1.1.3 第1课时 交集与并集-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算之交集与并集，承接集合的概念与关系，通过实例引入，系统梳理交集、并集的定义、符号语言、性质及运算方法，为后续补集学习搭建基础。 以运动会报名情境导入激发兴趣，结合具体集合实例引导思考培养数学眼光，利用维恩图、数轴等图形辅助理解提升数学语言表达能力，例题与跟踪训练分层设计强化数学思维中的推理与运算能力。课中辅助教师直观授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

1．1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 新课导入 学习目标 学校举行秋季运动会，高一(1)班的同学们积极踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米……，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题． 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集. 2．能使用维恩图或数轴表达集合的关系及运算． 知识点一　交集 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，D＝{2}，E＝{3}，回答下面的问题． 思考1　集合A与集合B有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？ 提示：有公共元素，组成的集合是{2，3}． 思考2　集合C，D，E中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：既属于A，又属于B. 思考3　集合C与集合D，E有什么区别？ 提示：集合C中的元素是由既属于A，又属于B的所有元素组成的，集合D，E中的元素是由既属于A，又属于B的其中一个元素组成的． [知识梳理] 1．交集的概念 (1)自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交 B”). (2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}． (3)图形语言：如图所示． (4)我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解． 2．交集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： ①A∩B＝B∩A； ②A∩A＝A； ③A∩∅＝∅∩A＝∅； ④如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立． [例1] (1)(对接教材例2)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝________. (2)(对接教材例1)设集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N＝________． 【解析】　(1)A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}． (2)因为M＝{x|0＜x＜4}，N＝，画出数轴如图所示． 所以M∩N＝. 【答案】　(1){x|x是等腰直角三角形}　(2) 求集合A∩B的常用方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [跟踪训练1] (1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} 解析：选A．由题易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}． (2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝(　　) A．{2，1} B．{x＝2，y＝1} C．{(2，1)} D．(2，1) 解析：选C．A∩B＝＝{(2，1)}． 知识点二　并集 请同学们观察下列三组集合： ①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}； ②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，C＝{x|x是整数}； ③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}． 思考1　集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？ 提示：集合C中的元素由所有属于A或属于B的元素组成． 思考2　①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中呢？ 提示：①中等于，③中不等于． [知识梳理] 1．并集的概念 (1)自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”). (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． (3)图形语言：如图所示． (4)我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解． 2．并集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： ①A∪B＝B∪A； ②A∪A＝A； ③A∪∅＝∅∪A＝A； ④如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立． 点拨　(1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A 且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． [例2] (1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} (2)(对接教材例3)已知集合P＝(－∞，3)，Q＝[－1，4]，那么P∪Q＝(　　) A．[－1，3) B．[－1，4] C．(－∞，4] D．[－1，＋∞) 【解析】　(1)由题意得，A∪B＝{1，2，3，4}． (2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝(－∞，4]. 【答案】　(1)A　(2)C 求集合M∪N的常用方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [跟踪训练2] (1)(多选)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．(－∞，－5)∪(－3，＋∞) D．(－5，5) 解析：选AC．在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}＝(－∞，－5)∪(－3，＋∞). (2)已知集合A∪{1}＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有________个． 解析：若A∪{1}＝{1，2，3}，则A＝{2，3}或A＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有2个． 答案：2 应用点　由集合的交集、并集求参数 [例3] 已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a，且a>0}． (1)若A∪B＝B，求实数a的取值范围； (2)若A∩B＝{x|3<x<4}，求实数a的值． 【解】　(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，画出数轴(如图).　 观察数轴可知所以≤a≤2. 经检验端点符合题意，故实数a的取值范围为. (2)画出数轴如图，A∩B＝{x|3<x<4}． 观察图形可知解得a＝3. 母题探究　在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x|3<x<4}”变为“A∩B＝∅”，求实数a的取值范围． 解：由于A∩B＝∅，结合数轴(图略)得a≥4，或3a≤2.又因为a>0，所以a≥4或0<a≤. 故实数a的取值范围是∪. 利用集合间的关系求参数的一般步骤 (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集． (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． [跟踪训练3] (1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝(　　) A．{0，2} B．{0，5} C．{0，2，2，5} D．{0，2，5} 解析：选D．因为A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}， 所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}．故选D． (2)(2026·潍坊月考)已知集合A＝{x|x≥a，或x≤a－2}，B＝{x|0<x<2}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围为________． 解析：因为A∩B＝B，所以B⊆A，于是有a≤0或2≤a－2，即a≤0或a≥4， 因此实数a的取值范围为{a|a≤0，或a≥4}． 答案：{a|a≤0，或a≥4} 1．已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B．由题意，A∩B＝{5，7，11}，故A∩B中元素的个数为3. 2．(多选)已知集合A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选BCD．由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，可能在第二、三、四象限． 3．(2026·东营月考)已知集合A＝{x∈N＋|x＜6}，B＝{1，2}，C＝{x|x2－5x＋6＝0}，则A∩(B∪C)＝________． 解析：由题意得，集合A＝{x∈N＋|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，C＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 因为B＝{1，2}，可得B∪C＝{1，2，3}， 所以A∩(B∪C)＝{1，2，3}． 答案：{1，2，3} 4．已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，3，2，9}，则实数a的值为________． 解析：由题意得a2＝9，解得a＝±3. 答案：±3 1．已学习：并集、交集的概念及运算，根据集合间的运算求参数范围． 2．须贯通：集合的交集、并集的运算，常借助于维恩图、数轴等工具来直观显示集合间的关系，如含有参数，则注意分类讨论，不重不漏． 3．应注意：(1)利用集合关系求参数时切莫遗忘空集； (2)无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $