第1章 1.1.2 集合的基本关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦集合的基本关系这一核心知识点，系统阐述子集、真子集、相等的含义，维恩图的应用，以及子集个数计算和集合关系的应用。上承集合概念，下启集合运算，是构建集合知识体系的关键学习支架。 该资料通过实例观察抽象集合关系（数学眼光），逻辑推理判断集合包含与相等（数学思维），维恩图与数轴直观表达关系（数学语言）。课中例题与延伸探究助力教师引导教学，课后跟踪训练与课时对点练帮助学生巩固知识，有效提升数学素养。

1.1.2　集合的基本关系 学习目标　1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集.3.了解维恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系. 导语 上节课我们学习了集合的相关概念，那么大家能否判断：1和2是否属于集合A=呢？我们用列举法知道：该集合可以表示为从而可以判断2∈A，1∉A.那么集合与集合A又有什么关系呢？ 一、集合间关系的判断 问题　观察下面的几个例子，请说出两个集合元素有何特点？ (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)A={x|x=2k，k∈Z}，B={偶数}. 提示　(1)集合A的任意元素都是集合B的元素，但4和5是集合B的元素，不是集合A的元素； (2)集合C的任意元素都是集合D的元素，但立德中学高一(2)班每一个男生都是集合D的元素，不是集合C的元素； (3)集合A的任意元素都是集合B的元素，同时集合B的任意元素都是集合A的元素. 知识梳理 1.子集与真子集的定义 概念 定义 符号表示 图形表示 子 集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B (或B⊇ A)读作：A包含于B(或B包含A) 或 真 子 集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB (或BA)读作：A真包含于B(或B真包含A) 相 等 如果集合A和集合B的元素完全相同 A=B 2.维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图. 注意点： (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A，空集是任意一个非空集合B的真子集，即∅B. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC. (4)如果A⊆B且B⊆A，则A=B；反之，如果A=B，则A⊆B且B⊆A. 例1　(课本例3)写出下列每对集合之间的关系： (1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}； (2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}； (3)E=(-∞，3)，F=(-1，2]； (4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}. 解　(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4∉B，所以BA. (2)不难看出，C和D包含的元素都是1和-1，所以C=D. (3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示. 由图可知FE. (4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H. 反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形， 所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G. 综上可知，G=H. 例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； (2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}； (3)A=(-1，4)，B={x|x-5<0}； (4)M={x|x=2n-1，n∈N+}，N={x|x=2n+1，n∈N+}. 解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M={1，3，5，7，…}，N={3，5，7，9，…}，故NM. 反思感悟　(1)判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察. ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. ③数形结合法：利用数轴或维恩图. (2)证明集合间的包含关系，一般用定义. 跟踪训练1　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的维恩图是(　　) 答案　B 解析　由x2-x=0，解得x=1或x=0，故N={0，1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示. (2)已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： ①A　　　　B；②A　　　　C；  ③{2}　　　　C；④2　　　　C.  答案　①=　②　③　④∈ 解析　A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}.故①A=B；②AC；③{2}C；④2∈C. 二、子集、真子集及个数问题 例2　填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 解　 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2. 延伸探究1　利用例题的结论，试求满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数. 解　由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个， 又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23-1=7， 故集合M的个数为7. 反思感悟　求集合的子集的关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. (3)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n-1个. 跟踪训练2　(课本例1)写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集. 解　集合A的所有子集是 ∅，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}. 在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集. 跟踪训练2　已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集及真子集. 解　因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}， 所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 所以集合A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}. 三、集合间关系的应用 例3　(课本例2)已知区间A=(-∞，2]和B=(-∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围. 解　因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示. 从而可知a≤2. 例3　 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 答案　B 解析　若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意； 若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意. 综上所述，a=1. (2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　因为A⊆B，如图所示，此时B≠∅， 所以即 所以m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 延伸探究2　若例3(2)中的条件不变，且B⊆A，求实数m的取值范围. 解　①当B=∅时，满足B⊆A， 此时m+1>2m-1，解得m<2. ②当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 延伸探究3　若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　①当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1>2m-1，解得m<2. ②当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则解得即2≤m<3， 所以实数m的取值范围是{m|m<3}. 延伸探究4　若例3(2)中的条件不变，且BA，求实数m的取值范围. 解　①当B=∅时，满足BA，此时m+1>2m-1，解得m<2. ②当B≠∅，且BA时，如图所示. 所以或 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 反思感悟　(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍. (2)涉及“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A=∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况. 1.知识清单： (1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断. (2)子集、真子集的个数问题. (3)由集合间的关系求参数的值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，利用数轴解题时忽视是否能够取到端点. 1.(多选)以下四个选项中，错误的为(　　) A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} 答案　AD 解析　A应是{1}⊆{0，1，2}；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C正确；D应是∅⊆{0}. 2.(多选)集合M={1，2，3}，N={a，b}，若N⊆M，则a+b可能是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　BCD 解析　因为N⊆M， 所以N的所有可能为 所以a+b可能等于3或4或5. 3.已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围是　　　　　　　.  答案　 解析　由题意可知，集合是空集，即方程x2+x+a=0无解， 则Δ=1-4a<0，解得a> 所以实数a的取值范围是. 4.已知集合A={x|0<x<a}，B={x|1<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　　　　.  答案　[2，+∞) 解析　∵B⊆A， ∴利用数轴分析法(如图)，可知a≥2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 答案　C 解析　由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 (　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 答案　ACD 解析　∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确. 3.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A⊆B且B⊆A，则实数m等于(　　) A.2 B.-1 C.-2 D.4 答案　AB 解析　∵A⊆B且B⊆A，∴A=B， ∴m2-m=2，解得m=2或m=-1. 4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是(　　) A.MQ B.M，Q互不包含 C.QM D.Q=M 答案　A 解析　∵集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}={2，3，4，5，6}，又集合M={2，3，4}， ∴MQ. 5.已知集合A={x，0}，B={y，0，1}，其中x，y∈{0，1，2，3，4，5}，且A⊆B.满足以上条件的全部有序数对(x，y)的个数为(　　) A.6 B.8 C.20 D.36 答案　B 解析　依题意，当x=1时，y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个. 当x=y时，x=y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个.所以全部有序数对(x，y)的个数为8. 6.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}.又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. 7.(5分)集合A=的真子集个数为　　　　，非空真子集个数为　　　　.  答案　31　30 解析　因为∈N，x∈N，所以x=5，4，3，2，0， 所以集合A={0，2，3，4，5}，所以集合A的真子集个数为25-1=31，非空真子集个数为25-2=30. 8.(5分)已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是　　　　.  答案　{p|p≥4} 解析　集合A={x|x<-1或x>2}， B={x|4x+p<0}= 若B⊆A，则-≤-1，即p≥4， 则实数p的取值范围是{p|p≥4}. 9.(10分)判断下列两个集合之间的关系： (1)A={x|x<0}，B={x|x<1}；(2分) (2)A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；(4分) (3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N+}.(4分) 解　(1)AB. (2)A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴BA. (3)4和10的公倍数是20的倍数，因而A={x∈N+|x是4与10的公倍数}={x∈N+|x是20的倍数}={x|x=20m，m∈N+}=B. 10.(11分)已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且B⊆A. (1)求集合A的所有非空子集；(5分) (2)求实数m的值组成的集合.(6分) 解　(1)A={x|x2-5x+6=0}={2，3}， 所以集合A的所有非空子集为{2}，{3}，{2，3}. (2)由已知得B⊆A={2，3}， ①若B=∅，则m=0，满足条件. ②若B≠∅，当2∈B时，得m=-； 当3∈B时，得m=-. 故所求的集合为. 11.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 答案　C 解析　集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}， 故3(a1+a2+a3)=9，即a1+a2+a3=3. 12.已知集合M=N=P=则集合M，N，P的关系为(　　) A.M=NP B.MN =P C.MNP D.NPM 答案　B 解析　因为M= N= P=所以MN=P. 13.(5分)已知集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.  答案　{a|a<-4或a>2} 解析　①当B=∅时，2a>a+3，即a>3，显然满足题意；②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或 解得a<-4或2<a≤3. 综上可得，实数a的取值范围是{a|a<-4或a>2}. 14.(5分)若集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集，则实数a的值是　　　　.  答案　±1 解析　因为集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集， 所以集合A中只含有1个元素. 当a=1时，A={x|4x-2=0}=符合题意； 当a≠1时，要使集合A中只有一个元素，只需Δ=42-4(a-1)×(-2)=0，解得a=-1， 综上所述， 实数a的值是1或-1. 15.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}的关系是(　　) A.M⊆S=P B.S=P⊆M C.S⊆P=M D.P=M⊆S 答案　C 解析　任取a∈M，则a=5k1-2=5(k1-1)+3，k1∈Z， 所以a∈P，所以M⊆P， 任取b∈P，则b=5n1+3=5(n1+1)-2，n1∈Z， 所以b∈M，所以P⊆M， 所以M=P， 任取c∈S，则c=10m1+3=5·(2m1)+3，m1∈Z， 所以c∈P，所以S⊆P， 又8∈P，8∉S，所以S≠P， 所以S⊆P=M. 16.(12分)已知三个集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-bx+2=0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由. 解　由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1，2}， B={x|x2-ax+a-1=0} ={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}， ∴1∈B.又BA，∴a-1=1，即a=2. ∵C={x|x2-bx+2=0}，且C⊆A， ∴C=∅或{1}或{2}或{1，2}. 当C={1，2}时，b=3； 当C={1}或{2}时，Δ=b2-8=0， 即b=±2 此时x=±与C={1}或{2}矛盾，故舍去； 当C=∅时，Δ=b2-8<0， 即-2<b<2. 综上可知，存在a=2，b=3或-2<b<2满足BA，C⊆A. 学科网（北京）股份有限公司 $