专项提升训练：探索三角形三边关系（专项练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版）

**基本信息** 以三角形三边关系定理为核心，通过多题型系统训练，提炼范围确定、分类讨论等方法，培养几何直观与推理意识，构建从概念到应用的完整知识逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |填空题|8题|第三边范围：两边差＜第三边＜两边和；等腰三角形分类验证|从基础计算到实际应用，强化定理直接应用| |选择/判断题|10题|反例验证法；临界值辨析（等于两边和/差）|通过错误案例深化定理理解，培养批判性思维| |作图/解答题|6题|等腰三角形双解讨论；周长与三边关系综合应用|结合动手操作与实际问题，提升应用意识与模型观念|

专项提升训练：探索三角形三边关系 一、填空题 1．一根长14厘米的小棒，截成整厘米长的三段围成一个三角形，这三段长可能是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 2．已知一个三角形的两条边分别是4厘米、6厘米，那么第三条边的长度有( )种可能，最长是( )厘米。（长度取整厘米数） 3．已有两根木棒，长度分别是15厘米、11厘米，如果要钉一个三角形木架，第三根木棒的长度既要大于( )厘米，还要小于( )厘米。 4．用小棒拼三角形时，已知其中两根小棒的长度分别是5厘米和11厘米，若第三条边长是整厘米数，第三条边最长是( )厘米。 5．用三根整厘米数的小棒搭三角形，其中的两根分别是5厘米和7厘米，那么第三根小棒最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 6．廉江红橙基地搭建三角支架防护果树，支架三边长度取整分米，其中两条边为5分米和8分米，第三条边最长是( )分米，最短是( )分米。 7．一个等腰三角形的两条边分别是7厘米和15厘米，它的周长是( )厘米。 8．生活中常见的自行车车架做成三角形利用了三角形的( )；乐乐准备制作一个三角形的学具，有12厘米、10厘米、8厘米、4厘米四根小棒。任选其中3根制作学具，有( )种不同的选择。 二、选择题 9．飞飞想用三根木棒围成一个三角形，其中两根的长度分别是13厘米和17厘米，第三根木棒的长度不可能是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．23厘米 D．32厘米 10．飞飞想用三根木棒围成一个三角形，其中两根的长度分别是13厘米和17厘米，第三根木棒的长度不可能是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．23厘米 D．32厘米 11．用三根小棒拼成一个三角形，如果前两根分别是4cm和7cm，那么第三根不可能是（    ）。（取整厘米数） A．10cm B．7cm C．5cm D．3cm 12．如果一个三角形两条边的长度分别是6厘米和8厘米，那么第三条边的长度不可能是（    ）厘米。 A．10 B．8 C．5 D．2 13．一个三角形的两条边分别长5cm和8cm，另一条边可能是（    ）cm。 A．13 B．9 C．3 D．2 三、判断题 14．用一根长59厘米的铁丝能围成一个有一条边是30厘米的三角形。( ) 15．用三根分别长4厘米、4厘米和9厘米的小棒不能摆成一个三角形。( ) 16．用长5cm、5cm、10cm的三条线段，可以围成一个三角形。( ) 17．用长为10厘米、8厘米和16厘米的三根小棒可以围成一个三角形。( ) 18．从2厘米、3厘米、5厘米、6厘米四根小棒中选取其中三根拼成的三角形中，周长最短是10厘米。( ) 四、作图题 19．把下面的9根小棒全部用上，摆出一个等边三角形和两个等腰三角形。请画一画，并标上每条边的长度。 五、解答题 20．荣荣和莉莉准备围一个周长是14cm的三角形，现在他们都有一根长14cm的小棒，怎样剪两刀，使剪成的三根小棒能围成三角形。（每个小棒的长度都是整厘米数）。荣荣准备将第一刀剪在小棒的中点处。这种剪法行吗？为什么？ 21．等腰三角形一边长14厘米，一边长8厘米，求三角形周长的所有可能。 22．明明在劳动课上做了一个等腰三角形的挂件，其中一条边长分米，另一条边长分米，这个等腰三角形挂件的周长是多少分米？ 23．一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是和，这个三角形的周长是多少米？ 24．王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 4 4 6 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。 三段小棒总长度是14厘米，我们只要保证最长的那段长度小于总长度的一半（也就是小于7厘米），剩下两段的和就自然大于最长边，满足围三角形的要求。比如选4厘米、4厘米、6厘米：4＋4＞6，4＋6＞4，4＋6＞4，完全符合要求，且三段加起来刚好14厘米，都是整厘米数。 注：符合要求的答案不唯一，比如3、5、6，4、5、5也都是正确的。 【详解】14÷2＝7（厘米） 例如：4＋4＋6 ＝8＋6 ＝14（厘米） 4厘米、4厘米、6厘米：4＋4＞6，4＋6＞4，4＋6＞4，完全符合要求，且三段加起来刚好14厘米，都是整厘米数。 注：符合要求的答案不唯一，比如3、5、6，4、5、5也都是正确的。 一根长14厘米的小棒，截成整厘米长的三段围成一个三角形，这三段长可能是4厘米、4厘米、6厘米。（答案不唯一） 2． 7 9 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边分别是 4厘米 和 6厘米，可以确定第三条边的取值范围。 【详解】4＋6＝10（厘米） 6－4＝2（厘米） 2厘米＜第三条边＜10厘米 可能是3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米 有7种可能，最长是9厘米。 3． 4 26 【分析】三角形任意两边的差要小于第三边，任意两边的和要大于第三边。我们用现有的两根木棒长度计算：两边的差是15－11＝4厘米，所以第三根必须比4厘米长；两边的和是15＋11＝26厘米，所以第三根必须比26厘米短，这样三根木棒就能首尾相连钉成三角形了。 【详解】15－11＝4（厘米） 15＋11＝26（厘米） 已有两根木棒，长度分别是15厘米、11厘米，如果要钉一个三角形木架，第三根木棒的长度既要大于4厘米，还要小于26厘米。 4．15 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 先求出两条已知边的差与和：11−5＝6，11＋5＝16，所以第三边长度大于6厘米、小于16厘米。题目要求边长为整厘米数，小于16的最大整数是15。 【详解】11−5＜第三边＜11＋5 6＜第三边＜16 第三条边取整厘米数，最长是15厘米。 5． 11 3 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根小棒分别为5厘米和7厘米，第三根小棒长度需满足：7厘米＋5厘米＞第三根小棒的长度，7厘米－5厘米＜第三根小棒的长度，据此解答。 【详解】确定第三边范围： 5＋7＝12（厘米） 7－5＝2（厘米） 2厘米＜第三根小棒的长度＜12厘米 所以第三根小棒最长可以是11厘米，最短是3厘米。 6． 12 4 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 【详解】已知两条边：5分米、8分米，第三条边（整数分米）： 若第三边为最长边：必须＜5＋8＝13，因为取整数，最大只能取12； 若第三边为最短边：必须＞8－5＝3，整数最小取4。 范围总结：3＜第三边长度＜13， 最大值：12，最小值：4。 故第三条边最长是（12）分米，最短是（4）分米。 7．37 【分析】等腰三角形两条腰相等。先假设7厘米为腰，则两腰之和与第三边比较，看能否围成三角形。若不能，则15厘米必为腰，再求周长。 【详解】假设腰为7厘米：7＋7＝14（厘米），14＜15，不能围成三角形。 所以腰为15厘米，底为7厘米，周长＝15＋15＋7＝37（厘米） 8． 稳定性 3 【分析】三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常利用三角形的稳定性加固物件；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此将方案列出并验证即可。 【详解】12厘米、10厘米、8厘米：12＋10＝22（厘米），12－10＝2（厘米），2厘米＜8厘米＜22厘米，可以组成三角形； 12厘米、10厘米、4厘米：12＋10＝22（厘米），12－10＝2（厘米），2厘米＜4厘米＜22厘米，可以组成三角形； 12厘米、8厘米、4厘米：12＋8＝20（厘米），12－8＝4（厘米），4厘米＝4厘米＜20厘米，不可以组成三角形； 10厘米、8厘米、4厘米：10＋8＝18（厘米），10－8＝2（厘米），2厘米＜4厘米＜18厘米，可以组成三角形； 生活中常见的自行车车架做成三角形利用了三角形的稳定性；乐乐准备制作一个三角形的学具，有12厘米、10厘米、8厘米、4厘米四根小棒。任选其中3根制作学具，有3种不同的选择。 9．D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三根木棒的长度范围，再对应判断选项即可。 【详解】（厘米） （厘米） 第三根木棒的长度需要满足：厘米第三边长度厘米 A．4＜5＜30，可以围成一个三角形； B．4＜9＜30，可以围成一个三角形； C．4＜23＜30，可以围成一个三角形； D．32＞30，不可能围成一个三角形。 10．D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三根木棒的长度取值范围，再对比选项判断即可。 【详解】（厘米） （厘米） 4厘米＜第三边长度＜30厘米 A．4＜5＜30，可以围成一个三角形； B．4＜9＜30，可以围成一个三角形； C．4＜23＜30，可以围成一个三角形； D．32＞30，不可能围成一个三角形。 11．D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断各选项长度是否符合要求。 【详解】A．，可以拼成三角形； B．，可以拼成三角形； C．，可以拼成三角形； D．，不满足两边之和大于第三边，不能拼成三角形。 12．D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三条边的取值范围，再对比选项判断即可。 【详解】8＋6＝14（厘米） 8－6＝2（厘米） 所以第三条边的长度需要大于2厘米，且小于14厘米； A．2＜10＜14，所以第三条边的长度可能是10厘米； B．2＜8＜14，所以第三条边的长度可能是8厘米； C．2＜5＜14，所以第三条边的长度可能是5厘米； D．2厘米不在大于2厘米，且小于14厘米的范围内，所以第三条边的长度不可能是2厘米。 13．B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三边的长度范围，再逐一判断选项。 【详解】5＋8＝13（cm） 8－5＝3（cm） 第三边长度需大于3cm，小于13cm。 A．13＝13，不符合要求； B．3＜9＜13，符合要求； C．3＝3，不符合要求； D．2＜3，不符合要求。 14． × 【分析】铁丝总长59厘米为三角形周长，若一条边长30厘米，先求出剩余两边的和，再根据三角形三边关系判断即可。 【详解】（厘米） 剩余两边之和为29厘米，根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，此时29＜30，因此无法围成这样的三角形。 故答案为：× 15． √ 【分析】根据三角形三边关系：较短两边之和大于第三边才能拼成三角形，据此判断即可。 【详解】（厘米） ，可知较短两边之和小于最长边，无法摆成三角形，题干说法正确。 故答案为：√ 16． × 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只需验证较短的两条线段长度之和是否大于最长的那条线段。 【详解】因为，两边之和等于第三边，不满足两边之和大于第三边的条件，所以不能围成一个三角形。 故答案为：× 17．√ 【分析】根据三角形的特性，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此进行判断。 【详解】10＋8＞16，10＋16＞8，8＋16＞10；10－8＜16，16－8＜10，16－10＜8。根据三角形三边的关系，这三根小棒可以围成一个三角形。 故答案为：√ 18．× 【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边，先从四根小棒中列举出所有选取三根的组合，然后逐一验证每组小棒是否满足三边关系，筛选出能围成三角形的组合，分别计算它们的周长，最后找出最小周长与题干数据进行对比判断。 【详解】从2厘米、3厘米、5厘米、6厘米四根小棒中选三根，共有4种选法，验证如下： 1. 选2厘米、3厘米、5厘米：因为 ，两边之和等于第三边，不能围成三角形； 2. 选2厘米、3厘米、6厘米：因为 ， ，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 3. 选2厘米、5厘米、6厘米：因为 ， ，能围成三角形。周长为：（厘米） 4. 选3厘米、5厘米、6厘米：因为 ， ，能围成三角形。周长为：（厘米） 能围成的三角形中，周长最短的是13厘米。 因为 ，所以题干说法错误。 故答案为：× 19．见详解 【分析】三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。摆出一个等边三角形和两个等腰三角形，需要考虑用哪种长度的小棒来摆等边三角形且剩下的小棒可以摆成等腰三角形。 1、如果用3根5厘米长的小棒摆成等边三角形。那么剩下的小棒是3厘米长和8厘米长。因为3＋3＜8，用2根3厘米长的小棒和1根8厘米长的小棒没有办法组成等腰三角形，所以不合理； 2、如果用3根8厘米长的小棒摆成等边三角形。那么剩下的小棒是3厘米长和5厘米长。因为3＋3＞5，用2根3厘米长的小棒和1根5厘米长的小棒可以组成等腰三角形。因为5＋3＞5，用2根5厘米长的小棒和1根3厘米长的小棒可以组成等腰三角形。满足题意； 3、如果用3根3厘米长的小棒摆成等边三角形。那么剩下的小棒是5厘米长和8厘米长。因为5＋5＞8，用2根5厘米长的小棒和1根8厘米长的小棒可以组成等腰三角形。因为5＋8＞8，用2根8厘米长的小棒和1根5厘米长的小棒可以组成等腰三角形。满足题意； 【详解】 方法一：如果用3根8厘米长的小棒摆成等边三角形，剩下的小棒组成两个等腰三角形，组成的三角形如下图： 方法二：如果用3根3厘米长的小棒摆成等边三角形，剩下的小棒组成两个等腰三角形，组成的三角形如下图： 20． 这种剪法不行。因为三角形任意两边之和大于第三边，第一刀剪在中点时，会得到一根长7cm的小棒，另外两根小棒的长度和是7cm，两边之和等于第三边，无法围成三角形。 【分析】14cm长的小棒中点位置是14÷2＝7cm，第一刀剪在这里后，已经得到了一段长7cm的小棒，剩下的两根小棒总长度为14－7＝7cm。根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，这里剩下两根小棒的长度和等于第三边的长度，不满足三角形三边的要求，因此无法围成三角形，这种剪法不行。 【详解】14÷2＝7（cm） 14－7＝7（cm） 答：这种剪法不行。因为三角形任意两边之和大于第三边，第一刀剪在中点时，会得到一根长7cm的小棒，另外两根小棒的长度和是7cm，两边之和等于第三边，无法围成三角形。 21． 厘米或36厘米 【分析】根据等腰三角形的特征，两条腰的长度相等。题目给出了两条边的长度，需要分两种情况讨论：一种是14厘米为腰长，8厘米为底长；另一种是8厘米为腰长，14厘米为底长。确定三边长度后，需根据“三角形任意两边之和大于第三边”验证能否组成三角形，最后计算周长。 【详解】第一种情况：当腰长为14厘米，底长为8厘米时，三条边的长度分别为14厘米、14厘米、8厘米。 ，符合三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形。 周长：（厘米） 第二种情况：当腰长为8厘米，底长为14厘米时，三条边的长度分别为8厘米、8厘米、14厘米。 ，，符合三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形。 周长：（厘米） 答：三角形周长的所有可能是厘米或36厘米。 22．分米 【分析】已知等腰三角形的两条边长，需要分两种情况讨论：一种是腰长为分米，底边长为分米；另一种是腰长为分米，底边长为分米。根据三角形任意两边之和大于第三边的性质进行验证，排除不能组成三角形的情况，最后计算符合情况的周长。 【详解】假设腰长是分米，底边长是分米。 （分米） ， 因为，即 两边之和小于第三边，不能组成三角形。 假设腰长是分米，底边长是分米。 因为，符合三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形。 分米） 答：这个等腰三角形挂件的周长是分米。 23． 米 【分析】根据等腰三角形的特征，两条腰的长度相等。已知两条边的长度，需分两种情况讨论哪条边是腰。结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断哪种情况能组成三角形，最后计算符合条件的三角形的周长。 【详解】当米为等腰三角形的腰时，三条边的长度分别为米、米、米。 因为，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。 当米为等腰三角形的腰时，三条边的长度分别为米、米、米。 因为，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能组成三角形。 （米） 答：这个三角形的周长是米。 24．最短米，最长米 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【详解】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $