1.2.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，从概念理解（如“不等式有解”等价于存在量词命题）到命题真假判断（如举反例说明假命题），再到综合应用（结合集合、不等式求参数范围），构建递进式学习支架。 资料通过丰富实例（如用符号表示命题、取整函数性质判断）培养学生数学语言表达能力与推理意识，结合具体问题（如集合关系中的量词命题）引导用数学眼光观察数量关系。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过解析巩固知识，查漏补缺。

1．(2026·日照月考)“关于x的不等式ax＋b>0有解”等价于(　　) A．∃x∈R，使得ax＋b>0成立 B．∃x∈R，使得ax＋b≤0成立 C．∀x∈R，ax＋b>0成立 D．∀x∈R，ax＋b≤0成立 解析：选A．“关于x的不等式ax＋b>0有解”等价于“∃x∈R，使得ax＋b>0成立”． 2．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R，2x－10＝1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，x2＋1＞0 解析：选C．当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题． 3．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R, ＝x D．所有的等边三角形都相似 解析：选D．A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题；B在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，因为菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题；C是存在量词命题；D中含有全称量词“所有的”，且所有的等边三角形都满足相似定义，所以D是真命题．故选D． 4．已知集合A＝{x|x≥0}，集合B＝{x|x＞1}，则以下命题为真命题的是(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∈B D．∀x∈B，x∉A 解析：选A．由题可知，B是A的真子集，所以∃x∈A，x∈B或∃x∈A，x∉B或∀x∈B，x∈A.只有A选项符合要求． 5．已知命题p：存在实数2≤x≤4，使2x＋5－m＜0成立，若命题p为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．(9，＋∞) B．(13，＋∞) C．(10，＋∞) D．(－∞，－12) 解析：选A．满足题意时，应存在实数2≤x≤4，使m＞2x＋5，令y＝2x＋5，则m＞ymin＝9，所以实数m的取值范围为(9，＋∞).故选A． 6．(多选)(2026·咸阳期中)下列选项中能证明命题“∃x，y∈R，x2＋y2－2x＝1”为真命题的是(　　) A．x＝0，y＝1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝－2，y＝1 D．x＝2，y＝1 解析：选ABD．对于A，当x＝0，y＝1时，x2＋y2－2x＝1，为真命题； 对于B，当x＝0，y＝－1时，x2＋y2－2x＝1，为真命题； 对于C，当x＝－2，y＝1时，x2＋y2－2x＝9≠1，为假命题； 对于D，当x＝2，y＝1时，x2＋y2－2x＝1，为真命题． 7．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是______________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为______________． 解析：命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y＞1”． 答案：存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y＞1 8．给出一个能够说明命题“∀x∈R，x2－4x＋3≥0”为假命题的数：x＝________． 解析：当x＝2时，x2－4x＋3＝－1，不满足x2－4x＋3≥0. 答案：2(答案不唯一) 9．若对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是____________． 解析：对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以实数a的取值范围是(－∞，3]. 答案：(－∞，3] 10．(13分)用数学符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当x>0时，x2－2x＋2≥0；(4分) (2)自然数不都是正整数；(4分) (3)至少存在一个实数x，使得x2>0.(5分) 解：(1)命题表示为“∀x>0，x2－2x＋2≥0”． 因为x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以该命题为假命题． (2)命题表示为“∃x∈N，x∉N＋”． 因为0∈N，0∉N＋，所以该命题为真命题． (3)命题表示为“∃x∈R，x2>0”． 因为22＝4>0，所以该命题为真命题． 11．(多选)下列命题是真命题的为(　　) A．存在x＜0，使|x|＞x B．对于一切x＜0，都有|x|＞x C．不存在实数x，使x2＋2x＋2＝0 D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅ 解析：选ABC．A，B显然为真命题；对于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立，故C为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，当n＝2时，b＝6，当n＝3时，a＝6，6∈(A∩B)，故D为假命题． 12．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序实数对(a，b)为__________． 解析：由a－b＝ab得出b＝，取a＝1，得b＝，所以满足题中条件的一组有序实数对可以是(1，). 答案：(1，)(答案不唯一) 13．(13分)已知集合M＝{x|a≤x≤a＋1}． (1)若命题“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；(6分) (2)若命题“∃x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围．(7分) 解：(1)由题意得a＋1＞0，解得a＞－1，所以实数a的取值范围是{a|a＞－1}． (2)由题意得a＋1＋1＞0，即a＞－2，所以实数a的取值范围是{a|a＞－2}． 14．(15分)已知非空集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}． (1)若∀x∈A，则x∈B，求实数a的取值范围；(7分) (2)是否存在实数a，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．(8分) 解：(1)由∀x∈A，则x∈B，可知A是B的子集， 又因为A≠∅，则解得－1≤a≤.所以实数a的取值范围是－1≤a≤. (2)存在实数a∈，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，理由如下： 假设命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，则A∩B≠∅， 因为A≠∅，要使A∩B＝∅， 则或 解得－4≤a<－或a>5， 所以当－≤a≤5时，A∩B≠∅，此时，满足∃x∈B，x∈A， 即存在实数a∈，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题． 15．(多选)已知取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，以下关于“取整函数”的性质是真命题的有(　　) A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y<1 C．∃x∈R，[2x]＝2[x] D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y] 解析：选BC．当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A为假命题；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x<k＋1，k≤y<k＋1，所以x－y<1，故B为真命题；当x＝2时，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，故C为真命题；当x＝0.5，y＝0.6时，有[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1>[x]＋[y]，故D为假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $