3.1.2 第2课时 函数的平均变化率-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的平均变化率，涵盖直线斜率、平均变化率计算、单调性充要条件及二次函数最值等核心知识点。新课导入从函数单调性的形的角度切入，通过两点连线性质的疑问，衔接前期单调性知识，搭建从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点在于以实例（如二次函数平均变化率计算、用平均变化率证明单调性）和分类讨论（二次函数定轴定区间、动轴定区间等最值问题）为主线，培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达）。采用即时练、跟踪训练结合感悟提升，帮助学生形成规范解题步骤，教师使用时能高效落实知识点，提升学生分析和解决问题的能力。

第2课时　函数的平均变化率 新课导入 学习目标 　　从形的角度理解函数的单调性，限制条件的对象是图象上的任意两点．我们知道，两点确定一条直线．那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？带着这样的疑问，开始我们今天的学习． 1.了解直线的斜率及意义． 2．了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系． 3．会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 斜率 斜率不存在 返回导航 返回导航 0 返回导航 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1? 返回导航 感悟提升 利用斜率公式求直线斜率的注意事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与A，B两点的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 返回导航 角度2　平均变化率的计算 [例1] 已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； 返回导航 (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 [跟踪训练1] 求函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率． 返回导航 >  <  返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 f(n) f(m) f(m) f(n) 返回导航 角度1　定轴定区间 [例3] 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数f(x)的最大值和最小值： (1)R；　(2)[0，3]；　(3)[－1，1]. 返回导航 【解】　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7恒成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0，2]上单调递减， 返回导航 在[2，3]上单调递增，所以f(x)在x＝2处取得最小值，最小值为f(2)＝－7.又f(0)＝5，f(3)＝－4，所以函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5. (3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)在x＝－1处取得最大值，最大值为f(－1)＝20；在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝－4. 返回导航 感悟提升 (1)画出函数图象，根据给定的区间截取符合要求的部分． (2)根据图象或单调性写出最大值和最小值． 返回导航 角度2　动轴定区间 [例4] 已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值． 【解】　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]. 当a≥1时，函数f(x)的大致图象如图1中实线所示，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数f(x)的大致图象如图2中实线所示，函数f(x)在[－1，a)上单调递减，在(a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数f(x)的大致图象如图3中实线所示，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a. 返回导航 感悟提升 返回导航 角度3　定轴动区间 [例5] 已知二次函数y＝f(x)，f(0)＝f(8)＝0，f(x)的最大值为16. (1)求函数y＝f(x)的解析式； 【解】　因为函数y＝f(x)是二次函数，且f(0)＝f(8)＝0，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝4.又f(x)的最大值为16，设f(x)＝a(x－4)2＋16，a<0，由f(0)＝0， 可得a＝－1.所以f(x)＝－(x－4)2＋16＝－x2＋8x. 返回导航 (2)求函数y＝f(x)在区间[t，t＋2]的最大值h(t). 返回导航 感悟提升 “定轴动区间”问题的解题思路 分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． 返回导航 [跟踪训练3] (2026·威海月考)已知函数f(x)＝－x2＋2ax－3. (1)若函数y＝f(x)在(－∞，1)上单调递增，求实数a的取值范围； 解：由已知得f(x)＝－x2＋2ax－3＝－(x－a)2＋a2－3. 所以函数f(x)的图象是开口向下，且对称轴为直线x＝a的抛物线． 因为函数y＝f(x)在(－∞，1)上单调递增，所以a≥1. 故实数a的取值范围是[1，＋∞). 返回导航 (2)求函数f(x)在[1，2]上的最大值． 解：当a≤1时，函数y＝f(x)在[1，2]上单调递减，于是f(x)max＝f(1)＝2a－4； 当1<a<2时，函数y＝f(x)在[1，a)上单调递增，在(a，2]上单调递减，于是f(x)max＝f(a)＝a2－3； 当a≥2时，函数y＝f(x)在[1，2]上单调递增，于是f(x)max＝f(2)＝4a－7. 综上，当a≤1时，f(x)max＝2a－4；当1<a<2时，f(x)max＝a2－3；当a≥2时，f(x)max＝4a－7. 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 33 B 返回导航 A 返回导航 D 返回导航 4．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； 返回导航 (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：(1)直线的斜率；(2)函数的平均变化率；(3)函数单调性的充要条件；(4)求一元二次函数的最值． 2．须贯通：利用函数单调性及图象求一元二次函数的最值时，体现了分类讨论思想和数形结合思想． 3．应注意：直线与x轴垂直时直线的斜率存在性问题． 返回导航 知识点一　函数的平均变化率 [知识梳理] 1．直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的______；当x1＝x2时，称直线AB的____________． 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为. 2．函数的平均变化率 一般地，若区间I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝________(即______________________)，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率． [知识梳理] 函数递增、递减的充要条件 一般地，若区间I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则： (1)y＝f(x)在区间I上是增函数的充要条件是____0在区间I上恒成立； (2)y＝f(x)在区间I上是减函数的充要条件是____0在区间I上恒成立． [知识梳理] 已知二次函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当对称轴与区间的位置不确定时，还需要进行分类讨论． 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下三种情况： f(－) 1．已知函数f(x)＝在[1，a]上的平均变化率为，则实数a的值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 2．已知过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率为1，则m的值为(　　) A．1 B． C．2 D． $