1.1.1 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦集合的核心知识点，系统梳理集合的定义、元素确定性与互异性等特性，以及常用数集（N、Z、Q、R）、元素与集合关系、集合相等的判断方法，构建从概念理解到性质应用再到实际问题解决的学习支架。 该资料通过中国古代四大发明、无理数等实例考查集合定义，结合三角形边长、方程解等情境强化元素互异性认知，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理判断的能力。解析详尽，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生自查自纠，弥补知识盲点。

1．下列各组对象不能构成集合的是(　　) A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．中国著名的数学家 D．小于π的正整数 解析：选C．对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合； 对于C，著名的数学家定义不明确，不具有确定性，不符合集合的定义，即C不能构成集合； 对于D，小于π的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合． 2．下列关系正确的是(　　) A．π2∈Q B．0∉N C．－4∉Z D．－2 025∈R 解析：选D．对于A，由π是无理数，得π2也是无理数，则π2∉Q，A错误； 对于B，自然数集N包含元素0，即0∈N，B错误； 对于C，Z表示整数集，即－4∈Z，C错误； 对于D，－2 025是实数，即－2 025∈R，D正确． 3．若△ABC的三边长a，b，c可构成集合M，则△ABC不可能是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选D．由题意，根据集合元素的互异性，可得a，b，c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形，所以△ABC不可能是等腰直角三角形． 4．下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是　(　　) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 解析：选A．由于A中集合P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中集合P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合． 5．(2026·德州月考)设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 解析：选C．因为a∈A且3a∈A，所以解得a<2，又a∈N，所以a＝0或1. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．N＋中最小的数是1 B．若－a∉N＋，则a∈N＋ C．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素 解析：选AC．因为N＋表示正整数集，容易判断A，C正确；对于B，若a＝，则满足－a∉N＋，但a∉N＋，B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，D错误． 7．已知满足1≤x≤5且x∈N的元素构成集合B，则1________B，1.5________B．(填“∈”或“∉”) 解析：由题意，集合B中的元素有1，2，3，4，5，所以1∈B，1.5∉B. 答案：∈　∉ 8．若是集合A中的元素，且集合A中只含有一个元素2，则a的值为________． 解析：由题意得＝2，解得a＝. 答案： 9．已知集合M中含有2个元素x＋1，x2－2x－3，则一个满足条件的x＝________． 解析：由集合中元素的互异性可知x＋1≠x2－2x－3， 解得x≠－1且x≠4， 故x＝1时，x＋1＝2，x2－2x－3＝－4满足题意． 答案：1(答案不唯一) 10．(13分)(2026·大连段考)设A是方程x2－ax－10＝0的解组成的集合． (1)0是否是集合A中的元素？(5分) (2)若－5∈A，试写出集合A中的所有元素．(8分) 解：(1)将x＝0代入方程，得02－a×0－10＝－10≠0，所以0不是集合A中的元素． (2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－10＝0，解得a＝－3. 所以原方程为x2＋3x－10＝0，即(x－2)(x＋5)＝0， 得x＝2或x＝－5. 故集合A中含有两个元素2，－5. 11．(2026·东营月考)集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 解析：选C．集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B. 12．已知a，b，c为非零实数，记代数式＋＋＋的所有可能取值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是(　　) A．0∉M B．－4∉M C．2∈M D．4∈M 解析：选D．令y＝＋＋＋，若a，b，c全为正数，则y＝4；若a，b，c全为负数，则y＝－4；若a，b，c中有2个正数和1个负数，则y＝0；若a，b，c中有2个负数和1个正数，则y＝0，所以集合M含有三个元素：－4，0，4. 13．若集合A的元素x满足ax－4＞0且－3∉A，2∈A，则a的取值范围为____________． 解析：因为－3∉A，2∈A，所以解得a＞2. 答案：a＞2 14．(13分)已知集合A中有三个元素，分别为2，x，x2. (1)求实数x应该满足哪些条件？(6分) (2)若1∈A，求x的取值．(7分) 解：(1)根据集合中元素的互异性可知 解得x≠2且x≠1且x≠0且x≠±. (2)由于1∈A，结合(1)的结论可知x≠1， 所以x2＝1，解得x＝－1(x＝1舍去). 经验证，满足题意．所以x＝－1. 15．(13分)设A是至少含有一个元素的实数集，满足若a∈A，则∈A，且1∉A. (1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素；(5分) (2)集合A是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由．(8分) 解：(1)由于2∈A，则＝＝－1∈A， 因此＝＝∈A，＝＝2∈A. 所以A中至少还有－1，两个元素． (2)若a∈A，则∈A，且A中只有一个元素，所以a＝，即a2－a＋1＝0，Δ＝－3＜0，该方程在实数范围内无解，所以A中不能只含有一个元素． 学科网（北京）股份有限公司 $