2.2.3 一元二次不等式的解法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦一元二次不等式的解法核心知识点，从已学一元二次方程引入，梳理概念后系统讲解因式分解法和配方法，延伸至含参数不等式及简单分式不等式，结合二次函数与方程关系构建完整学习支架。 资料以问题驱动导入培养数学眼光，通过含参数不等式分类讨论（如例2对a的分类）发展数学思维逻辑性，分式不等式转化整式不等式（如例3）体现数学语言转化。课中例题解析助教师授课，课后训练与习题帮学生查漏补缺。

2．2.3　一元二次不等式的解法 新课导入 学习目标 　　前面我们学习了一元二次方程x2－2x－3＝0的解集，它与一元二次不等式x2－2x－3>0有什么样的关系呢？这节课我们一起研究一下吧． 1.解一元二次不等式的概念． 2．掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法． 3．会解简单的分式不等式． 知识点一　解一元二次不等式 [知识梳理] 1．元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． (2)配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集，如下表： 类别 k>0 k＝0 k<0 (x－h)2 >k 转化为|x－h|>， 解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞) (－∞，h) ∪(h，＋∞) R (x－h)2 <k 转化为|x－h|<， 解集为(h－，h＋) ∅ ∅ 角度1　解不含参数的一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)(对接教材例1)x2－10x－600>0； (2)(对接教材例2)－2x2＋5x－2<0. 【解】　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0， 因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)因为－2x2＋5x－2＝－2 ＝－2＝－2＋， 所以－2＋<0，即>. 所以x－>或x－<－， 解得x>2或x<. 所以原不等式的解集为∪(2，＋∞). 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解． [跟踪训练1] 求下列不等式的解集： (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解：(1)因为4x2－4x＋1＝(2x－1)2， 所以原不等式可化为(2x－1)2>0， 所以不等式的解集为∪. (2)因为原不等式可化为x2－6x＋10<0， x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以原不等式等价于(x－3)2＋1<0， 所以原不等式的解集为∅. 角度2　解含参数的一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式(ax－2)(x＋1)≥0(x∈R，a≥0). 【解】　①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为 (x－)(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤－1}． 母题探究　若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集． 解：当a<0时，原不等式化为(x－)(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为{x|≤x≤－1}； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 解含参数的一元二次不等式的步骤 注意　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． [跟踪训练2] (2026·潍坊月考节选)求关于x的不等式x2＋(a－2)x－2a≤0的解集． 解：由x2＋(a－2)x－2a≤0可得(x＋a)(x－2)≤0， 当－a＝2，即a＝－2时，由(x－2)2≤0知，x＝2； 当－a>2，即a<－2时，解得2≤x≤－a； 当－a<2，即a>－2时，解得－a≤x≤2. 综上，当a<－2时，不等式的解集为{x|2≤x≤－a}； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝2}； 当a>－2时，不等式的解集为{x|－a≤x≤2}． 知识点二　解简单的分式不等式 [例3] (对接教材例3)解下列不等式： (1)≥0；(2)>1. 【解】　(1)原不等式可化为 解得 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为－1>0，即<0， 等价于(3x－2)(4x－3)<0，解得<x<. 所以原不等式的解集为. 简单分式不等式的解法 注意　对于不等号右边不为零的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的分式不等式，然后再用上述方法求解． [跟踪训练3] (1)不等式≥2的解集是(　　) A． B． C．∪(1，3] D．∪(1，3] 解析：选D．≥2⇔ ⇔ 所以原不等式的解集是∪(1，3]. (2)若关于x的不等式ax＋3<0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式<0的解集为______________． 解析：因为关于x的不等式ax＋3<0的解集为(1，＋∞)，所以方程ax＋3＝0的根为1，即a＋3＝0，所以a＝－3，则<0，即<0，即>0，则(x＋2)(x－1)>0，解得x>1或x<－2.所以关于x的不等式<0的解集为{x|x<－2 或x>1}． 答案：{x|x<－2或x>1} 应用点　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 [例4] 若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 【解】　方法一：由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0)，即x2＋x＋1<0， 化简得x2＋5x＋6<0，解得－3<x<－2. 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}． 方法二：由题意得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，，且a<0， 所以－＝＋＝，＝×＝， 由cx2－bx＋a>0得x2－x＋1<0， 即x2＋x＋1<0，即x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2.即不等式cx2－bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－2}． 母题探究　若将本例中“”改为“{x|<x<}”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0， 得ax2＋ax＋a>0(a>0)， 即x2＋x＋1>0，化简得x2＋5x＋6>0， 解得x>－2或x<－3. 所以所求不等式的解集为{x|x>－2，或x<－3}． 已知a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． [跟踪训练4] (2026·日照月考)已知不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为(　　) 解析：选C．因为不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，所以a<0，且即所以y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax－2a＝a(x2－x－2)＝a(x－2)·(x＋1)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，两个零点为x1＝2，x2＝－1. 1．(多选)下列四个不等式， 其中解集为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋6>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1 解析：选BC．A显然不可能；B中，Δ＝(－2)2－4×6＝－4<0，解集为R；C中，Δ＝62－4×10＝－4<0，解集为R；D中，不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能． 2．(2026·长沙月考)不等式≤0的解集是(　　) A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x<3} C．{x|x≤1或x>3} D．{x|1≤x≤3} 解析：选B．≤0可化为解得1≤x<3，所以不等式≤0的解集为{x|1≤x<3}． 3．(2026·重庆月考)已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 解析：选D．由已知得一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0有解，所以k－3≠0，且4－4(k－3)≥0，所以k≤4且k≠3. 4．已知不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1<x<3}，则b＋c＝________． 解析：由题意，－1和3为方程5x2－bx＋c＝0的根， 则解得 所以b＋c＝10－15＝－5. 答案：－5 1．已学习：(1)一元二次不等式的常见解法． (2)简单的分式不等式的解法． 2．须贯通：解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法，结合图象即可写出一元二次不等式的解集；解含参数的一元二次不等式需要分类讨论． 3．应注意：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准． 学科网（北京）股份有限公司 $