河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（10）-简单几何体的表面积和体积

**基本信息** 聚焦简单几何体表面积与体积，覆盖球、圆锥、正三棱柱等多类模型，通过动态水面（第13题）、体积定值探究（第19题）等设计，强化空间观念与推理能力，适配暑假自主学习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|球体积、圆锥体积等基础计算|直接考查公式应用，夯实运算能力| |多选题|3/18|圆锥挖圆柱（第9题）、侧面展开图（第10题）|多结论判断，培养几何直观| |填空题|3/15|圆台体积、动态水面高度（第13题）|结合斜二测画法，提升空间想象| |解答题|5/77|浮球表面积（第15题）、体积最值（第16题）|联系实际情境，体现模型意识与探究能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（10） 范围：简单几何体的表面积与体积 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若球被一个平面截得的截面圆的半径为，且球心到该平面的距离为，则球的体积为（     ） A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是（    ） A．8 B．24 C． D． 5．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥与圆柱底面半径相等、高相等，且侧面积也相等，若圆锥体积为，则圆柱的高为（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，，，则将四边形绕着旋转一周得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 8．已知正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则它的体积为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ）    A．挖去圆柱的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．剩下几何体的表面积为 D．圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 10．已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的母线长是 B．该圆锥的高是 C．该圆锥的表面积是 D．该圆锥的体积是 11．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为_________． 13．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 14．如图，三棱锥的体积为，，分别是棱，上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，则多面体的体积为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果保留） (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（结果保留） 16．(本小题15分）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 17．(本小题15分）在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是． (1)若，求：的最大值； (2)探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值 18．(本小题17分）如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. (1)求圆锥的表面积和体积; (2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 19．(本小题17分）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱的中点．   (1)求该正三棱柱的体积； (2)设为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值． (3)是棱上一点，试问三棱锥的体积是否为定值？若是，求出这个定值．若不是，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C D B A D BCD ABD 题号 11 答案 CD 1．D 【详解】根据球的截面性质：设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离为， 则三者满足直角三角形勾股关系，已知，，则，因为，故，则球的体积，故D正确. 2．C 【详解】底面直径为，则半径.故高. 所以体积. 3．B 【详解】. 4．C 【详解】边长为4的正三角形的面积为.直棱柱的侧面为矩形， 所以表面积为. 5．D 【详解】如图，过作平面，交平面于点.连接，，. 因为平面，平面，平面，所以，，. 在，，中，，为公共边， 所以.所以，即为外接圆的圆心. 因为平面.所以三棱锥的外接球的球心在直线上. 设三棱锥的外接球的球心为，连接. 令三棱锥的外接球的半径为，则. 在中，由正弦定理可得. 在中，. 在中，， 即，解得. 所以外接球的表面积. 6．B 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱侧面积：， 圆锥母线长， 圆锥侧面积：，由侧面积相等得： ， 约去非零项后平方得：，化简得， 又圆锥体积公式，代入和， 得： ，化简得，因此.故圆柱的高为. 7．A 【详解】由斜二测画法规则，得四边形为直角梯形，，，因此将四边形绕着旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为，高为6的圆台，所以所求体积为． 8．D 【详解】当正三棱柱的高为4时， ； 当正三棱柱的高为2时，． 9．BCD 【详解】如图所示，因为为的四等分点，所以，，    对于A，挖去的圆柱的体积，故A错误； 对于B，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积 ，故B正确； 对于C，圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积 ，故C正确；对于D，因为圆锥的底面半径为4，母线长，则，故D正确. 故选：BCD. 10．ABD 【详解】设圆锥的母线长为l，则母线长l为侧面展开图的半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，所以，则；设圆锥的底面半径为，则；该圆锥的高；该圆锥的表面积，该圆锥的体积为， 故选：ABD 11．CD 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确．故选：CD 12． 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为， 则圆台的体积． 13． 【详解】设底面正三角形的边长为，其面积为 当侧面水平放置时，水面与交于，与交于，由水面平行于侧面得，故，由得相似比，因此 水的横截面积为梯形ABED的面积： 正三棱柱侧棱长为，故水的体积为 当底面ABC水平放置时，设水面高度为，水形成底面积为、高为的正三棱柱，因此 代入得 14． 【详解】设点到平面的距离为，点到平面的距离为. 则三棱锥的体积. 多面体的体积. 对于四棱锥： 因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点， 所以，. 则 . 所以底面四边形的面积. 又因为是棱上靠近点的三等分点，即，所以. 所以点到平面的距离. 所以. 对于三棱锥： 将其视为以为顶点，为底面的棱锥. 因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点， 所以，. 则. 考虑三棱锥，其底面为，顶点为. 因为在上且，点在平面上， 所以点到平面的距离. 所以. 又因为三棱锥与三棱锥高相同（均为点到平面的距离）， 所以. 所以 . 综上所述，多面体的体积. 15．【详解】（1）该半球的直径为，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为，， 该“浮球”的体积是. （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为，所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：克. 16．【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以， 则长方体的表面积为； （ii）由图和已知， ，故三棱锥体积为， 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则， 因此三棱锥外接球体积； （2）因为M、N分别为、的中点， 所以，则 ， 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为. 17．【详解】（1）若绕旋转：斜边上的高，体积， 当时，，所以， 当且仅当时等号成立，此时， 即几何图形体积的最大值为． （2）因为， 所以， 当，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是. 18．【详解】（1）设圆锥的高为h，由题意得：，故，所以． 所以圆锥侧面积，圆锥的底面积， 所以圆锥的表面积；圆锥的体积为． （2）圆柱的底面半径为，高（母线）为， 所以圆柱的体积为    又圆锥的体积为，所以剩下几何体的体积为； 因为，圆锥的表面积； 所以剩下几何体的表面积 19．【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以，． （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示，    则当三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）法一：， ， ，所以三棱锥的体积为定值． 法二：因为，， 所以， 所以三棱锥的体积为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $