2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，通过问题链导入回顾一般形式与解法，搭建从旧知到配方法、判别式及根与系数关系的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以问题驱动探究，结合数学思维（推理与运算）和数学语言（模型应用），通过知识梳理、例题解析与跟踪训练，如配方法步骤表、根与系数关系的代数式变形应用，强调二次项系数讨论。学生能提升解题能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

2．1.2　一元二次方程的解集 及其根与系数的关系 新课导入 学习目标 　　一元二次方程的一般形式是什么？解一元二次方程有哪些常见方法？如何判断一元二次方程根的情况？本节课，我们将探讨这些问题！ 1.会解一元二次方程． 2．理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系． 3．会利用一元二次方程根与系数的关系进行求值及求参数的取值范围． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　配方法求一元二次方程的解集 [知识梳理] (1)把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，称为配方法． (2)一般地，方程x2＝t： ①当t>0时，解集为________________； ②当t＝0时，解集为____； ③当t<0时，解集为____． ∅ {0} 返回导航 (3)一般地，方程(x－k)2＝t： ①当t>0时，解集为______________________； ②当t＝0时，解集为____； ③当t<0时，解集为____． 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x－k)2＝t的形式，就可得到方程的解集． ∅ {k} 返回导航 [例1] 求下列一元二次方程的解集： (1)x2＋2x－8＝0； 【解】　方法一(配方法)：由题可知x2＋2x－8＝0， 移项，得x2＋2x＝8， 配方，得x2＋2x＋12＝8＋12， 所以(x＋1)2＝9，解得x＝2或x＝－4. 所以原方程的解集为{2，－4}． 方法二(因式分解法)：分解因式，得(x＋4)(x－2)＝0， 所以x＋4＝0或x－2＝0，解得x1＝－4，x2＝2. 所以原方程的解集为{2，－4}． 返回导航 (2)2x2＋5x＝－2； 返回导航 (3)(2x－1)2＝5(2x－1). 返回导航 感悟提升 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 一移 移项 将常数项移到右边，含未知数的项移到左边 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 返回导航 [跟踪训练1] 用配方法解下列方程： (1)3x2－6x＋2＝0； 返回导航 返回导航 知识点二　一元二次方程的判别式及应用 [知识梳理] 　　一般地，Δ＝________称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为______________________________________； (2)当Δ＝0时，方程的解集为______________； (3)当Δ<0时，方程的解集为____． b2－4ac ∅ 返回导航 返回导航 (2)(x＋2)2＝2x＋1. 【解】　原方程可化为x2＋2x＋3＝0.因为a＝1，b＝2，c＝3， 所以b2－4ac＝22－4×1×3＝－8<0，所以此方程无实数根． 返回导航 感悟提升 用公式法求一元二次方程解集的步骤 (1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值(注意符号). (2)求出Δ＝b2－4ac的值． (3)根据求根公式求方程的解． (4)写出方程的解集． 注意　当方程右边化为0，左边容易分解因式时，可考虑用因式分解法求解． 返回导航 [跟踪训练2] 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求m的取值范围； 解：关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； 返回导航 (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？求出这两个实数根． 返回导航 知识点三　一元二次方程根与系数关系及应用 [知识梳理] 1．一元二次方程根与系数的关系 　　如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝______，x1x2＝_____．这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系． 2．重要推论 (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝_____，x1x2＝___． (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. q －p 返回导航 返回导航 感悟提升 　　在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值． 返回导航 10 返回导航 (2)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. ①若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； ②若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值． 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 25 1．(教材P53练习AT1改编)已知A＝{x|(x＋3)2＝25}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∪B＝(　　) A．{－3，1，－8，2} B．{3，－1，－8，2} C．{－3，－1，－8，2} D．{3，－1，8，－2} 解析：A＝{x|(x＋3)2＝25}＝{－8，2}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x－3)(x＋1)＝0}＝{3，－1}，所以A∪B＝{3，－1，－8，2}． B 返回导航 2．关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的负实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的正实数根 解析：因为a＝1，b＝4k，c＝－1，所以Δ＝(4k)2－4×1×(－1)＝16k2＋4.因为16k2＋4>0，所以关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0有两个不相等的实数根． A 返回导航 3．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则(x1－2)(x2－2)的值为(　　) A．2 B．4 C．5 D．－2 解析：因为x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，所以x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，则(x1－2)·(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－1－2×(－1)＋4＝5.故选C． C 返回导航 A 返回导航 返回导航 5．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a＝________． 解析：根据题意，得－(a2－2a)＝0，解得a＝0或a＝2.当a＝2时，方程为x2＋1＝0，Δ＝－4<0，不符合题意，所以a＝2舍去；当a＝0时，方程为x2－1＝0，Δ＝4>0，符合题意，所以a＝0. 0 返回导航 课堂小结 1．已学习：利用配方法和公式法求一元二次方程的解集；一元二次方程根与系数的关系． 2．须贯通：配方法，公式法的应用． 3．应注意：对一元二次方程二次项系数的讨论． 返回导航 {－，} {k－，k＋} {－} {，} $