周周练5 均值不等式(范围：2.2.4)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学均值不等式核心知识点，系统覆盖基础最值计算、实际情境应用及综合证明，通过单选、多选、填空、解答题的梯度设计，构建从概念理解到实际问题解决的完整学习支架。 资料特色在于情境化问题设计，如糕点店成本控制、广场造价优化等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。证明题（如第12题不等式证明）与推理题（如第6题参数范围求解）发展数学思维，模型构建题（如第14题造价函数模型）提升数学语言表达能力。课中例题解析详尽辅助教学，课后题型全面助力学生查漏补缺。

周周练5　均值不等式(范围：2.2.4) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a>0，则a＋1＋的最小值为(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 解析：选D.因为a>0，根据均值不等式可得a＋1＋≥2＋1＝5，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立．所以a＋1＋的最小值为5. 2．已知0<x<4，则的最大值为(　　) A． B．1 C． D．3 解析：选D.当0<x<4时，2<6－x<6，所以≤＝3，当且仅当x＝6－x，即x＝3时，等号成立，所以的最大值为3. 3．若(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．2 C．4 D．6 解析：选C.由题意，x－2>0， 而＝＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a＝4. 4．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作x个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为0.25 x天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作(　　) A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 解析：选C.由题设，总成本为400＋，则每个面包的总成本y＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝40时取等号，故为使每个面包的总成本最小，每天应制作40个． 5．已知m>－2，n>1，且m＋n＝3，则·的最大值为(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 解析：选D.由m>－2，n>1，可得m＋2>0，n－1>0且m＋n＝3，得4＝m＋2＋n－1≥2，当且仅当m＋2＝n－1，即m＝0，n＝3时取等号，因此·≤2，所以·的最大值为2. 6．设a>b>c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.因为a>b>c，所以＋≥等价于(a－c)≥n2，(a－c)＝(a－b＋b－c)＝11＋＋≥11＋2＝11＋2，当且仅当＝时，等号成立．故11＋2≥n2，n∈N，则n的最大值是4. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，则(　　) A．＋b< B．a＋2b>1 C．b≤ D．＋≥9 解析：选BCD.已知a>0，b>0，a＋b2＝1，取a＝，b＝，所以＋b＝＋＝，故A错误；因为a>0，b>0，a＋b2＝1，所以b2<1，所以0<b<1，所以b2<2b，所以a＋b2<a＋2b，所以a＋2b>1，故B正确；因为a＋b2＝1≥2＝2b，所以b≤，当且仅当a＝b2，即a＝，b＝时取等号，故C正确；＋＝(a＋b2)＝1＋＋＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故D正确． 8．设正实数a，b满足a＋b＝4，则(　　) A．＋的最小值为2 B．＋的最小值为2 C．的最大值为2 D．a2＋b2的最小值为8 解析：选CD.对于A，因为a>0，b>0，且a＋b＝4， 所以＋＝(a＋b)＝≥ ＝， 当且仅当＝，即a＝8－4，b＝4－4时，等号成立， 所以＋的最小值为，故A错误； 对于B，因为a>0，b>0，且a＋b＝4，所以2≤a＋b＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 所以(＋)2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋4＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 所以0<＋≤2，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，即＋的最大值为2，故B错误； 对于C，因为a>0，b>0，且a＋b＝4，所以≤＝2，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，即的最大值为2，故C正确； 对于D，因为a>0，b>0，且a＋b＝4， 所以ab≤＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥16－2×4＝8， 当且仅当a＝b＝2时，等号成立，即a2＋b2的最小值为8，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知实数x，y，z满足(x＋y)z＝2，则xyz2的最大值为____________． 解析：由(x＋y)z＝2，得xz＋yz＝2，所以xyz2＝xz·yz≤()2＝1， 当且仅当xz＝yz＝1时，等号成立，故xyz2的最大值为1. 答案：1 10．已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为____________． 解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1， 所以＋＝a＋＋b＋＝＋＋1， 又＋＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即a＝b＝2－时，等号成立， 即＋＝＋＋1≥4＋2， 所以＋的最小值为4＋2. 答案：4＋2 11．权方和不等式作为均值不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足＋≥，当且仅当＝时，等号成立，则y＝＋的最小值为________． 解析：由题意得，1－3x>0，0<x<， 所以y＝＋＝＋＝＋≥＝49，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，则y的最小值为49. 答案：49 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝3，求证：＋＋≥3. 证明：因为a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝3， 则＋＋＝(a＋b＋c) ＝ ≥ ＝3， 当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c＝1时，等号成立，所以＋＋≥3. 13．(本小题满分15分)已知x，y>0，且满足x＋y＝6. (1)求＋的最小值；(7分) (2)若x2＋3y2≥m(x＋2y－6)恒成立，求m的取值范围．(8分) 解：(1)＋＝＋－1＝3－1 ＝(x＋y)－1＝－1 ≥－1＝＋， 当且仅当＝，即x＝6(2－)，y＝6(－1)时，等号成立，即＋的最小值为＋. (2)由x>0，y>0，x＋y＝6，得x＝6－y>0， 即0<y<6，x＋2y－6＝(6－y)＋2y－6＝y， 不等式x2＋3y2≥m(x＋2y－6)恒成立，即x2＋3y2≥my恒成立，所以m≤恒成立， ＝＝＝4y＋－12≥2－12＝12. 当且仅当4y＝，即y＝3时，等号成立， 因此当x＝3，y＝3时，取得最小值12，则m≤12， 所以m的取值范围为m≤12. 14． (本小题满分15分)如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2 900元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地面，造价为350元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为W(单位：元)，AD长为x(单位：m). (1)当x＝4 m时，求草坪面积；(7分) (2)当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．(8分) 解：(1)四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为，当x＝4时，＝(m)， 故草坪面积为4××＝(m2). (2)由题意得，0<x<10，花坛的造价为2 900x2元，花岗岩地面的造价为350(100－x2)元，四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为，故草坪的造价为80×4×＝(元)， 故W＝2 900x2＋350(100－x2)＋＝2 560x2＋＋33 000≥2＋33 000＝65 000， 当且仅当2 560x2＝，即x＝时，等号成立， 故x＝时，W最小，最小值为65 000元． 学科网（北京）股份有限公司 $