1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦全称量词命题与存在量词命题的否定核心知识点，先通过命题的否定定义及真假关系搭建基础，再系统梳理含一个量词的命题否定形式变化规律，形成从一般命题否定到特殊量词命题否定的递进学习支架。 该资料以生活实例“否定精神”导入引发思考，培养数学眼光，通过表格对比全称与存在量词命题否定形式，结合分层例题与跟踪训练发展数学思维，强调符号化表达提升数学语言能力。课中助力教师分层教学，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺。

1．2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 新课导入 学习目标 　　“否定”是我们生活中经常使用的一个词，某文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要，一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思． 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点一　命题的否定 [知识梳理] 1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题p与¬p的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然． [即时练] 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：y＝2x是一次函数； (2)p：菱形的对角线垂直平分； (3)q：＝－2； (4)r：抛物线y＝(x－1)2的顶点是(1，0)； (5)p：若实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0. 解：(1)¬p：y＝2x不是一次函数，是假命题． (2)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分，是假命题． (3)¬q：≠－2，是真命题． (4)¬r：抛物线y＝(x－1)2的顶点不是(1，0)，是假命题． (5)¬p：若实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c都不为0，是假命题． ¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确否定是得出¬p的关键． 知识点二　全称量词命题与存在量词命题的否定 [知识梳理] 命题 命题的否定 结论 全称量词命题∀x∈M，q(x) ∃x∈M，¬q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 角度1　全称量词命题的否定 [例1] (对接教材例1)写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； (3)可以被5整除的整数，末位是0. 【解】　(1)该命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行． (2)该命题的否定：∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根． (3)该命题的否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题：∀x∈M，q(x)，它的否定：∃x∈M，¬q(x). (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． [跟踪训练1] (1)命题“∀x∈R，x2－3x＋1＞0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－3x＋1≤0 B．∃x∈R，x2－3x＋1≥0 C．∀x∈R，x2－3x＋1＜0 D．∀x∈R，x2－3x＋1≤0 解析：选A．∀x∈R，x2－3x＋1＞0的否定为：∃x∈R，x2－3x＋1≤0.故选A． (2)写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假． ①所有自然数的平方都是正数； ②正方形的对角线相等． 解：①该命题的否定是“有的自然数的平方不是正数”，为真命题． ②该命题的否定是“有的正方形的对角线不相等”，为假命题． 角度2　存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 【解】　(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． (2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． (3)该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等． [跟踪训练2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断原命题及其否定的真假． (1)∃x∈R，x2＋5≤0； (2)有一个奇数不能被3整除； 解：(1)原命题的否定是“∀x∈R，x2＋5＞0”， 原命题为假命题，其否定为真命题． (2)原命题的否定是“每一个奇数都能被3整除”． 原命题为真命题，其否定为假命题． 应用点　全称量词命题、存在量词命题否定的应用 [例3] 已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 【解】　因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实根．所以a＝0或 解得a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围为{a|a≤1}． 母题探究　将本例中的条件“ax2＋2x＋1≠0”改为“2x≠－x2＋a”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：因为命题“∀x∈R，2x≠－x2＋a”是假命题，所以此命题的否定“∃x∈R，2x＝－x2＋a”是真命题，即x2＋2x－a＝0有实根，所以Δ＝4＋4a≥0，则a≥－1， 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 由命题真假求参数范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围． [跟踪训练3] 已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x－1＝0为假命题，实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设非空集合B＝{x|3m<x<m＋2}，若∀x∈B，x∈A为真命题，求实数m的取值集合． 解：(1)由命题p：∃x∈R，ax2＋2x－1＝0为假命题，得¬p：∀x∈R，ax2＋2x－1≠0为真命题， 当a＝0时，x≠，不符合题意； 当a≠0时，Δ＝4＋4a<0，解得a<－1， 综上，实数a的取值集合A＝{a|a<－1}． (2)若∀x∈B，x∈A为真命题，得B⊆A， 又因为B≠∅，所以3m<m＋2≤－1，解得m≤－3， 所以实数m的取值集合为{m|m≤－3}． 1．(2026·安阳联考)已知命题p：∃a，b∈R，使得a2<b2成立，则下列说法正确的是(　　) A．¬p：∀a，b∈R，a2>b2，为假命题 B．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为假命题 C．¬p：∀a，b∈R，a2>b2，为真命题 D．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为真命题 解析：选B．已知命题p是真命题，则¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为假命题． 2．命题“小数都是无理数”的否定为(　　) A．所有小数都不是无理数 B．有些小数是无理数 C．有些小数不是无理数 D．所有小数都是无理数 答案：C 3．(教材P31练习AT3改编)命题p：∀x∈R，x2－2x－3≥0的否定¬p是____________，¬p是一个________命题．(填“真”或“假”) 解析：命题p是一个全称量词命题，其否定形式为“∃x∈R，x2－2x－3＜0”．因为Δ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0，所以x2－2x－3＜0有解，故为真命题． 答案：∃x∈R，x2－2x－3＜0　真 4．若命题“∃x∈R，4x2－2x＋m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为____________． 解析：因为“∃x∈R，4x2－2x＋m＝0”为假命题， 所以“∀x∈R，4x2－2x＋m≠0”为真命题， 即方程4x2－2x＋m＝0没有实数根，所以4－16m<0，故m>. 答案：m> 1．已学习：全称量词命题、存在量词命题的否定及命题真假的判断． 2．须贯通：利用p与¬p的真假性相反的规律，巧妙解决参数问题，可避免繁杂的运算与讨论． 3．应注意：(1)含量词命题否定时，除了否定结论，还应改变量词； (2)全称量词“都是”的否定是“不都是”． 学科网（北京）股份有限公司 $