第1章 1.2.3 第2课时 充要条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“充要条件”核心知识点，前承充分条件与必要条件，系统讲解充要条件的概念、判断方法（定义法、集合法等）、证明及应用，构建完整知识支架。 该资料以“人不犯我”生活实例导入，培养数学眼光，通过问题链与三角形全等、一元二次方程等例题引导推理，发展数学思维，结合集合法等数学语言表达，跟踪训练与课后练习助力巩固，课中提升教学效率，课后帮助学生查漏补缺。

第2课时　充要条件 学习目标　1.理解充要条件的概念.2.能够判定条件的充分、必要、充要性.3.会进行简单的充要条件的证明. 导语 同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”，像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上也有很多，让我们一探究竟吧！ 一、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 提示　首先，原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题的真假性，原命题为真，逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件. 知识梳理 1.一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件. 2.如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 3.如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q. 4.如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件. 注意点： (1)判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 记法 A={x|p(x)}，B={x|q(x)} 关系 AB BA A=B A⊈B且B⊈A 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 例1　在下列各题中，试判断p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：x，y∈Q，q：xy∈Q； (2)p：x≥-2，q：-1<x<1； (3)p：a+5是无理数，q：a是无理数； (4)若a，b∈R，p：a2+b2=0，q：a=b=0； (5)p：|a|>|b|，q：a>b. 解　(1)因为x，y∈Q ⇒xy∈Q，而xy∈Qx，y∈Q，如：当x=y=时，满足xy=2∈Q，而x，y∉Q， 所以p是q的充分不必要条件. (2)设A={x|x≥-2}，B={x|-1<x<1}， 因为BA，所以p是q的必要不充分条件. (3)因为a+5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a+5是无理数，所以p是q的充要条件. (4)因为a2+b2=0⇒a=b=0，并且a=b=0⇒a2+b2=0，所以p是q的充要条件. (5)因为当a=-5，b=1时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以pq.当a=1，b=-2时，a>b成立，但是|a|<|b|，所以qp.所以p是q的既不充分也不必要条件. 反思感悟　判断充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 跟踪训练1　指出下列各题中，p是q的什么条件. (1)p：q： (2)p：x≠0，q：x+|x|>0； (3)p：点M(1-a，2a+6)在第四象限，q：a<1； (4)p：a>0且b>0，q：a+b>0且ab>0； (5)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形. 解　(1)由根据不等式的性质可得即p⇒q， 而由不能推出 如α=1，β=5，满足但不满足α>2. 所以p是q的充分不必要条件. (2)因为由x≠0推不出x+|x|>0， 如x=-1≠0， 但是x+|x|=0，所以pq，由x+|x|>0可得x>0， 可推出x≠0，所以q⇒p，所以p是q的必要不充分条件. (3)因为点M(1-a，2a+6)在第四象限， 所以解得a<-3. 因为(-∞，-3)(-∞，1)，所以p⇒q，qp， 所以p是q的充分不必要条件. (4)由a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0，并且由a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p是q的充要条件. (5)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件. 二、充要条件的证明 例2　(课本例3)在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件. 解　因为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B=∠C⇒AC=AB； 又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB⇒∠B=∠C. 从而∠B=∠C⇔AC=AB，因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件. 例2　设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，求证：关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°. 证明　①充分性： 因为∠A=90°，所以a2=b2+c2， 所以x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0. 即(x+a)2-c2=0，(x+a+c)(x+a-c)=0， 所以x=-a-c或x=-a+c. 同理，x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0， 即(x+c)2-a2=0，(x+a+c)(x+c-a)=0， 所以x=-a-c或x=a-c. 所以两个方程有公共根-a-c. ②必要性： 设两个方程有公共根α， 则α2+2aα+b2=0，α2+2cα-b2=0， 两式相加，得α2+(a+c)α=0， 所以α=0或α=-a-c. 若α=0，代入任一方程，得b=0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾， 所以α=-a-c，代入任一方程，均可得a2=b2+c2，所以∠A=90°. 综上所述，关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°. 反思感悟　充要条件的证明思路 一般地，证明“p成立的充要条件为q”： (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p. (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. 三、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的应用 例3　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}， 故有或解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 延伸探究1　(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 所以{x|-2≤x≤10}{x|1-m≤x≤1+m}. 所以或 解得m≥9， 即实数m的取值范围是m≥9. 延伸探究2　(变结论)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解　因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)， 若p是q的充要条件，则无解， 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 反思感悟　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 跟踪训练2　已知p：{x|-1<x<3}，q：{x|-1<x<m+1}，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  答案　(2，+∞) 解析　因为q是p的必要不充分条件，所以{x|-1<x<3}{x|-1<x<m+1}，所以m+1>3，解得m>2，即实数m的取值范围是(2，+∞). 1.知识清单： (1)充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断. (2)充要条件的证明. (3)充要条件的探求. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：条件和结论辨别不清. 1.设A，B，C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是“B=C”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由A∩B=A∩C，不一定有B=C， 反之，由B=C，一定可得A∩B=A∩C. 则“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要不充分条件. 2.设p：|x|≤3，q：-4<x<5，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由题设，p：-3≤x≤3，q：-4<x<5，所以p⇒q但qp，所以p是q的充分不必要条件. 3.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.  答案　m=-2 解析　函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；反之，若m=-2， 则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称. 4.已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　.  答案　{k|k<-2} 解析　p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3， 设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 所以2k-1<-5，解得k<-2. 所以实数k的取值范围是{k|k<-2}. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知p：x≤-1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由{x|x>5}是{x|x≤-1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件. 2.若x，y∈R，则“x2+y2≤1”是“x≤1，y≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为若x，y∈R，x2+y2≤1，则可得x≤1，y≤1，所以充分性成立.当x≤1，y≤1时，x2+y2≤1不一定成立，如当x=-2，y=0时，x2+y2>1，所以必要性不成立. 3.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a-b)>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a-b)>0，比如当a<b<0时，ab(a-b)<0；反之，若ab(a-b)>0，则a-b和ab同号，当a>b>0时，满足ab(a-b)>0，当b<a<0时，也满足ab(a-b)>0，故不能确定a和b的正负.故“a<0，且b<0”是“ab(a-b)>0”的既不充分也不必要条件. 4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2} C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤1} 答案　C 解析　因为p是q的充分不必要条件， 所以 解得0<a<1.所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}. 5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　) 答案　C 解析　对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件. 6.(多选)已知集合A={x|-1<x<3}，B={x|x<m+1}，则A∩B=∅的一个充分不必要条件可以是(　　) A.m≤-2 B.m<-2 C.m<2 D.-4<m<-3 答案　BD 解析　设A∩B=∅的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B=∅时，m+1≤-1，解得m≤-2，所以C(-∞，-2]，因此B，D满足条件. 7.(5分)“x<0”是“|x|=-x”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  答案　充分不必要 解析　因为|x|=-x⇔x≤0，{x|x<0}{x|x≤0}，由此可知“x<0”是“|x|=-x”的充分不必要条件. 8.(5分)若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(-∞，-3) 解析　若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件，则[-3，2)是(k，+∞)的真子集，故k<-3，即实数k的取值范围是(-∞，-3). 9.(10分)设a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c. 证明　必要性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca， 则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0， 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0， 所以a-b=0，b-c=0，c-a=0. 即a=b=c； 充分性：若a=b=c， 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0， 所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0， 所以a2+b2+c2=ab+bc+ca， 综上可知，a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c. 10.(11分)已知p：x-2>0，q：ax-4>0，其中a∈R. (1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(5分) (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)设p：A={x|x-2>0}，即p：A={x|x>2}，q：B={x|ax-4>0}， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB， 即解得a>2， 所以实数a的取值范围为a>2. (2)由(1)得p：A={x|x>2}， q：B={x|ax-4>0}， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA， ①当a=0时，B=∅，满足题意； ②当a>0时，由BA，得>2，即0<a<2； ③当a<0时，显然不满足题意. 综合①②③得，实数a的取值范围为0≤a<2. 11.下列命题正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件 B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件 C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件 D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件 答案　D 解析　由x>5⇒x>3，由x>3x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；当a=b=0时，a+b=0，但不存在，所以“a+b=0”不是“=-1”的充分条件，故B错误；当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；由A∪B=B得A⊆B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A⊆B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D正确. 12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2， 若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4， 所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件. 13.(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A.A∩B=A B.(∁UA)∩B=∅ C.∁UA⊆∁UB D.A∪(∁UB)=U 答案　BCD 解析　A项，A∩B=A⇒A⊆B，故A错误； 由维恩图(图略)，知B，C，D正确. 14.(5分)已知集合A={x|x2-4=0}，B={x|ax-2=0}，B≠∅，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为　　　　　　　　　.  答案　{-1，1} 解析　依题意，A={x|x2-4=0}={2，-2}，若a=0，则B=∅，不符合题意.当a≠0时，B=由于x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以=2或=-2，解得a=1或a=-1.综上所述，实数a的所有可能取值构成的集合为{-1，1}. 15.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l=max·min则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当△ABC是等边三角形时，a=b=c， ∴l=max·min=1×1=1. ∴“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件. ∵a≤b≤c，∴max=. 又∵l=1，∴min= 即=或= 得b=c或b=a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件. 综上，“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件. 16.(12分)已知a，b是正实数，求证：++2=的充要条件是a+b=1. 证明　必要性：若++2= 则= 即a2+a+b2+b+2ab=2， 即(a+b)2+(a+b)-2=0， 即(a+b-1)(a+b+2)=0， 因为a，b是正实数， 所以a+b+2>0，所以a+b-1=0， 即a+b=1. 充分性：若a+b=1， 则++2= == ==. 故++2=的充要条件是a+b=1. 学科网（北京）股份有限公司 $