1.1.1 第2课时 集合的表示方法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦集合的表示方法这一核心知识点，系统梳理列举法、描述法及区间表示，承接上节课集合概念，构建从概念理解到具体表示的学习支架，助力学生掌握集合表示的基本技能。 资料通过知识梳理结合实例，如用列举法表示方程根、描述法表示特定数集，培养数学眼光；综合应用中分类讨论方程根的情况，发展数学思维。课中辅助教师系统授课，课后跟踪训练与练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　集合的表示方法 新课导入 学习目标 　　上节课我们学习了集合的概念，有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们可以用自然语言描述一个集合，同时也可以用数学符号表示这个集合．那么集合有哪些表示方法呢？本节课我们一起来探究吧！ 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合． 知识点一　列举法 [知识梳理] 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法． [例1] 用列举法表示下列集合． (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合． 【解】　(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}． (2)设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1，0}． (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合中的元素； (2)把各元素列举出来，并用大括号括起来； (3)检查元素是否符合集合中元素的互异性． 注意　用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序． [跟踪训练1] 用列举法表示下列集合． (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)15的正约数组成的集合N； (3)“Welcome”中的所有字母构成的集合． 解：(1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以x＝－2，－1，0，1，2，所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字， 所以N＝{1，3，5，15}． (3)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}． 知识点二　描述法 [知识梳理] 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． [例2] 用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合． 【解】　(1)被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为{x∈N|x＝3n＋1，n∈N}． (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为{x∈R|1＜x＜10}． (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． (1)描述法表示集合时的4个关注点 ①写清楚集合中元素的符号，如数或点等． ②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． ③不能出现未被说明的字母． ④所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述的内容力求简洁、准确． (2)用描述法表示集合的两个步骤 ①写代表元素：分清楚集合中的元素是点还是数或是其他的元素． ②明确元素的特征：将集合中元素所具有的公共特征，写在竖线的后面． [跟踪训练2] 分别用描述法和列举法表示下列集合． (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 解：(1)用描述法表示为A＝{x∈R|x2－5＝0}(形式不唯一)，用列举法表示为A＝{－，}． (2)用描述法表示为B＝{x∈N|x<8}(形式不唯一)，用列举法表示为B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． 知识点三　区间及其表示 [知识梳理] 1．区间的定义及表示 设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 点拨　(1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立； (2)a，b分别称为区间的左、右端点，b－a称为区间的长度． [例3] (对接教材例2)把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}． 【解】　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞). (2){x|x<0}＝(－∞，0). (3){x|－1<x<1}＝(－1，1). 用区间表示数集的原则和方法 (1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错．④∞是一个符号，而不是一个数． (2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． [跟踪训练3] (1)集合{x|3x－4＜2}可以表示为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．(－∞，2] 解析：选B．由3x－4＜2，解得x＜2，故选B． (2)已知区间(a＋1，7]，则实数a的取值范围是____________． 解析：由题意可知a＋1<7，解得a<6， 所以实数a的取值范围是(－∞，6). 答案：(－∞，6) 应用点　集合表示方法的综合应用 [例4] 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若1∈A，用列举法表示A； (2)当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B. 【解】　(1)若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根，所以a＋2＋1＝0，解得a＝－3，所以方程为－3x2＋2x＋1＝0，解得x＝1或x＝－，所以A＝. (2)当a＝0时，2x＋1＝0，解得x＝－， 此时A＝； 当a≠0时，若集合A中有且仅有一个元素， 则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根， 所以解得a＝1，方程为x2＋2x＋1＝0， 解得x＝－1，此时A＝{－1}． 综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且仅有一个元素，所以B＝{0，1}． 母题探究　在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．(用集合表示) 解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，所以a<1且a≠0，故实数a的取值范围是{a∈R|a<1且a≠0}． 根据已知集合求参数的关注点 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． (2)解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对a的讨论． [跟踪训练4] 设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A. 解：因为4∈A，所以16－12＋a＝0， 所以a＝－4， 所以A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}． 1．集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为(　　) A．{－3，－2，－1，0，1，2，3} B．{－2，－1，0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{1，2，3} 解析：选C．易知{x|－3≤x≤3且x∈N}＝{0，1，2，3}．故选C． 2．(教材P9练习AT5(6)改编)不等式x－3≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　) A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] 解析：选B．解不等式x－3≥0得x≥3，则原不等式的所有解组成的集合表示成区间是[3，＋∞).故选B． 3．(多选)(教材P9练习AT3(2)改编)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A．{－2，0，2，4，6，8，10} B．{0，2，4，6，8，10} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 解析：选AD．由题意可知，满足题设条件的有选项A，D．故选AD． 4．用适当的方法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合C； (2)被5除余2的所有自然数组成的集合B； (3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合． 解：(1)用描述法表示集合C＝{(x，y)|x＜0，y＞0}或C＝. (2)用描述法表示集合B＝{x|x＝5k＋2，k∈N}． (3)由y＝，则x－1≠0，解得x≠1，故集合为{x|x≠1}． 1．已学习：(1)集合的两种表示方法．(2)区间及其表示． 2．须贯通：方法归纳：分类讨论、转化与化归． 3．应注意：列举法与描述法的乱用；方程ax2＋bx＋c＝0的系数不确定时，忽略二次项系数为0的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $