1.2.3 充分条件、必要条件（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“充分条件、必要条件”核心知识点，从命题真假与推出关系切入，明确p⇒q时p是q的充分条件、q是p的必要条件，p⇔q时为充要条件，结合集合范围判断条件关系，构建从定义理解到等价判定、集合应用及复杂命题分析的学习支架。 该资料以数学抽象和逻辑推理为核心，采用“知识点+随学随练+题型分类+变式训练”阶梯设计，如题型涵盖求充分、必要、充要条件等，解题贴士提供通法，例题与变式结合方程根、三角形性质等实例。课中辅助教师分层教学，课后通过基础通关、素养提升等练习，助力学生查漏补缺，深化条件关系理解与应用。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 课标要点 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 学习重难点 重点： 1.分清充分、必要条件定义：p⇒q 则 p 是 q 充分、q 是 p 必要； 2.等价判定：p⇔q 为充要条件； 3.会用集合范围判断条件关系。 难点： 1.区分充分、必要条件易混淆； 2.难准确推导命题推出关系； 3.借助集合范围判断条件关系易出错； 4.复杂命题中灵活判定充要条件。 知识点一　充分条件与必要条件 命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　 　 q 条件关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 【想一想】 在逻辑推理中p⇒q能表达成哪几种说法？ 提示：以下5种说法：①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q. 随学随练 1．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立，若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】记“”为条件，“”为条件，因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件. 知识点二　充要条件 　如果　p⇒q　，且　q⇒p　，就记作　p⇔q　.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的　充分必要　条件，简称为充要条件. 【想一想】 1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 随学随练 1．（2026高二上·辽宁大连·学业考试）“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：若，根据不等式基本性质可得，充分性成立； 必要性：若，根据不等式基本性质可得，必要性成立； 因此“”是的充要条件，故选：C. 2．（25-26高一上·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】等价于，所以， 所以是的充要条件.故选：C. 3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知则“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由且可知一定成立，故“且”是“”的充分条件， 又由可知都为0，即且，故“且”是“”的必要条件. 综上，“且”是“”的充要条件.故选：C. 题型一 求充分条件 解题贴士：　探求充分条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【解析】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·江西·阶段检测）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程，可得或1，得， 依题意，需使选项中的范围是区间的真子集， 故成立的一个充分不必要条件是．故选D. 【变式2】（25-26高一上·陕西西安·期中）设是两个实数，则“中至少有一个数大于”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于当时，，，，故A，B，D错误；由于当时，有，所以，从而中至少有一个数不小于它们的平均值，故中至少有一个数大于，C选项正确.故选：C. 【变式3】下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【解析】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确．故选D. 题型二 求必要条件 解题贴士：　探求必要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 【例2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【解析】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 【变式1】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 【变式2】（25-26高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使得选项中的条件是的一个必要不充分条件， 即集合是选项中的对应的集合的真子集， 对于A，不是的真子集，故A错误； 对于B，不是的真子集，故B错误； 对于C，不是的真子集，故C错误； 对于D，是的真子集，故D正确；故选D. 题型三 求充要条件 解题贴士：　探求充要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 【例3】（25-26高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】A：菱形的对角线互相平分，但是当菱形的邻角不相等时，此时四边形不是正方形，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； B：当两个三角形相似，这两个三角形三边成比例， 当两个三角形三边成比例，这两个三角形相似，所以此命题：p是q的充要条件，因此本选项符合题意； C：当时，显然为空集，但是与B都不为空集， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； D：因为等边三角形是特殊的等腰三角形， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意， 故选：B 【变式1】（25-26高一上·四川·期中）下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 【答案】D 【解析】对于A，当时，满足，所以充分性不成立， 反之，当时，可得，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件，不符合题意； 对于B，当时，可得，即充分性成立， 反之，当时，可得，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于C，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立； 反之，若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于D，若两个三角形全等，可得两个三角形三边对应相等，即充分性成立； 反之，若两个三角形三边对应相等，可得两个三角形全等，即必要性成立， 所以是的充分必要条件，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确； 故选：D 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）如图，直线a，b被直线c所截.下列条件中，不是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确； 若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确； 若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确； 显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1=∠3不能得到两直线平行，D选项错误. 故选：D. 题型四 充分、必要、充要条件的判断 解题贴士：充分、必要、充要条件的判断方法 （1）定义法：若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； 若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件. （2）集合法：对于集合A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； 若A⫌B，则p是q的必要不充分条件. 【例4】（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 【变式2】（25-26高二下·浙江台州·期末）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为解得，所以， 若，则一定有，所以“”是“”的充分条件； 若，则不一定有，所以“”是“”的不必要条件； 因此 “”是“”的充分不必要条件； 【变式3】（25-26高二下·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 【变式4】（2025高二下·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【解析】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 题型五 充要条件的证明 解题贴士：充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反. 【例5】已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【证明】充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝（a＋b）2－（a＋b）＝1－1＝0，即充分性成立. 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则（a＋b）2－（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b－1）＝0. ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1， 即必要性成立. 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【变式1】证明：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【证明】先证充分性： 由a＋b＋c＝0可得c＝－a－b，所以ax2＋bx＋c＝0可化为ax2＋bx－a－b＝0，即（x－1）（ax＋a＋b）＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 再证必要性： 方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足ax2＋bx＋c＝0，所以a＋b＋c＝0. 综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【变式2】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【变式3】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【解】充分性：当时，，则； 必要性：若，则，所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 题型六 利用充分条件求参数的范围 解题贴士：充分条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【例6】（25-26高一上·福建泉州·期中）若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于是的充分条件， 故在恒成立， 由可得， 当时，可得，当时，，时，无解， 要使在，恒成立， 故或，解得，故选：B 【变式1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知是的真子集， 所以，即实数的取值范围为，故选：A 【变式2】（25-26高一上·河南郑州·期中）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以，所以，故选：C. 【变式3】（2022·山西晋中·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得，故选：D. 