暑假提升训练：三角形的再认识（专项训练）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 以等腰三角形为核心，通过分类讨论、三边关系验证等方法，系统覆盖三角形边、角性质及多边形内角和，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与性质应用|填空1-11、选择12-16、判断17-21|等腰三角形分类讨论、三角形稳定性、三边关系验证|从三角形边/角概念到特殊三角形性质，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |综合计算与实际应用|计算22、解答23-27|内角和公式应用、周长多解分析|结合生活情境（花圃栅栏、小花园角度），提升几何直观与应用意识| |规律探究与拓展|解答28|多边形内角和推导（n-2）×180°|从三角形到多边形，培养归纳推理与创新意识|

暑假提升训练：三角形的再认识 一、填空题 1．小雪用三根小棒围成了一个等腰三角形，其中两根小棒如下图，第三根小棒的长度是( )cm。 2．一个等腰三角形的底角是50°，它的顶角是( )°；另一个等腰三角形相邻两条边的长度分别是6厘米和14厘米，它的周长是( )厘米。 3．一个三角形其中两个角的度数和是75°，则第三个角的度数是( )°；等腰三角形的一条腰长是30厘米，底边的长是40厘米，则它的周长是( )厘米。 4．如下图，三角形中∠1＋∠2＝( )°，如果沿虚线剪去40°的角，剩下图形的内角和是( )°。 5．生活中常见的自行车车架做成三角形利用了三角形的( )；乐乐准备制作一个三角形的学具，有12厘米、10厘米、8厘米、4厘米四根小棒。任选其中3根制作学具，有( )种不同的选择。 6．一个三角形（边长均为整厘米数），已知它的两条边分别是6厘米和8厘米，那么第三条边最长是( )厘米。 7．梦梦准备用图钉固定硬纸条做一个三角形，她最少应准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果其中的两根硬纸条分别是5cm和8cm，另一根硬纸条可能是( )。 8．把一根长20厘米的铁丝剪成3段（每段都是整厘米数）。如果第一段长4厘米，那么第二段是( )厘米，第三段是( )厘米，正好可以围成一个三角形。 9．一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是( )°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是( )边形。 10．如图，图中的三角形按边分是( )三角形，沿虚线剪下一个小三角形，剪下的小三角形内角和是( )，剩余部分图形的内角和是( )。 11．在探究五边形的内角和时，小丽把五边形分成了5个三角形（如图），所以她认为：五边形的内角和是900°。小丽说得( )（填“对”或“不对”）。因为( )。 二、选择题 12．东东用小棒摆三角形，已经选了两根小棒，分别长3厘米和7厘米，他应该再选择一根（    ）的小棒。 A．3厘米 B．4厘米 C．7厘米 D．11厘米 13．在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是（    ）。 A．54° B．44° C．64° D．36° 14．把一个等边三角形剪成两个完全相同的小三角形，每个小三角形中的两个锐角分别是（    ）。 A．45°，45° B．30°，60° C．45°，30° D．60°，60° 15．把一根13厘米长的吸管剪成三段，再首尾相接围成一个三角形。明明第一次在3厘米处剪了一刀，第二次在（    ）处剪，可以围成三角形。 A．A B．B C．C D．D 16．如图，甲、乙、丙三地的位置刚好形成三角形，甲、丙两地之间的距离可能是（    ）km。 A．18 B．21 C．26 D．53 三、判断题 17．从2cm、3cm、5cm、6cm四根小棒中任选三根，共可拼成四种不同的三角形。( ) 18．一个三角形的三条边都是整数分米，其中两条边分别为6分米和10分米，第三条边最短是5分米。( ) 19．用2cm、5cm、6cm小棒能围成三角形。( ) 20．在一个直角三角形中，一个锐角是48°，则另一个锐角是52°。( ) 21．一个等腰三角形的一个内角是30°，则这个等腰三角形的底角是120°。( ) 四、计算题 22．计算下列各角的度数。 五、解答题 23．学校有一块等腰三角形的花圃，其中两条边的长分别是12米和24米。要在花圃的边上围上栅栏，栅栏的长是多少米？ 24．丽丽家有一个直角三角形的小花园，这个花园中最大角的度数恰好是最小角的3倍，这个花园的两个锐角的度数分别是多少？ 25．一个等腰三角形的周长是38厘米，其中一条边是12厘米，另两条边分别是多少厘米？ 26．一个等腰三角形，一条边长12厘米，另一条边长7厘米，这个等腰三角形的周长可能是多少？ 27．若一个等腰三角形其中两条边的长分别是5分米和12分米，则这个等腰三角形的周长是多少分米？ 28．仔细观察，找规律填一填。 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° （1）内角和是1260°的图形是（    ）边形。 （2）n边形的内角和是（    ）。 第4页，共4页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．6 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，据此确定第三根小棒的长度有两种可能，即3cm或6cm；再利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）进行检验，排除不符合题意的情况。 【详解】情况一：假设第三根小棒长3cm。 此时三边长度分别为3cm、3cm、6cm。 两条较短边的和：3＋3＝6（cm） 因为6＝6，即两边之和等于第三边，不满足“大于”的条件，所以这三根小棒不能围成三角形。此情况舍去。 情况二：假设第三根小棒长6cm。此时三边长度分别为3cm、6cm、6cm。 两条较短边的和：3＋6＝9（cm）。 因为9＞6，满足任意两边之和大于第三边，可以围成三角形。 因此，第三根小棒的长度只能是6cm。 2． 80 34 【分析】等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为180°。已知等腰三角形的一个底角为50°，则另一个底角也是50°，用三角形的内角和减去两个底角的和求出顶角的度数。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，且三角形的两边之和大于第三边。已知等腰三角形相邻两条边的长度分别是6厘米和14厘米，则这个三角形三条边的长度有两种情况：第一种情况，三角形三条边的长度为6厘米、6厘米、14厘米；第二种情况，三角形三条边的长度为14厘米、14厘米、6厘米。根据三角形三条边的关系，分别将两种情况中最短的两边相加，如果最短两边的和大于第三边，则这个三角形成立，并将三条边相加求出三角形周长。如果最短两边的和小于或等于第三边，则这个三角形不成立。 【详解】顶角的度数： 180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 等腰三角形三边分别为6厘米，6厘米，14厘米时，最短的两条边6＋6＜14，这个三角形不成立。 等腰三角形三边分别为14厘米，14厘米，6厘米时，最短的两条边6＋14＞14，这个三角形成立。 三角形的周长： 14＋14＋6 ＝28＋6 ＝34（厘米） 3． 105 100 【分析】三角形的内角和等于180°，用180°减去75°，即等于第三个角的度数；等腰三角形中两条腰相等，则另一条腰长是30厘米，三角形的周长等于三边之和，据此代入数据计算即可。 【详解】180°－75°＝105° 30＋30＋40 ＝60＋40 ＝100（厘米） 4． 140 360 【分析】三角形内角和是180°，已知一个角为40°，可求出其余两个角的和。 沿虚线剪去40°的角后，剩下的图形是四边形，四边形的内角和是360°。 【详解】（1）180°－40°＝140° （2）剩下的图形为四边形，四边形内角和是360° 5． 稳定性 3 【分析】三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常利用三角形的稳定性加固物件；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此将方案列出并验证即可。 【详解】12厘米、10厘米、8厘米：12＋10＝22（厘米），12－10＝2（厘米），2厘米＜8厘米＜22厘米，可以组成三角形； 12厘米、10厘米、4厘米：12＋10＝22（厘米），12－10＝2（厘米），2厘米＜4厘米＜22厘米，可以组成三角形； 12厘米、8厘米、4厘米：12＋8＝20（厘米），12－8＝4（厘米），4厘米＝4厘米＜20厘米，不可以组成三角形； 10厘米、8厘米、4厘米：10＋8＝18（厘米），10－8＝2（厘米），2厘米＜4厘米＜18厘米，可以组成三角形； 生活中常见的自行车车架做成三角形利用了三角形的稳定性；乐乐准备制作一个三角形的学具，有12厘米、10厘米、8厘米、4厘米四根小棒。任选其中3根制作学具，有3种不同的选择。 6．13 【分析】三角形三条边的关系是：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边是6厘米和8厘米，第三条边要满足大于8厘米减6厘米的差，小于6厘米加8厘米的和。 【详解】6＋8＝14，第三条边必须小于14厘米，整厘米数最大取13厘米。 8－6＝2，第三条边大于2厘米，因此，第三条边最长是13厘米。 7． 3 3 5cm（答案不唯一） 【分析】至少要准备3根硬纸条，因为三角形有3条边； 至少要用3颗图钉，因为三角形有3个顶点； 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】她最少准备3根硬纸条，准备3个图钉； 第三条边的长度大于8－5＝3（cm），小于8＋5＝13（cm），另一根硬纸条长度只要大于3厘米，小于13厘米即可。（答案不唯一） 8． 8 8 【分析】用铁丝总长度减去第一段长度，求得第二段和第三段的长度和，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算即可。 【详解】根据分析，第二段和第三段的长度和为：（厘米）； 根据三角形三边关系：较短两条边相加最长边，已知一条边4厘米，所以，较短的另一段最长的第三段； 两段相加等于16厘米，若其中一段是6厘米，另一段是10厘米，（厘米），不满足三角形三边关系，所以较短的那段必须大于6厘米； 同时最长边不能厘米，不然短边长边，构不成三角形； 符合条件的整数：7和9、8和8、9和7，任选一组填写。 9． 65 九 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，用180°减去50°，再除以2，求出底角的度数即可。 多边形内角和公式为：内角和＝（边数－2）×180°，代入内角和1260°，用1260°除以180°，再加上2，求出多边形的边数即可。 【详解】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是65°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是九边形。 10． 等腰三角形 180° 360° 【分析】三角形按边分类：有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等； 三角形内角和定理：任意三角形的内角和恒为180°，与三角形的大小、形状无关； 四边形内角和定理：任意四边形的内角和恒为360°，可通过将四边形分成两个三角形推导得出。 先利用三角形内角和算出未知角，判断三角形的边的类型，再根据剩余图形的形状，应用对应的内角和定理。 【详解】根据图示信息，已知三角形的两个内角分别为100°和40°， 根据三角形内角和为180°， 第三个角为：180°−100°−40° ＝80°−40° ＝40° 三角形中有两个角都是40°，根据“等角对等边”，对应的两条边相等，因此这个三角形按边分是等腰三角形。 剪下的小三角形内角和：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是固定的180°，所以剪下的小三角形内角和是180°。 剩余部分图形的内角和：沿虚线剪下后，剩余部分是一个四边形，根据四边形内角和定理，其内角和为360°。 11． 不对 五边形的内角和是540°，不是900° 【分析】根据多边形内角和公式（n－2）×180°算出五边形的内角和，对比小丽说的：五边形的内角和是900°可判断说法是否正确。 【详解】根据多边形内角和公式（n－2）×180°，当n＝5时， （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的内角和是540°，不是900° 故小丽说得不对，因为五边形的内角和是540°，不是900°。 【点睛】 12．C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，据此分析四个选项找出合适的即可。 【详解】A．3＋3＝6（厘米），6＜7，不能围成三角形，此选项错误。 B．4＋3＝7（厘米），7＝7，不能围成三角形，此选项错误。 C．3＋7＝10（厘米），10＞7，7＋7＝14（厘米），14＞3，所以3厘米、7厘米、7厘米能围成三角形。此选项正确。 D．3＋7＝10（厘米），10＜11，不能围成三角形，此选项错误。 13．A 【分析】直角三角形有一个角是直角为，三角形内角和是，所以两个锐角的和是，用减去已知锐角的度数就能得到另一个锐角的度数。 【详解】 在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是。 14．B 【分析】等边三角形三个内角均为60°，沿对称轴剪开得到两个完全相同的直角三角形，结合三角形内角和为180°即可求出小三角形的两个锐角。 【详解】等边三角形每个内角为，剪开后的小三角形是直角三角形，有一个角为，其中一个锐角等于原等边三角形的内角。 另一个锐角度数： 因此两个锐角分别为和。 15．C 【分析】三角形的任意两边之和必须大于第三边，分别写出从A、B、C、D处剪成三段的长度，再看这三段长度是否符合三角形三边关系要求。 【详解】A．从A处剪，三段分别是：3厘米、1厘米、9厘米，，不可以围成三角形； B．从B处剪，三段分别是：3厘米、2厘米、8厘米，，不可以围成三角形； C．从C处剪，三段分别是：3厘米、4厘米、6厘米，，可以围成三角形； D．从D处剪，三段分别是：3厘米、7厘米、3厘米，，不可以围成三角形； 16．C 【分析】根据三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先计算出第三条边的取值范围，再与选项进行对比即可。 【详解】两边之和：16＋37＝53（km） 两边之差：37－16＝21（km） 所以第三条边的长度范围是：21km＜第三条边＜53km A．18＜21，任意不满足两边之差小于第三边，此选项错误； B．21＝21，任意不满足两边之差小于第三边，此选项错误； C．21＜26＜53，满足条件，此选项正确； D．53＝53，不满足任意两边之和大于第三边，此选项错误。 所以，甲、丙两地之间的距离可能是26km。 17．× 【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边依次判断。 【详解】所有选三根小棒的组合，共4种： ①2cm、3cm、5cm，2＋3＝5，不满足，不能拼成三角形； ②2cm、3cm、6cm，2＋3＜6，不满足，不能拼成三角形； ③2cm、5cm、6cm，2＋5＞6，满足，可以拼成三角形； ④3cm、5cm、6cm，3＋5＞6，满足，可以拼成三角形。 所以只有2种组合能拼成三角形，题目说“四种”，说法错误。 故答案为：× 18．√ 【详解】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。 【解答】10分米－6分米＜第三边＜10分米＋6分米，所以：4分米＜第三边＜16分米。 即第三边的取值在4分米～16分米（不包括4分米和16分米） 因为三条边都是整分米数，所以第三条边最短为：4＋1＝5（分米）。所以原题说法正确。 故答案为：√。 19．√ 【分析】判断三根小棒能否围成三角形的依据是三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较短两根长度和是否大于最长边即可。 【详解】三根小棒中较短两根长2cm、5cm，最长的长6cm：2＋5＝7（cm），7＞6，其余两组边长和，2＋6＝8（cm），8＞5，5＋6＝11（cm），11＞2，均满足三角形三边关系，原题说法正确。 故答案为：√ 20． × 【分析】三角形内角和是，直角三角形有一个角是，用内角和减去直角的度数，再减去已知锐角的度数，就能得到另一个锐角的度数，据此判断即可。 【详解】 所以另一个锐角是，原题说法错误。 故答案为：× 21．× 【分析】一个等腰三角形的一个内角是，要看这个角是顶角还是底角，分情况判断。 【详解】如果是顶角，那底角为：； 如果是底角，那顶角为：； 故答案为：× 22．33°；36°；50° 【分析】三角形的内角和是180°，知道两个角的度数求另一个角的度数，用180°分别减去知道的两个角的度数即可。 【详解】180°－90°－57° ＝90°－57° ＝33° 180°－101°－43° ＝79°－43° ＝36° 180°－65°－65° ＝115°－65° ＝50° 23． 60米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。已知两条边分别是米和米，需要分两种情况讨论：第一种情况是腰长米，底边米；第二种情况是腰长米，底边米。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能构成三角形的情况，确定正确的三条边长度后，再计算周长。 【详解】情况一：如果腰长是米，底边是米。 三条边分别为：米、米、米。 因为，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，所以这种情况舍去。 情况二：如果腰长是米，底边是米。 三条边分别为：米、米、米。 因为，，符合三角形三边关系，可以构成三角形。 栅栏的总长度为： （米） 答：栅栏的长是米。 24． 和 【分析】先根据直角三角形的特征确定最大角是的直角，结合最大角是最小角的3倍求出最小锐角，再利用三角形内角和为算出另一个锐角的度数。 【详解】直角三角形的最大角是直角，度数为。 最小锐角的度数：（度） 另一个锐角的度数：（度） 答：这个花园的两个锐角的度数分别是和。 25．另两条边分别是13厘米、13厘米或者12厘米、14厘米 【分析】已知三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。再考虑这条已知的边是腰还是底，如果是腰，那么求出底边后，根据三角形的三边关系判断是否存在这样的三角形；如果是底边，求出腰长后，同样的根据三角形的三边关系判断是否存在这样的三角形；据此解答。 【详解】①如果底边长12厘米 第三条边长是：（38－12）÷2＝13（厘米） 所以这个三角形三边长分别是12厘米、13厘米、13厘米 12＋13＝25＞13，13＋13＝26＞12，符合三角形的三边关系，能构成三角形； ②如果腰长12厘米，第三条边长是：38－12×2＝14（厘米） 所以这个三角形三边长分别是12厘米、12厘米、14厘米。 12＋12＝24＞14，12＋14＝26＞12，符合三角形的三边关系，能构成三角形； 答：另两条边分别是13厘米、13厘米或者12厘米、14厘米。 26．31厘米或26厘米 【分析】已知等腰三角形的两条边分别为12厘米和7厘米，根据三角形任意两边之和大于第三边，解题时需要分两种情况讨论腰长。 第一种情况，以12厘米为腰、7厘米为底，验证三角形三边关系（12＋12＞7，12＋7＞12），符合三角形三边关系；第二种情况，以7厘米为腰、12厘米为底，同样验证三边关系（7＋7＞12，7＋12＞7），也符合三角形三边关系。再分别计算两种情况下的周长， 【详解】①当腰长为12厘米，底边长为7厘米时 12＋12＋7 ＝24＋7 ＝31（厘米） ②当腰长为7厘米，底边长为12厘米时 7＋7＋12 ＝14＋12 ＝26（厘米） 答：这个等腰三角形的周长可能是31厘米或26厘米。 27．29分米 【分析】等腰三角形有两条边长相等，所以分两种情况：腰＝5分米或腰＝12分米；再根据三角形三边关系：任意两边之和＞第三边，排除不成立的情况，最后算周长。 【详解】情况1：腰长5分米，底12分米 5＋5＝10（分米） 10＜12，不满足三边关系，不能围成三角形，舍去。 情况2：腰长12分米，底5分米 12＋5＝17（分米） 17＞12，12＋12＝24＞5，符合三边关系。 周长：12＋12＋5 ＝24＋5 ＝29（分米） 答：周长是29分米。 28． 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° （1）九 （2）180°×（n－2） 【分析】三角形的内角和是180°，要求多边形的内角和，可以把多边形分成三角形，分成的三角形的个数比边数少2，再用三角形的内角和180°乘分成的三角形的个数，即可求出多边形的内角和。 （1）用多边形的内角和1260°除以180°，求出分成三角形的个数，再加2，求出多边形的边数，即可解答。 （2）根据图形规律，先用多边形的边数n减去2，求出分成三角形的个数，再用三角形的内角和180°乘分成三角形的个数，即可表示出n边形的内角和。 【详解】五边形内角和： 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 六边形内角和： 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° （1）1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 所以，内角和是1260°的图形是九边形。 （2）n边形的内角和是：180°×（n－2）。 答案第10页，共11页 答案第9页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $