3.1.1 第1课时 函数的概念-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的概念与性质，通过太阳升起、气温变化等动态现象导入，引导学生从变量关系抽象出函数定义，构建定义域、对应关系、值域三要素的认知支架，衔接后续函数性质学习。 亮点在于以问题链驱动探究，如通过“y=1是否为函数”等思考培养数学眼光，结合多选例题、图象判断等训练发展数学思维，用集合区间规范表达强化数学语言。采用讲练结合与方法小结，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径。

第三章　函　数 3．1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 新课导入 学习目标 　　许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化．早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化．这两个变量之间存在着函数关系． 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素． 2．会求一些简单函数的定义域和值域． 3．掌握同一个函数的概念，并会判断是否为同一个函数． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 5 知识点一　函数关系的判断 思考1　对于坐标平面内的点(x，y)，若y＝1，x∈R，y是否是x的函数？ 提示：是． 思考2　对于坐标平面内的点(x，y)，若x＝1，y∈R，y是否是x的函数？ 提示：不是． 返回导航 [知识梳理] 函数的概念 函数的定义 一般地，给定两个____________A与 B，以及对应关系f，如果对于集合A中的______________，在集合B中都有______确定的实数y与x对应，则称____为定义在集合A上的一个函数 非空实数集 每一个实数x 唯一 f 返回导航 函数的记法 ______________，x∈A 定义域 x称为自变量，y称为因变量，自变量____________(即数集A)称为这个函数的定义域 值域 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域 y＝f(x) 取值的范围 返回导航 点拨　(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集； (2)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积； (3)函数三要素：定义域、对应关系与值域． 返回导航 [例1] (1)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 【解析】　对于A，可构成函数关系；对于B，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；对于C，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；对于D，可构成函数关系． AD 返回导航 (2)设P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是(　　) B 【解析】　由题图知A的定义域不是P，不符合题意；B符合函数的定义，符合题意；C中，集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义；D中，当x＝2时，有两个值与之对应，不符合函数定义．故选B. 返回导航 感悟提升 (1)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 返回导航 感悟提升 (2)判断一个对应关系是否为函数的方法 返回导航 返回导航 (2)A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|x≥2}． f是A到B上的函数吗？ 返回导航 (3)A＝{x|x≤－1，或x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}， f是A到B上的函数吗？ 返回导航 【解】　要使函数有意义，当且仅当x－2≠0，解得x≠2，所以该函数的定义域为{x|x≠2}． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义． (4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义． 注意　定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接． 返回导航 C 返回导航 角度2　求函数值和值域 [例3] (1)若函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数f(x)的值域是________． 【解析】　由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2， 解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1， 根据集合中元素的互异性，得函数f(x)的值域为{0，1}． {0，1} 返回导航 返回导航 感悟提升 (1)求函数值的方法 ①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)求函数值域的常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． ②配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法． 返回导航 感悟提升 ③图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域． ④换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域． ⑤分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为反比例函数的形式，便于求值域． 返回导航 [跟踪训练3] 已知函数f(x)＝3x2－5x＋2. (1)求函数f(x)的定义域和值域； 返回导航 (2)分别求f(3)，f(a)，f(x＋1). 解：f(3)＝3×32－5×3＋2＝14， f(a)＝3a2－5a＋2， f(x＋1)＝3(x＋1)2－5(x＋1)＋2＝3x2＋x. 返回导航 知识点三　同一个函数 [知识梳理] 一般地，如果两个函数表达式表示的函数________相同，__________也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 定义域 对应关系 返回导航 AB 返回导航 返回导航 感悟提升 判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤 注意　(1)在化简解析式时，必须是等价变形； (2)与用哪个字母表示无关． 返回导航 解析：A中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B中两函数对应关系不同；C中两函数的定义域、对应关系相同，所以是同一个函数；D中两函数对应关系不同． AC 返回导航 (2)写出一个与函数y＝|x|的定义域与值域均相同的不同函数________________． 解析：由题意可知，函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，＋∞)， 因为函数y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)， 所以y＝x2与函数y＝|x|的定义域与值域均相同，但对应关系不同，不是同一个函数． y＝x2(答案不唯一) 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 35 1．(教材P97T6改编)以下图形中，不是函数图象的是(　　) 解析：根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象．故选A. A 返回导航 2．(多选)给出下列四个对应，其中构成函数的是(　　) AD 返回导航 解析：对于A，每一个自变量都有唯一的数与之对应，可以构成函数，A正确； 对于B，自变量3没有对应的数，不能构成函数，B错误； 对于C，自变量2同时对应了两个数，不能构成函数，C错误； 对于D，每一个自变量都有唯一的数与之对应，可以构成函数，D正确． 返回导航 B 返回导航 返回导航 x x≤1 1<x<2 x≥2 f(x) 1 2 3 3 返回导航 返回导航 返回导航 (2)求f(g(x)). 返回导航 课堂小结 1．已学习：函数的概念；函数的定义域、值域；同一个函数的判定． 2．须贯通：求函数值域常用的方法：观察法、配方法、换元法等． 3．应注意：(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应． (2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断． 返回导航 [跟踪训练1] 已知对应关系f：x→－. (1)A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥－2}， f是A到B上的函数吗？ 解：当x≥1时，－2≤－<0，因为{x|－2≤x<0}{x|x≥－2}， 所以f是A到B上的函数． 角度1　函数的定义域 [例2] (对接教材例1)求下列函数的定义域： (1)f(x)＝2＋； $