题型七 利用必要条件求参数的范围 解题贴士：必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【例7】已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得.故选：B. 【变式1】（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得，所以实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得，故选：D 【变式3】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得或， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是，故选C. 基础通关 1．（25-26高二下·天津和平·期末）已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，解得， 当时，成立，故“”是“”的充分条件； 当时，，不能推出，故必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因， 对于，，当且仅当时等号成立. 则由可得，由可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得，因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是，故选：B. 6．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【解析】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0.故选：C 7．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 8．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由，，可得，则，是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 取，满足，不满足，所以不是的充分条件. 故选：ABC 9．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 【答案】ACD 【解析】对于A: 由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的必要不充分条件； 对于B，由，，可得， 取，满足，此时， 故p是q的充分不必要条件， 对于C，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个不同实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：ACD 10．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 11．“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的____________条件． 【答案】充分不必要 【解析】由已知得，．但由于r推不出p，所以q推不出p，故p是q的充分不必要条件． 13．设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【解析】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 14．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 15．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 素养提升 16．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 17．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 18．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 19．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 20．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 迁移创新 21．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 22．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, 为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件. 【解】设分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是. 理由如下：必要性:在中，是锐角，作，D为垂足，如图(1)， 则 ，即； 充分性:在中，，则不是直角， 假设为钝角，如图(2)，作，交BC延长线于点D， 则 ，即与“”矛盾， 因此为锐角，即为锐角三角形. 设分别是的三条边，且，为钝角三角形的充要条件是. 理由如下：必要性:在中，为钝角，如图(2)， 则 ，即； 充分性:在中，，则不是直角，假设为锐角，如图(1)， 则 ，即与“”矛盾， 因此必为钝角，即为钝角三角形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 课标要点 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 学习重难点 重点： 1.分清充分、必要条件定义：p⇒q 则 p 是 q 充分、q 是 p 必要； 2.等价判定：p⇔q 为充要条件； 3.会用集合范围判断条件关系。 难点： 1.区分充分、必要条件易混淆； 2.难准确推导命题推出关系； 3.借助集合范围判断条件关系易出错； 4.复杂命题中灵活判定充要条件。 知识点一　充分条件与必要条件 命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　 　 q 条件关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 【想一想】 在逻辑推理中p⇒q能表达成哪几种说法？ 随学随练 1．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点二　充要条件 　如果　p⇒q　，且　q⇒p　，就记作　p⇔q　.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的　充分必要　条件，简称为充要条件. 【想一想】 1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 随学随练 1．（2026高二上·辽宁大连·学业考试）“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知则“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型一 求充分条件 解题贴士：　探求充分条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【变式1】（25-26高一上·江西·阶段检测）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·陕西西安·期中）设是两个实数，则“中至少有一个数大于”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 题型二 求必要条件 解题贴士：　探求必要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 【例2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【变式1】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型三 求充要条件 解题贴士：　探求充要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 【例3】（25-26高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【变式1】（25-26高一上·四川·期中）下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 【变式2】（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）如图，直线a，b被直线c所截.下列条件中，不是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 题型四 充分、必要、充要条件的判断 解题贴士：充分、必要、充要条件的判断方法 （1）定义法：若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； 若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件. （2）集合法：对于集合A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； 若A⫌B，则p是q的必要不充分条件. 【例4】（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高二下·浙江台州·期末）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高二下·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（2025高二下·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 题型五 充要条件的证明 解题贴士：充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反. 【例5】已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【变式1】证明：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【变式2】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式3】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 题型六 利用充分条件求参数的范围 解题贴士：充分条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【例6】（25-26高一上·福建泉州·期中）若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·河南郑州·期中）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·山西晋中·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 利用必要条件求参数的范围 解题贴士：必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【例7】已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二下·天津和平·期末）已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 7．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 10．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 11．“”是“”的_______________条件． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的____________条件． 13．设，命题的充要条件是_________________． 14．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 15．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 素养提升 16．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 17．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 20．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 迁移创新 21．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 22．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, 为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $