暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）必修二

**基本信息** 聚焦线面垂直与面面垂直性质，通过精选区域期末真题构建从基础证明到综合探究的训练体系，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面垂直的性质|3例+2变式|含线面垂直证明、线线垂直推导及存在性探究|以线面垂直性质为核心，构建"线线垂直→线面垂直"推理链条| |面面垂直的性质|3例+3变式|涵盖折叠问题、体积计算、二面角及点面距离|通过面面垂直性质实现"面面垂直→线面垂直"转化，深化空间关系认知|

暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 例1．（25-26高一下·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点． (1)求证：平面； (2)若平面，，求证：． 【答案】(1)连接交于点O，连接， 因为底面是矩形，所以O为中点， 又M是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)因为平面，平面，所以， 因为是矩形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且M是的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 【分析】（1）利用矩形对角线中点特性，连接交点，构造中位线，证，结合线面平行判定定理完成证明； （2）先由垂直底面证平面得，再由，且为中点得，推出平面，最终证． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（24-25高一下·福建福州·阶段检测）如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：； (2)若平面． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）在侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接， 正四棱锥中，平面，平面，所以， 在正方形中，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以 (2)（ⅰ） （ⅱ）在棱上存在一点，使平面，理由如下． 由（ⅰ）可得，故可在上取一点，使． 过点作的平行线与的交点即为，连接， 在中，为中点，为中点，则． 平面，平面，则平面， 又由于，同理可得平面， ，平面，故平面平面， 平面，得平面． 由于，故 【分析】（1）通过证明平面，证得； （2）（ⅰ）由，计算底面积和高求体积；     （ⅱ）在上取一点，使，过点作的平行线与的交点即为证明平面平面，得到点位置，可求. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由已知得是边长为的正三角形，则， 又，所以，， 由平面，平面，可得， 所以在中，，，所以，， 所以点到平面的距离， 所以． （ⅱ）略 例3．（25-26高一下·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，是二面角的平面角． (1)证明：； (2)已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)因为是二面角的平面角，所以， 平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【详解】（1）略. （2） 取中点，连接，则为异面直线夹角， ，，， 所以，，， ，， 在中，由余弦定理可得. 变式1．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面，所以． 变式2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明：连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； (2)证明：因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【分析】（1）连接，利用中位线性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用等腰三角形的中线即高线得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 考点二 面面垂直的性质 例1．（25-26高一下·云南普洱·期末）如图1，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如下图，在图2中，连接. 在等边三角形中，为的中点，所以. 在中，，，所以为等边三角形. 因为为的中点，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. (2) (3)存在；. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明. （2）利用条件可得为二面角的平面角，再求得为等腰直角三角形即可. （3）假设存在，可得平行于平面内直线，在中，可利用平行线之间的比例得到，从而得到. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为二面角的平面角. 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在等边三角形中，，所以. 在等边三角形中，. 所以为等腰直角三角形，则. 所以二面角的大小为. （3）假设在线段上存在点，使得平面. 如图，连接交于点，连接. 因为，，所以. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 在中，，所以. 所以在线段上存在点，使得平面，且. 例2．（25-26高一下·江苏常州·期末）如图，直三棱柱的体积为，的面积为. (1)求到平面的距离； (2)设为的中点，，平面平面 （ⅰ）求证： （ⅱ）求二面角的大小. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）取的中点，连接，因为，所以， 又平面平面， 平面平面，且平面， 所以平面，又平面，故， 在直三棱柱中，平面， 平面，可得， 又，平面且相交于，所以平面， 又平面，所以 （ⅱ）. 【分析】（1）利用体积桥可构造方程求得结果； （2）（ⅰ）利用线面垂直的判定与性质可证得平面，由此可证， （ⅱ）过点作，交于点，证明即为二面角的平面角，解三角形求其大小. 【详解】（1）在直三棱柱中，设点到平面的距离为， 则 解得，所以点到平面的距离为； （2）（i）略 （ⅱ）由（1）得，所以， 由（ⅰ）得平面，又平面， 所以，所以，所以，又，， 所以，过点作，交于点，连接， 因为，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中，，，， 所以，故， 在中，，， 所以，又， 所以，故二面角为. 例3．（25-26高一下·湖北武汉·期末）已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在三棱台中，平面平面，， 又平面平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）根据已知及面面垂直的性质即可证明； （2）根据等体积法即可求解； （3）根据二面角的定义得出二面角的平面角，结合题目列出方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）由棱台性质知：延长交于一点， 由，得，点到平面的距离为到平面距离的3倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的三等分点，，即与均为正三角形， 设，则， ，解得， 故，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：， 即点到平面的距离为． （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在等边中，，又平面平面，平面， 则平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面平面，作于， 因为平面平面，平面， 所以平面，则， 又平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，． 变式1．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面. 【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.    （2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.    变式2．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 【答案】(1)证明：由正方形，得， 又∵平面，平面，∴∥平面， ∵平面，平面平面， ∴ (2)证明：由正方形，得, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， 又∵平面，∴， 由（1）知，∴，， 又，平面， ∴平面； (3)证明：取的中点，连接，则， 又，所以四边形是平行四边形. ∴，∴. 由，得，，∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 由正方形，得∥，∴, ∵，平面，∴平面, ∵平面，∴ 【分析】（1）由正方形得，根据线面平行的判定得到平面，再根据线面平行的性质即可得到； （2）先面面垂直的性质证得，结合，可得,,即可证得平面； （3）取的中点，通过证是平行四边形得到，证得； 再由勾股定理逆定理得到，证得平面，得，即可得，进而证得平面，即可证得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式3．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. （2）由线面角的概念可得即为直线与平面所成的角，再结合定义法得解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点一 线面垂直的性质 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 例1.(25-26高一下·云南昆明期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PC的中点. (I)求证：PAM平面MBD: (2)若PD⊥平面ABCD,PD=CD,求证：DM⊥PB. 例2.(2425高一下福建福州阶段检测)如图，正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长是底面边长的√2倍， P为侧棱SD上的点. 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 (I)求证：AC1⊥SD: (2)若SD⊥平面PAC. (i)求三棱锥A-PCD的体积： (iⅱ)在侧棱SC上是否存在一点E,使得BEII平面AC?若存在，求SE:EC的值；若不存在，说明理由. 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 例3.(25-26高一下江苏南通期末)如图，在三棱锥A-BCD中，∠ACB是二面角A-CD-B的平面角. (1)证明：AB⊥CD: (2)已知AB⊥BD,AB=CD=2,BC=1,若M是AC的中点，求异面直线AD与BM所成角的余弦值. 变式1.(25-26高一下·天津滨海新区·期中)如图，已知在直三棱柱 BC-ABG中，4C=3,4B=5,BC=4 AA=4 点D是MB的中点 D C A B 、、 B D AC//CDB (1)求证： 平面 (2)求证： AC⊥CB 3 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 变式2.(2425高一下甘肃庆阳期末)如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，M,N分别是AD,DE的中点， AB=AC,BD=CD 求证： M B (1)MNII平面ABC: (2)AD⊥BC 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点二 面面垂直的性质 例1.(25-26高一下云南普洱期末)如图1，四边 ,ABCD为菱形， ∠ABC=60°，△PAB 是边长为2的等边三角形， 点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD,连接PC,PD,得到如图2所示的几何体. 图1 图2 (I)证明：AB⊥平面PMC: (2)求二面角P-CD-A的大小： PN (3)在线段PD上是否存在点N,使得PB1/平面MCw？若存在，请求出PD的值；若不存在，请说明理由. ABC-AB C 例2.(25-26高一下江苏常州期末)如图，直三棱柱 的体积为4,44B 的面积为25 B1 D B (1)求A到平面 ABC 的距离： 2设D为4C的中点，4=B. AC BC⊥ ABB A 平面 平面 (i)求证：BC⊥AB (i)求二面角A-BD-C的大小 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 例3.(25-26高一下湖北武汉·期末)已知三棱台 BC-ARG,底面△MBC 是以B为直角顶点的等腰直角三角形， 13V5 1 1 体积为6，平面ABB4上平面ABC,且 A B A BC上平面 ABB A (1)证明： (2)求点B到平面 ACCA 的距离； 3)线段CC上是否存在点F,使得二面角F-4B-C的大小为6？若存在，求出CF的长：若不存在，请说明理由. 变式1.(25-26高二上江西'阶段检测)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，平面PAD⊥平面ABCD, PA=PD,E是PD的中点，F是PC上靠近点P的三等分点证明： (1)PB/I平面ACE; (2)平面BDF⊥平面ACE > 暑假培优：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 变式2.(2425高一下·北京通州期末)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平 BCF,AB=BF-1 CF-EF=2 D (I)求证：CD/IEF: (2)求证：EF⊥平面BCF； (3)求证：AE⊥DF 变式3.(24-25高一下·黑龙江牡丹江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为 等边三角形，平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3 (I)求证：PA⊥平面PCD: (2)求直线AD与平面PAC所成角的余弦值.