1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件、必要条件”核心知识点，基于命题真假判断，通过定义（p⇒q时p是q的充分条件、q是p的必要条件）、集合关系（A⊆B则p(x)是q(x)的充分条件）及与判定定理、性质定理的联系构建学习支架，为后续充要条件学习奠基。 该资料以古语“有之则必然”和电路图问题导入，引导学生用数学眼光观察逻辑关系，通过定义法、集合法（如例1用集合包含判断充分条件）培养数学思维，结合几何、代数例题（如例3求参数范围）用数学语言表达逻辑。课中助教师清晰授课，课后学生可借跟踪训练巩固判断方法，查漏补缺提升应用能力。

1．2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件 新课导入 学习目标 　　“有之则必然，无之则未必不然”“无之则必不然，有之则未必然”，这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容． 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义． 2．理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题． 知识点　充分条件与必要条件的判断 有如图所示的电路图． 思考1　哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？ 提示：图1. 思考2　哪一个电路图可以说明，当q灯亮时，p开关一定闭合呢？ 提示：图2. [知识梳理] 1．定义：若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”．当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 2．用集合知识理解充分条件与必要条件 一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B(如图所示)，那么 p(x)⇒q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件． 3．充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系 (1)判定定理实际上是给出了一个充分条件； (2)性质定理实际上是给出了一个必要条件． 角度1　充分条件的判断 [例1] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a，b为无理数，则ab为无理数； (2)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； (3)若x>1，则x>2； (4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB. 【解】　(1)，2为无理数，但×2＝4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件． (2)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC，因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)方法一：由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件． 方法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，则BA，所以p不是q的充分条件． (4)由线段垂直平分线的性质知，p⇒q，p是q的充分条件． 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q的问题． (2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，由p构成的集合为A，由q构成的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件． 角度2　必要条件的判断 [例2] 判断下列各题中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：2a>1，q：a>1. 【解】　(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． (2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为2a>1，即a>，p q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)可利用集合间的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． [跟踪训练1] (1)(2026·德州月考)使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 解析：选A．因为x>4⇒x>3，所以x>4是x>3成立的一个充分条件． (2)(多选)(2026·东营月考)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 解析：选BCD．对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0，即a≤1，显然能推出a<2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意． 应用点　充分条件与必要条件的应用 [例3] 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解】　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B，所以解得－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是. 母题探究　将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解：p：－a＜x＜3a，即集合A＝{x |－a＜x＜3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3} 因为q⇒p，所以B⊆A，所以 所以实数a的取值范围是(2，＋∞). 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [跟踪训练2] 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}，且p：x∈A，q：x∈B. (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围． 解：由已知可得A＝＝， B＝{x|x≥－2m}． (1)若p是q的充分条件，则p⇒q，所以A⊆B， 所以－2m≤－，所以m≥， 即实数m的取值范围是. (2)若p是q的必要条件，则q⇒p，所以B⊆A， 所以－2m≥－，解得m≤. 即实数m的取值范围是. 1．(教材P36T3(3)改编)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分条件也是必要条件 解析：选A．当a＝1时，|a|＝1成立，但当|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件． 2．(多选)使ab>0成立的充分条件是(　　) A．a>0，b>0 B．a＋b>0 C．a<0，b<0 D．a>1，b>1 解析：选ACD．要使ab>0成立，只需保证a，b同号即可，结合选项可知A，C，D符合条件． 3．(教材P36练习BT2(3)改编)已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的______________条件．(用“充分”或“必要”填空) 解析：由图可知，p是q的充分条件． 答案：充分 4．(2026·日照月考)若“x＝2”是“m2x2－(m＋3)x＋4＝0”的充分条件，则实数m的值为__________． 解析：依题意，可得m2×22－(m＋3)×2＋4＝4m2－2m－2＝2(m－1)(2m＋1)＝0，解得m＝1或m＝－. 答案：1或－ 1．已学习：充分条件、必要条件的概念及应用． 2．须贯通：充分、必要条件的判断方法有定义法、集合法、等价转化法等． 3．应注意：(1)充分条件、必要条件不唯一； (2)忽略求参数范围时能否取到端点值． 学科网（北京）股份有限公司 $