2.2.4课时2 均值不等式的应用课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦均值不等式的应用，通过知识回顾（均值不等式及变形）导入，结合探究1（和定积最大）、探究2（积定和最小）搭建基础支架，逐步过渡到新题型（常数代换法）及生活应用问题，帮助学生构建从概念到应用的知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过生活实例（矩形围栏问题）引导学生用数学眼光观察现实，借助归纳总结（常数代换法步骤）培养逻辑推理的数学思维，以规范解题步骤（如例1的“1”代换）强化数学语言表达。学生能提升解决实际问题的能力，教师可高效开展分层教学。

2.2.4 课时2均值不等式的应用 第二章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用. 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题. 学习目标 作者编号：32200 均值不等式： 如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立. ①若a>0，b>0，则a+b≥2； ②若a>0，b>0，则ab≤. 均值不等式的常见变形： 知识回顾 … … … 作者编号：32200 探究1：若两个正数的和为12，那么这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 设x＞0，y＞0且x＋y＝12，由均值不等式有xy≤＝36， 当且仅当x＝y＝6时，其积最大. 新知探究 … … … 作者编号：32200 探究2：若两个正数的积为49，那么这两个正数各取何值时，它们的和最小？ 设x＞0，y＞0且xy＝49，由均值不等式有x＋y≥2＝14， 当且仅当x＝y＝7时，其和最小. 新知探究 … … … 作者编号：32200 用均值不等式求最值 大 x＝y 小 x＝y 归纳总结 新知探究 … … … 作者编号：32200 例1 若x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值. 解：∵+=1，x>0，y>0， ∴x+y=(x+y)=10++≥10+2=16， 当且仅当=即x=4，y=12时，等号成立. 即x+y的最小值为16. 新知探究 … … … 作者编号：32200 变式1：若x>0，y>0，x+y=1，求+的最小值. 解：∵x+y=1，x>0，y>0， ∴+=(x+y)=10++≥10+2=16， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立， 即+的最小值为16. 新知探究 … … … 作者编号：32200 变式2：若+=2且x，y＞0，则x+y的最小值是 . 1 8 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用均值不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值. 解：由x+2y+2xy=8，可知y=， 因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x+2y=x+=x+=x+-1=x+1+-2≥2-2=4， 当且仅当x+1=，即x=2时等号成立. 所以x+2y的最小值为4. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用均值不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 已知a，b，c∈R，求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 解：由均值不等式可得a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2， 同理，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2a2c2， 则(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2， 从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例4 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m. 由已知得xy=16， 由，可知x+y≥2=8，∴2(x+y)≥16， 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 新知探究 … … … 作者编号：32200 根据今天所学，回答下列问题： （1）有哪些我们常用的不等式？ （2）均值不等式一边是定值时，另外一边有最大值还是最小值？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 2.已知a,b均为正实数，且a+2b=3ab，则2a+b的最小值为(　　) A.3 B.4 C.6 D.9 3.已知x>0，y>0，且x+4y=1，则xy的最大值为　　　　　.  A A 当堂检测 … … … 作者编号：32200 两个正数的和为常数时，它们的积有最____值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当_______时，积xy有最大值S2 两个正数的积为常数时，它们的和有最_____值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当_______时，和x＋y有最小值2 1.若正实数a,b满足,则ab的最小值为(　　) A.2 B.2 C. D.1 $$