1.2.1 命题与量词-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“命题与量词”核心知识点，先通过定义与分类梳理命题概念及真假判断方法，结合即时练巩固基础，再引入全称量词与存在量词，明确两类命题的形式及符号表示，最终通过例题与应用点提升综合运用能力，构建完整学习支架。 该资料以罗素理发师悖论趣味导入，激发学生用数学眼光观察现实问题的兴趣，知识点用表格结构化呈现，例题中符号化表达（如∀x∈R，x²≥2）培养数学语言，跟踪训练与参数取值问题强化逻辑推理，发展数学思维。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

1．2　常用逻辑用语 1．2.1　命题与量词 新课导入 学习目标 　　某位理发师的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢？这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！ 1.理解命题的概念，并会判断命题的真假． 2．理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义． 3．掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法． 知识点一　命题及其真假的判断 [知识梳理] 定义 可供真假判断的陈述语句 分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 注意 数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达 一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题 [即时练] 判断下列语句中哪些是命题，若是命题，则判断其真假． (1)地球是太阳系的一颗行星； (2)0∉N； (3)空集是任何非空集合的子集； (4)求|x＋a|； (5)求证为无理数． 解：(1)是命题，且为真命题．(2)是命题，且为假命题．(3)是命题，且为真命题．(4)是祈使句，不是命题．(5)是祈使句，不是命题． (1)一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假． (2)判断命题真假性的两个技巧 ①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论． ②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可． 知识点二　量词 [知识梳理] 类别 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题 命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为“∀x∈M，r(x)” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为“∃x∈M，s(x)” 角度1　全称量词命题与存在量词命题的识辨 [例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些实数的绝对值不是正数； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 【解】　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃x∈R，|x|≤0. (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 判断一个语句是全称量词命题 还是存在量词命题的思路 角度2　全称量词命题与存在量词命题真假的判断 [例2] (对接教材例题)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)末位是零的整数，可以被5整除； (2)有的集合中不含有任何元素； (3)存在对角线不互相垂直的菱形． 【解】　(1)全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． (2)存在量词命题，由于空集中不含有任何元素，因此 “有的集合中不含有任何元素”是真命题． (3)存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不互相垂直的菱形，因此“存在对角线不互相垂直的菱形”是假命题． 判断全称量词命题和存在量词 命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真，必须对在给定集合M中的每一个元素x，验证命题p(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可． (2)要判断一个存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真，只要在给定的集合M中找到一个元素x0，使命题p(x0)成立；要判断一个存在量词命题为假，必须验证在给定集合M中的每一个元素x，都使得命题p(x)不成立． [跟踪训练1] (1)(多选)(2026·大连月考)下列存在量词命题中，是真命题的有(　　) A．∃x∈R，x2＋1＝0 B．存在一个实数，它的绝对值不是正数 C．有些自然数是偶数 D．∃x∈Z，2x＋－1＝0 解析：选BC．对于A，∀x∈R，x2＋1>0，故A为假命题； 对于B，存在一个实数0，它的绝对值不是正数，故B为真命题； 对于C，有些自然数是偶数，如2，故C为真命题； 对于D，由2x＋－1＝0，可得2()2＋－1＝0， 因为≥0，解得＝，即x＝，∉Z，故D为假命题． (2)下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，|x|＞0 B．∃x∈R，|x|＜0 C．∀x∈R，x2－x＋1＞0 D．∃x∈R，x2－x＋1＜0 解析：选C．A选项：当x＝0时，|x|＝0，故A为假命题； B选项：由于|x|≥0恒成立，故B为假命题； C，D选项：由x2－x＋1＝＋＞0恒成立，所以∀x∈R，x2－x＋1＞0正确，故C为真命题，D为假命题．故选C． (3)用量词符号“∀”“∃”表示下列命题． ①有的实数不能写成小数形式：________________________________________； ②凸n边形的外角和都等于360°：_____________________________________. 答案：①∃x∈R，x不能写成小数形式　②∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和等于360° 应用点　依据含量词命题的真假求参数 [例3] 已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，若p为真命题，求实数a的取值范围． 【解】　命题p为真命题，转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1. 母题探究　本例中“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：由题得命题q：∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，命题q为真命题，转化为x≥a在x∈{x|1≤x≤4}上有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4. 利用含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法： (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式解决． [跟踪训练2] 若∃x∈R，x2－2x＋a＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：选B．若∃x∈R，x2－2x＋a＝0，则Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，所以实数a的取值范围是(－∞，1].故选B． 1．(教材P27练习AT3改编)下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2＋2x＋1<0 B．∃x∈Z，3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z 解析：选B．A是假命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0； B是真命题．当x＝1时，3x＋1＝4是整数； C是假命题．如x＝2时，|x|<3； D是假命题．如x＝，x2∉Z. 2．以下命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 解析：选B．锐角三角形的内角都是锐角，所以A为假命题．B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B为真命题，符合题意．＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任何一个负数x，都有＜0，所以D为假命题．故选B． 3．(2026·无锡期末)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，则(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈A，x∈B 解析：选A．A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}， 对于A，∃x∈A，x∈B，这是存在量词命题，只需找到一个x∈A且x∈B的元素即可，例如x＝3，满足3≥1且3>2，故A正确； 对于B，∃x∈B，x∉A，这是存在量词命题，集合B中的元素都在集合A中，故不存在集合B中的元素不属于集合A，故B错误； 对于C，∀x∈A，x∉B，这是全称量词命题，要求所有集合A中的元素都不属于集合B，而3属于集合A，也属于集合B，故C错误； 对于D，∀x∈A，x∈B，这是全称量词命题，要求所有集合A中的元素都属于集合B，而1属于集合A，但不属于集合B，故D错误． 4．对任意x∈R，等式m2(1－x)＝mx＋1成立，则实数m＝____________． 解析：因为对任意x∈R，等式m2(1－x)＝mx＋1成立， 所以m2－1＝mx＋m2x＝(m＋m2)x， 则解得m＝－1. 答案：－1 5．(教材P28T4(2)改编)已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为真命题，则a的取值范围是________． 解析：由题意，x＋a－1＝0有正数解，因为x＋a－1＝0，所以x＝1－a，所以1－a＞0，解得a＜1，所以a的取值范围是(－∞，1). 答案：(－∞，1) 1．已学习：全称量词(命题)、存在量词(命题)的概念． 2．须贯通：含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值问题，体现了转化思想． 3．应注意：有些命题量词可省略；全称量词命题强调“全部、任意性”；存在量词命题强调“个别、存在性”． 学科网（北京）股份有限公司 $