1.1.2 集合的基本关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集等核心知识点。新课导入以高一新生班级组成实例设问，衔接集合基本概念，通过问题链搭建从具体情境到抽象概念的学习支架，引导学生逐步理解集合间的包含与相等关系。 其亮点在于融合数学眼光与思维，运用维恩图、数轴等数形结合工具，结合IMO参赛选手、正方形集合等实例，直观呈现集合关系。通过分类讨论参数问题中的空集情况，总结列举法、元素特征法等判断方法，培养学生逻辑推理与数学表达能力。教师可借助例题与分层训练提升教学效率，学生能系统掌握知识并发展数学素养。

1．1.2　集合的基本关系 新课导入 学习目标 本年开学季， 某校新招的高一18 个班的新生组成集 合A，其中高一(1)班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系．  1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2．能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 3．在具体情境中，了解空集的含义． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　子集和真子集的判断 第67届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)于2026年在中国上海举行，设全部参赛选手组成集合A，中国参赛选手组成集合B. 思考1　集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗？ 提示：不是． 思考2　集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． 返回导航 [知识梳理] 1．子集与真子集的定义 类别 文字语言 符号语言 图形语言 结论 子 集 一般地，如果集合A的________元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B” (或“B包含A”) (1)A⊆A， ∅⊆A (2)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C 任意一个 返回导航 类别 文字语言 符号语言 图形语言 结论 真 子 集 一般地，如果集合A是集合B的____，并且B中____有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)   (1)若AB，BC，则AC (2)若A⊆B且A≠B，则AB 子集 至少 返回导航 2.维恩图 如果用平面上一条__________的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图． 封闭曲线 返回导航 [例1] (对接教材例3)指出下列各组集合之间的关系． (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}； 【解】　因为B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，所以A⊇B. (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形}； 【解】　A，B两个集合都表示由正方形构成的集合，故A＝B. 返回导航 (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}； 【解】　集合M与集合N都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，所以1∈M, 且1∉N，故N⊆M. (4)A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x－1<8}． 返回导航 感悟提升 判断集合间关系的常用方法 注意　用数轴表示集合时，如果端点处带“＝”，在数轴上端点处画实点；如果端点处不带“＝”，在数轴上端点处画虚点． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则(　　) A．1∉M B．－1⊆M C．{－1，1}⊆M D．{－1，1}∈M 解析：集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，A错误； －1∈M，元素与集合不能用“⊆”符号，B错误； 根据子集的定义，有{－1，1}⊆M，C正确； 集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用“∈”符号，D错误． C 返回导航 (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： ①A________B；②A________C； ③{2}________C；④2________C. ＝ ∈ 返回导航 知识点二　子集与真子集的个数问题 [例2] (对接教材例1)已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}． (1)写出集合A的子集、真子集； (2)求集合B的子集数、真子集数和非空真子集数． 【解】　(1)A的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为∅，{0}，{1}． (2)B的子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}． 所以B的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6. 返回导航 感悟提升 (1)求集合的子集或真子集的思路 返回导航 感悟提升 (2)求集合的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：∅和自身． ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，做到不重不漏． 常用结论　若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有(2n－1)个；A的非空真子集有(2n－2)个． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个． D 返回导航 (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 所以A的所有子集为：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 返回导航 应用点　由集合间的关系求参数 [例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m(m>1)}，且B⊆A，则实数m的取值范围是______________． 【解析】　由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4. 又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1<m≤4}． {m|1＜m≤4} 返回导航 母题探究　本例若将“B＝{x|1<x<m(m>1)}”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤4}． 返回导航 感悟提升 由集合间的关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注意　(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有参数时，一般需要分类讨论． 返回导航 [跟踪训练3] (1)(2026·德州月考)已知集合A＝{0，－1}， B＝{0，1，2－a}，若A，B关系如图所示，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析：由题图可知A⊆B，则－1＝2－a，所以a＝3. D 返回导航 (2)设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围是____________． 解析：因为A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，又A⊆B， 所以a≤1. {a|a≤1} 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 24 1．(教材P14练习BT1改编)集合{1，3}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：集合{1，3}的子集有∅，{1}，{3}，{1，3}，共4个． A 返回导航 A 返回导航 3．(多选)已知集合M＝{0，1}，则下列式子正确的是(　　　) A．0∈M B．{1}∈M C．∅⊆M D．{0，1}⊆M 解析：因为M＝{0，1}，所以0∈M，1∈M，∅⊆M，{0，1}⊆M，故A，C，D均正确，B错误． ACD 返回导航 4．(2026·日照月考)已知集合A＝{1，2，3}． (1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M; 解：因为M⊆A，3∈M，所以集合M可能为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}． 返回导航 (2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合． 返回导航 课堂小结 1．已学习：子集、真子集的概念与性质、集合相等、空集． 2．须贯通：利用列举法、维恩图及数轴判定两集合的关系，维恩图和数轴都体现了数形结合的数学思想． 3．应注意：(1)混淆子集和真子集的概念； (2)在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意分类讨论． 返回导航       　 　  $