第1章 培优点1 集合中元素个数与容斥原理-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学中集合元素个数与容斥原理核心知识点，先定义有限集合元素个数card(A)，再依次呈现二元容斥原理（card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)）和三元容斥原理，构建从基础定义到多元应用的学习支架。 该资料以现实情境问题为特色，典例“竞赛代表队擅长科目”和尝试训练“体育项目喜欢情况”引导学生用数学眼光抽象集合模型，通过逻辑推理（如设集合、列方程计算）培养数学思维，用符号语言表达数量关系提升数学语言能力。课中助力教师直观讲解原理，课后学生可通过练习巩固，查漏补缺。

　集合中元素个数与容斥原理 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中的元素个数记为card(A)＝n. 关于集合中的元素个数有下面的关系(也称容斥原理)： 二元容斥原理card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)； 三元容斥原理card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C). [典例] 为提升学生学习双语的热情，某教学联盟计划举行“语文情境默写”“英语读后续写”两项竞赛，某校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 【解析】　设擅长语文的同学构成集合A，擅长英语的同学构成集合B，20人代表队构成全集U， 则card(A)＝10，card(B)＝12， card(A∩B)＝5，card(U)＝20， 所以card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝10＋12－5＝17， 所以card(∁U(A∪B))＝20－17＝3， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为3. 【答案】　C [尝试训练] 小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为________． 解析：设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为a，b，c，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为x，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为y， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为z，如图， 则 后三个方程相加得2(a＋b＋c)＋x＋y＋z＝54，与第一个方程消去a＋b＋c得x＋y＋z＝26， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为26＋20＝46. 答案：46 学科网（北京）股份有限公司 $