学校去研学基地走②号路线近一些；因为：三角形的两边之和大于第三边。（答案不唯一） 13．A 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，把较短两条边相加，和大于最长边就可以围成三角形，依次对四个选项进行判断筛选。 【详解】A．三根木条长6厘米、6厘米、10厘米。较短两边之和：6＋6＝12（厘米），12＞10，满足三边关系，可以摆成三角形。 B．三根木条长6厘米、2厘米、8厘米。较短两边之和：6＋2＝8（厘米），8＝8，不满足两边之和大于第三边，不能摆成三角形。 C．三根木条长10厘米、4厘米、4厘米。较短两边之和：4＋4＝8（厘米），8＜10，不能摆成三角形。 D．三根木条长6厘米、2厘米、3厘米。较短两边之和：2＋3＝5（厘米），5＜6，不能摆成三角形。 14．D 【分析】三角形内角和是180°，等腰三角形两个底角度数相等，先用减法求出两个底角的总度数，再除以2即可得到一个底角的度数。 【详解】（°） （°） 15．C 【分析】三角形内角和为，等腰三角形两个底角相等，只能是顶角，剩余两个角均为锐角，有一个钝角的三角形是钝角三角形，据此解答即可。 【详解】若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和规律，因此是顶角。 底角度数： 该三角形三个内角为、、，有一个钝角，属于钝角三角形。 16．B 【分析】先明确等腰三角形的边长特点，因为等腰三角形有两条边长度相等，所以需分两种情况讨论腰长：第一种腰长为5厘米，底边长10厘米；第二种腰长为10厘米，底边长5厘米。 依据三角形三边关系判断两种情况是否成立，即如果三角形任意两边之和大于第三边，那么该边长组合可以构成三角形，否则不能构成。 对满足三边关系的组合，因为周长是三角形三条边长度之和，所以将三边长度相加即可得到周长。 【详解】如果等腰三角形的腰长为5厘米，三边长分别是5厘米、5厘米、10厘米：，不符合三角形三边关系，无法围成三角形。 如果等腰三角形的腰长为10厘米，三边长分别是5厘米、10厘米、10厘米：，符合三角形三边关系，可以围成三角形。周长：（厘米） 它的周长是25厘米。 17．B 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，先列出所有选3根小棒的组合，再逐个判断两条较短的木棒长度和是否大于最长木棒的长度，大于则可以摆成三角形。 【详解】4根小棒选3根共有4种组合： ①9厘米、6厘米、5厘米：5＋6＝11（厘米），因为11＞9，符合要求，可以摆成三角形； ②9厘米、6厘米、4厘米：4＋6＝10（厘米），因为10＞9，符合要求，可以摆成三角形； ③9厘米、5厘米、4厘米：4＋5＝9（厘米），因为9＝9，不符合要求，不能摆成三角形； ④6厘米、5厘米、4厘米：4＋5＝9（厘米），因为9＞6，符合要求，可以摆成三角形。 因此，符合条件的共3种，能摆出3种不同的三角形。 18．× 【分析】判断三根小棒能否摆成三角形，只需验证较短两根的长度和是否大于最长的那根长度即可。 【详解】较短两根小棒长度和为：，最长的小棒长20厘米，，不符合三角形任意两边之和大于第三边的要求，不能摆出三角形。 故答案为：× 19． √ 【分析】三角形内角和为，若锐角少于2个，剩余角的和会超过，不符合三角形内角和规律。 【详解】假设三角形中锐角少于2个： 若没有锐角，三个角都大于等于，内角和大于等于，不符合要求； 若只有1个锐角，剩余两个角都大于等于，这两个角的和大于等于，加上第三个锐角后总内角和大于，不符合要求。 因此任意三角形的三个内角中至少有两个锐角。 故答案为：√ 20．× 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，不满足三边关系，就不能构成三角形，据此进行判断，即可解答。 【详解】3＋5＝8，不符合三边关系，所以长度为5cm、8cm、3cm的3根小棒不可以围成三角形。原说法错误。 故答案为：× 21．× 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。 先根据三角形三边关系判断三根小棒能否拼成三角形，再判断是否能拼成等腰三角形。 【详解】2＋2＝4（厘米），4＜5，不能拼成三角形，原题说法错误。 故答案为：× 22． √ 【分析】依据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的特性，求出第三根小棒的长度范围即可判断。 【详解】9－6＝3（厘米），6＋9＝15 （厘米）， 可得第三根小棒的长度需满足：3＜第三边＜15，长度取整厘米数时，最短是4厘米，符合题干说法。 故答案为：√ 23．122°；120° 【分析】三角形的内角和是180°；等腰三角形的两个底角相等。 【详解】（1） （2）从图中可知，这个三角形是等腰三角形，所以它有两个角都是30°。 24．一共可以摆出3种不同的三角形，三条边的长度分别是： 3厘米、3厘米、3厘米 3厘米、3厘米、4厘米 3厘米、4厘米、6厘米 【分析】先列出所有由3、3、3、4、6中选取三根木料的组合，注意相同长度的木料选取数量不能超过现有数量。 对每一个组合，依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断是否能构成三角形，通常只需验证两个较短边的和是否大于最长边即可。 筛选出满足三边关系的组合，统计不同的三角形种类。 【详解】选3根3厘米：，符合要求，是第一种三角形。 选2根3厘米和1根4厘米：，符合要求，是第二种三角形。 选2根3厘米和1根6厘米：，不满足两边和大于第三边，不能摆成三角形。 选1根3厘米、1根4厘米和1根6厘米：，符合要求，是第三种三角形。 一共可以摆出3种不同的三角形，三条边的长度分别是： 3厘米、3厘米、3厘米 3厘米、3厘米、4厘米 3厘米、4厘米、6厘米 25．180°，因为任意一个三角形的内角和都是180°。 【分析】根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答。 【详解】根据分析，解答如下： 答：每个小三角形的内角和是180°，因为任意一个三角形的内角和都是180°。 26． 4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米；12厘米；4厘米 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】（厘米） （厘米） 3厘米＜第三条边的长＜13厘米 答：另一条边可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米。 最长是12厘米，最短是4厘米。 27．40°和20° 【分析】先根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法，求出另一个内角；再根据三角形内角和等于180°，用180°分别减去120°和另一个内角的度数，求出第三个内角的度数。 【详解】120°÷3＝40° 180°－120°－40° ＝60°－40° ＝20° 答：其余两个内角的度数分别是40°和20°。 28．54度 【分析】42度是另一个内角度数的一半，42度乘2等于另一个内角的度数，再利用三角形内角和为180度，减去两个已知内角的度数，得到第三个内角的度数。 【详解】42×2＝84（度） 180－42－84 ＝138－84 ＝54（度） 答：第三个内角54度。 29．(1)平 (2)∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠3＝180° 所以∠1＋∠2＝∠4。 【分析】（1）∠3和∠4有公共顶点和公共边，另外两条边在同一条直线上，两个角的和是180°，所以拼成平角。 （2）三角形三个内角的和是180°，平角也是180°。把∠1＋∠2＋∠3和∠4＋∠3分别与180°比较，再同时减去∠3即可说明结论。 【详解】（1）∠3＋∠4＝180°，所以∠3和∠4拼成的角是平角。 （2）∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠4＋∠3＝180° 所以∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠3。即∠1＋∠2＝∠4。 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $