河北省承德市高新区第一中学2026年高一暑假数学自主学习测试卷（13）-空间直线、平面的垂直

**基本信息** 河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷，聚焦空间直线、平面的垂直，通过单选、多选、填空、解答题梯度设计，考查线面垂直判定、二面角、距离计算等核心知识，强化空间观念与逻辑推理，适配暑假自主学习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面垂直条件判断、正四棱锥线面角、正方体异面直线成角|结合正方体、正四棱锥模型，考查空间位置关系的逻辑推理| |多选题|3/18|动点体积、线面角、面面垂直判定|以正方体、三棱锥为载体，融合动态问题与多结论判断| |填空题|3/15|点到直线距离、四棱锥外接球体积、正三棱柱二面角|需构造辅助线转化空间问题，考查空间度量计算| |解答题|5/77|线面垂直证明、二面角余弦值、点到平面距离|综合直角梯形、菱形等复杂几何体，要求规范推理与运算，贴合高考空间几何命题趋势|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（13） 范围：空间直线、平面的垂直 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．已知正方体 中， 为平面 内的动点（异于 ），则异面直线 与直线 所成角（     ） A．恒为 B．恒为 C．恒为 D．随 的位置改变而变化 4．已知下面给出的三个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是 A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 6．在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 8．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D．二面角的平面角的大小为 10．如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（    ）   A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．点到平面的距离为 D． 11．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．如图，设为正方形所在平面外一点，平面 则点到直线的距离为_______. 13．已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________． 14．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为________________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 16．(本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，为正三角形，.   (1)求证：面； (2)若是的中点，求与面所成角的正弦值. 17．(本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．(本小题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为棱的中点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)证明：平面. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．(本小题17分）如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D B D C C BD ABC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直， 故“”可以得到“”，充分性得证；反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行，不能得到线面垂直，必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 2．B 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为，又因为为正方形，， 所以，则， 在中，，故选：B． 3．C 【详解】在正方体中，底面，所以， 又底面为正方形，所以，因为平面 ， 所以平面 ，因为为平面内的动点（异于），所以平面，可得，即异面直线与直线所成角恒为. 4．D 【详解】对于①：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质可得，由平面，而平面，故， 而平面，，故平面，因平面，故，故①正确； 对于②：如下图所示，点为所在棱的中点，同理可证，故②正确； 对于③：如下图所示， 由中位线定理及等腰三角形的性质得，由平面，平面，得， 而平面,，故平面，而平面，则，故③正确； 故选：D. 5．B 【详解】对于①，由AB与CE所成角为45°，可得直线与平面不垂直； 对于②，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED=E，可得AB⊥平面； 对于③，由AB与CE所成角为60°，可得直线与平面不垂直； 对于④，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理：EC⊥AB，可得AB⊥平面； 故选B 6．D 【详解】由条件可得是等腰直角三角形，且， 故，所以, ,设P到直线的距离为h， 则由,可知,设所求距离为d， 因，则，解得：.故选：D. 7．C 【详解】 设的中点为，因为是边长为2的等边三角形，故且，同理且，故为的平面角，而平面平面， 故，故. 8．C 【详解】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则，∵，则，， 又，平面，故平面， 因为平面，则，故．故选：C． 9．BD 【详解】 对于选项A：三棱锥的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A不正确； 对于选项B：两点在平面上的射影分别为,即直线在平面上的射影为，而,根据三垂线定理可得.故选项B正确； 对于选项C：因为平面,直线与平面ABCD所成角为, 当点和点重合时，在平面射影最小， 这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项C不正确； 对于选项D：二面角即二面角， 因为，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项D正确. 故选：BD. 10．ABC 【详解】选项A，因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以，故直线与平面所成的角是，故A正确；    选项B，取中点为，连接，，因为，平面， 所以，，因为，平面，所以平面，故为二面角的平面角，则， 故二面角的正切值为，故B正确；选项C，因为， 所以， 设到面的距离为，则由， 可得：，解得，故C正确； 选项D，若，又，且，平面,则面， 则有，与矛盾，故D错误．故选:ABC． 11．ABD 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 12． 【详解】 作于，因为平面平面 所以，因为所以， 因为正方形边长为，所以，因为，，所以， 所以，所以点到直线的距离为.故答案为：. 13．/ 【详解】如图，取中点，中点，连接，，，.    因为，，， 所以，，均为边长为1的等边三角形. 所以且、，. 又，为中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，所以即为二面角的平面角，为. 所以.所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为. 所以四棱锥外接球的体积为. 14． 【详解】取的中点，连接，. 因为为正三角形，所以. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 所以即为二面角的平面角，即. 在中，，， 所以. 在中，， 所以. 故侧棱长为. 15．(1)证明：∵，，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面． (2)证明：因为，所以. ∵，∴在中，.∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面. 16．【详解】（1）证明：连接，设， 在菱形中，，则， 由余弦定理，可得， 因为是等边三角形，所以，因为，所以， 所以，同理，因为，、平面， 所以平面. （2）取线段的中点，连接、、，    因为、分别为、的中点，则且， 因为平面，所以平面， 在中，，，， 由余弦定理，可得， 因为平面，所以， 所以， 所以， ， 设点到平面的距离为，因为， 所以由，可得， 所以， 因此，点为线段的中点，所以点到平面的距离为， 设与面所成角为，则， 因此，与面所成角的正弦值为. 17．(1)证明：在正方形中，， 又侧平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为△是正三角形，M是的中点，则， 又，平面，所以平面． （2）取，的中点分别为，连接， 则，因为，所以， 因为△PAD是正三角形，所以， 又侧面平面，侧面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角． 因为正方形的边长为2，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为． （3）因为在正方形ABCD中，， 又侧面平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以△为等腰直角三角形，， ， 设到平面的距离为d，则， 解得，即到平面的距离为． 18．【详解】（1）取的中点，连接，，则，且. 因为，，所以四边形为平行四边形，则. 因为平面，所以平面，又平面，所以. 异面直线与所成的角为，，所以， 即异面直线与所成的角为. （2）证明：因为，， 所以，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面 所以平面. （3）. 因为平面，为棱的中点，所以点到平面的距离为， 所以， 因为平面，平面，所以，由（2）可得， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得. 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19．(1)因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为正三角形，点为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面； （2）由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 又平面平面，所以平面， 于是点即为所要找的点，又，所以， 即有，于是，所以， 所以. （3）取的中点，连接，因为点为的中点， 则，， 于是为平行四边形，即，而平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离, 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 而由（2）知，当时，平面，， 设，则， 所以点到平面的距离. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $