周周练2 常用逻辑用语(范围：1.2)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

周周练2　常用逻辑用语(范围：1.2) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．下列语句为命题的是(　　) A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C．x≥2 D．x2－2x－3<0 解析：选B.因为命题是能判断真假的陈述句，选项A，C，D不能判断真假，选项B可以判断真假． 2．命题“∀x>－1，使得x2≤1”的否定是(　　) A．∃x>－1，使得x2>1 B．∀x<－1，使得x2≥1 C．∀x<－1，使得x2≤1 D．∃x>－1，使得x2≤1 解析：选A.命题“∀x>－1，使得x2≤1”的否定是“∃x>－1，使得x2>1”． 3．若α：{2}B⊆{2，3，4}，β：B＝{2，3，4}，则α是β的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由{2}B⊆{2，3，4}可得B＝{2，3}，{2，4}，{2，3，4}，又β：B＝{2，3，4}，所以α是β的必要不充分条件． 4．若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A．{x|x<3} B．{x|x<－1} C．{x|0<x<3} D．{x|x>3} 解析：选B.因为∃x∈M，x>3为假命题，所以∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆{x|x≤3}， 又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆{x|x<0}，综上M⊆{x|x<0}，只有B符合题意． 5．“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是(　　) A．m≥1 B．m<1 C．m≥0 D．m≥2 解析：选D.“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的充要条件为Δ＝(－2)2－4m≤0，解得m≥1， 结合选项可知，m≥2是m≥1的充分不必要条件． 6．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，都有x－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2x0＋2－a＝0，若p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤－2} B．{a|a≤1} C．{a|a≤－2或a＝1} D．{a|a<1或a>1} 解析：选D.若p为真命题，则a≤xmin，又x∈{x|1≤x≤2}，所以xmin＝1，所以a≤1， 若q为真命题，则x＋2x0＋2－a＝0有解，所以Δ＝22－4×1×(2－a)≥0，解得a≥1， 所以当p与q全为真命题时，实数a的取值范围是{1}， 又p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是{a|a<1或a>1}． 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．下列说法正确的是(　　) A．若p：∃x∈R，x2＋1>2x，则¬p：∀x∈R，x2＋1<2x B．若p：∀x，y∈R，x2＋y2≥0，则¬p：∃x，y∈R，x2＋y2<0 C．∃x∈R，<x＋1为真命题 D．∀x∈R，x3>0为真命题 解析：选BC.对于A，命题p：∃x∈R，x2＋1>2x的否定是¬p：∀x∈R，x2＋1≤2x，故A错误；对于B，命题p：∀x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是¬p：∃x，y∈R，x2＋y2<0，故B正确；对于C，∃x∈R，<x＋1，例如x＝1时成立，故C正确；对于D，∀x∈R，x3>0，当x≤0时，x3≤0，因此x3>0对任意x∈R不成立，故D错误． 8．下列结论中正确的是(　　) A．“xy>0”是“>0”的充要条件 B．设a，b，c∈R，则“b2－4ac<0”是“函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方”的充分不必要条件 C．设a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件 D．“函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件 解析：选AD.对于A，由xy>0，得x，y同号，故>0，反之由>0，得x，y同号，故xy>0，所以“xy>0”是“>0”的充要条件，故A正确；对于B，b2－4ac<0且a>0时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方，函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方时，必有b2－4ac<0，故“b2－4ac<0”是“函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方”的必要不充分条件，故B错误；对于C，当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0成立，反之(a－1)(a－2)＝0时，a＝2不一定成立，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，故C错误；对于D，函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，则a＋b＋c＝0，反之也成立，故“函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．命题“∃x∈{x|1≤x≤4}，λx2＋x－2>0”的否定是____________． 答案：∀x∈{x|1≤x≤4}，λx2＋x－2≤0 10．已知命题p：2<x<3，命题q：2x－a<2，若命题¬q是命题¬p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________． 解析：由2x－a<2，可得x<， 由于命题¬q是命题¬p的充分不必要条件，故命题p是命题q的充分不必要条件， 故{x|2<x<3}，所以≥3，解得a≥4， 即实数a的取值范围是{a|a≥4}． 答案：{a|a≥4} 11．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是____________． 解析：因为命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，所以∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，所以方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 答案：{a|a≤4} 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a＝0，a∈R}． (1)若2∈A，求实数a的值；(6分) (2)若命题p：∃x∈A，2x2－ax＋a＝0为真命题，求实数a的值．(7分) 解：(1)因为2∈A，所以22－2a＋a＝0，解得a＝4. (2)因为命题p：∃x∈A，2x2－ax＋a＝0为真命题， 所以方程组有公共解，解得 当a＝0时，经检验，符合题意，故实数a的值为0. 13．(本小题满分15分)已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，q：a≤m或a≥m＋3. (1)若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；(7分) (2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)因为命题¬p是真命题，所以命题p是假命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数根． 当a＝0时，方程有解，不符合题意； 当a≠0时，Δ＝4－4a<0，解得a>1. 故实数a的取值范围是a>1. (2)由(1)知若命题p是真命题，则a≤1， 因为命题p是命题q的充分不必要条件，所以{a|a≤1}{a|a≤m或a≥m＋3}， 则有m≥1，所以实数m的取值范围是m≥1. 14．(本小题满分15分)设集合A是一个点集，对A定义一个新运算⊗，若集合A中的元素m与n满足m＝(a，b)，n＝(c，d)，则m⊗n＝(a×(c＋d)，b＋d). (1)求(2，1)⊗(3，2)；(7分) (2)已知α∈A，若“α＝(x，y)”是“对于任意元素β，β⊗α＝β都成立”的充要条件，求α.(8分) 解：(1)(2，1)⊗(3，2)＝(2×(3＋2)，1＋2)＝(10，3). (2)设β＝(p，q)，由必要性可知， 若β⊗α＝β，则(p(x＋y)，q＋y)＝(p，q)， 即则y＝0， 若p＝0，则x∈R，α＝(x，0)； 若p≠0，则x＝1，y＝0，α＝(1，0). 由充分性可知， 若α＝(x，0)，则满足β⊗α＝β的只能是β＝(0，q)，不符合任意性； 若α＝(1，0)，此时β⊗α＝β，即为(p(1＋0)，q＋0)＝(p，q)恒成立． 综上，α＝(1，0). 学科网（北京）股份有限公司 $