河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假高一数学专项测试卷（11）-用空间向量研究直线平面的位置关系

**基本信息** 高一暑假数学专项测试卷聚焦空间向量应用，通过正方体、四棱锥等模型，考查线线、线面、面面位置关系判定与证明，强化空间观念与逻辑推理，适配假期知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量平行垂直、方向向量与法向量关系|基础概念辨析，如第5题直线与平面位置关系判断| |多选题|3/18|正方体中方向向量、法向量及线面关系|多维度考查，如第10题结合法向量判断线面垂直与面面垂直| |填空题|3/15|线面垂直的向量条件、动点轨迹与最小值|动态问题设计，如第13题动点在正方形内运动的最小值| |解答题|5/77|线面平行、面面垂直证明及存在性探究|分层递进，如17题从证明线面平行到探究面面垂直存在性，培养数学思维与表达|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（11） 范围：用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 3．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 6．如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ）   A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 7．在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 8．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）   A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 10．如图，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与所成的角为 D．平面平面 11．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．对任意点，四边形是平行四边形 B．对任意点， C．存在点，使截面为菱形 D．存在点，使是直角三角形 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且，则_____________. 13．在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 14．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 16．(本小题15分）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 17．(本小题15分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 18．(本小题17分）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 19．(本小题17分）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C D B B A ABC BCD 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】由，得，使得，则， ，解得. 2．B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以，所以或. 3．C 【详解】，，解得． 4．C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为，平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 5．D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 6．B 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出相应向量的坐标，利用向量法判断两条直线的位置关系即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 由，则， 所以， 因为，所以，又与无公共点，所以，故C，D错误； 由，且， 所以，故A错误，B正确. 7．B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，，所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 8．A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为.故选：A. 9．ABC 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确．故选：ABC 10．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：设该正方体的棱长为， . A：设平面的法向量为，， 所以有，可以取，因为， 所以不互相垂直，因此平面不成立，故本选项结论不正确； B：设平面的法向量为，， 所以有，可以取，因为， 所以，所以平面，故本选项结论正确； C：因为，所以， 因此与所成的角为，所以本选项结论正确； D：设平面的法向量为，， 所以有，可以取，设平面的法向量为， ， 所以有，可以取，因为， 所以，因此平面平面，所以本选项结论正确， 故选：BCD 11．ABC 【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 设，， 则截面与棱的交点，则且等长； 且等长.故四边形是平行四边形，A正确； 长方体体积，截面的对角线与交于 长方体中心，即截面过几何中心. 因此截面将长方体平分为两个全等部分，故，B正确； ，令其相等解得， 此时，满足，四边形是平行四边形且邻边相等， 故截面是菱形，C正确； 三边平方为：， 若，则，不符合； 若或，解得，不符合. 故无满足条件的点，使是直角三角形，D错误. 12．4 【分析】根据线面垂直判定的向量方法，以及向量共线的坐标表示，列出方程，求出结果. 【详解】由题意得，则，得，，所以. 故答案为：4. 13． 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值，即的最小值为. 14． 【分析】首先利用坐标法，根据，求点的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 设，，,因为，所以，得， 此时，，所以 15．(1)取的中点为，连接，因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面，又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，，所以，即. (2)，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为，所以，平面平面. 16．【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 17．【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 18．【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 19．【详解】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $