1.2.3 第2课时 充要条件-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦充要条件核心知识点，系统梳理充分不必要、必要不充分、充要条件的定义，通过定义法、集合法等判断方法，结合充要条件证明（分充分性与必要性）及参数范围应用，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 该资料以生活化故事（老张请客）导入激发兴趣，通过典型例题（如方程根与系数关系证明）和跟踪训练，培养数学思维（推理能力），用集合语言精准表达条件关系，课中辅助教师逻辑教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移。

第2课时　充要条件 新课导入 学习目标 　　老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻，又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我们这节将要讲的知识哦． 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义． 2．会判断一些简单的充要条件问题． 3．能对充要条件进行证明． 知识点一　充分不必要、必要不充分与充要条件的判断 [知识梳理] 1．一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 2．一般地，如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 3．一般地，如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件，简称为充要条件，记作p⇔q． [例1] 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数，q：a是正数． 【解】　(1)因为正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形， 所以p是q的充分不必要条件． (2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 所以p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y， 又p：x＋2≠y，故p是q的充分不必要条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故pq； 又是正数，但不是自然数，故q p. 故p是q的既不充分也不必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． [跟踪训练1] 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件． (1)p：ab＝0，q：a＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； (3)p：|x|>3，q：x2>9. 解：(1)因为ab＝0a＝0，而a＝0⇒ab＝0，所以p是q的必要不充分条件． (2)因为四边形的对角线相等四边形是正方形，而四边形是正方形⇒四边形的对角线相等，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为|x|>3⇔x2>9，所以p是q的充要条件． 知识点二　充要条件的证明 [例2] 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【证明】　①充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. ②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 由①②可得，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行证明，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的． 注意　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向． [跟踪训练2] 求证：a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件． 证明：方法一：先证充分性：因为a＝b， 所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2，又2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab. 再证必要性：因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b. 综上可知，a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件． 方法二：因为a＝b⇔a－b＝0⇔(a－b)2＝0⇔a2＋b2－2ab＝0⇔a2＋b2＝2ab，所以a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件． 应用点　充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的应用 [例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】　因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3]. 母题探究　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由如下： 若p是q的充要条件，则方程组无解． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 根据充分、必要、充要条件求参数 的取值范围的步骤 (1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}． (2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系：若p是q的充分不必要条件，则MN；若p是q的必要不充分条件，则NM；若p是q的充要条件，则M＝N. (3)根据集合间的关系列关于参数的不等式(组). (4)解不等式(组)即可得参数的取值范围． [跟踪训练3] 已知p：x<a2－2a－1，q：x<a2＋5. (1)若p是q的充要条件，求a的值； (2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围． 解：(1)因为p是q的充要条件， 所以a2－2a－1＝a2＋5，解得a＝－3. (2)因为p是q的充分不必要条件， 所以{x|x<a2－2a－1}{x|x<a2＋5}， 即a2－2a－1<a2＋5，解得a>－3， 所以a的取值范围是{a|a>－3}． 1．“x＝2”是“x2－4＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．将x＝2代入x2－4＝0，等式成立，所以“x＝2”是“x2－4＝0”的充分条件；由x2－4＝0，得到x＝±2，故“x＝2”不是“x2－4＝0”的必要条件．综上，“x＝2”是“x2－4＝0”的充分不必要条件．故选A． 2．(2026·北京月考)二次函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝－1对称的充要条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 解析：选B．因为函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－，则－＝－1，即m＝2. 3．从符号“⇒”“”“⇔”中选择适当的一个填空： (1)x2＞1________x＞1； (2)a，b都是偶数________a＋b是偶数； (3)x2＝1________|x|＝1. 解析：(1)由x2＞1可得x＞1或x＜－1，故推不出x＞1，所以x2＞1 x＞1. (2)a，b都是偶数，则a＋b是偶数；但a＋b是偶数得不出a，b都是偶数，所以a，b都是偶数⇒a＋b是偶数． (3)由x2＝1可得x＝±1，由|x|＝1可得x＝±1，所以x2＝1⇔|x|＝1. 答案：(1) 　(2)⇒　(3)⇔ 4．(教材P37习题1－2BT1(1)改编)求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)， 当x＝0时，y＝0，该函数的图象过原点． 必要性：如果y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 那么当x＝0时，y＝0，即0＝k×0＋b，即b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 1．已学习：充要条件概念的理解、充要条件的证明． 2．须贯通：根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件求参数问题的关键是将问题转化为两个集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)求解． 3．应注意：搞不清充分性与必要性的判断方向． 学科网（北京）股份有限公司 $