河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（5）-平面向量基础知识平面向量基础知识

**基本信息** 聚焦平面向量基础知识，通过几何情境（如平行四边形、正方形）与代数运算结合，考查抽象能力、推理意识和模型应用，适配新高二暑假自主学习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念（命题判断）、线性运算（平行四边形中点）、数量积（夹角、投影）|基础概念辨析与简单应用结合，如第4题考查投影向量定义| |多选题|3/18|向量性质（共线、模、数量积）|多角度辨析易错点，如第9题综合共线与单位向量性质| |填空题|3/15|模的范围、向量表示（几何图形）、动态最值（直角梯形动点）|结合几何图形考查向量表示，如第13题用基底表示向量| |解答题|5/77|数量积运算、坐标表示、几何综合（正方形动点、三角形共线）|综合几何与代数，如第18题正方形动点问题，考查垂直证明与最值，体现动态几何思维，贴近高考命题趋势|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（5） 范围：平面向量基础知识 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列命题正确的是（   ） A．，则 B．没有方向 C．若，则 D．若，则 2．在平行四边形中，为边的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足与的夹角为，则（   ） A． B． C．3 D． 4．若平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．或 7．已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若都是单位向量，则 C．若为非零向量，，，则 D．若与共线，则四点共线 10．关于平面向量，，，下列说法中正确的是（   ） A．，，则 B．若向量与不共线，则与都是非零向量 C．若向量与同向，且，则 D．若，则 11．已知均为非零向量．则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，则的取值范围为______． 13．如图所示，已知，，，，用与表示，则________． 14．在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知向量与夹角为，且，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求k. 16．(本小题15分）在平面直角坐标系中，已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若与的夹角大于，求取值范围． 17．(本小题15分）在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 18．(本小题17分）如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．   (1)若为中点，求的值； (2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有； （ⅱ）求的最大值． 19．(本小题17分）已知中，点在边上，且，为线段的中点． (1)用，表示； (2)若，且，，三点共线． （ⅰ）求； （ⅱ）若，且，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A B C D C AC AB 题号 11 答案 AB 1．D 【详解】对于选项A：因为，则的方向可能相反， 所以不一定相等，故A错误；对于选项B：的方向是任意的，故B错误； 对于选项C：若，对任意向量，均有， 此时不一定共线，故C错误；对于选项D：若，则； 若，则的方向相同，可得； 综上所述：若，则，故D正确. 2．D 【详解】平行四边形中，，为边的中点， 则,因为为线段的中点， 所以．    3．C 【详解】. 4．A 【分析】只需求出，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意，，与的夹角为，所以， 在方向上的投影向量为. 5．B 【详解】设，则由题设知，且.于是. 由向量数量积的性质得，所以. 令 ， . 该二次函数在处取得最小值. 等号可验证成立：当，且与同向，时，. 因此的最小值为. 6．C 【详解】由向量两两所成的角相等，故向量两两所成的角都等于0或， 当两两所成的角为时，，， ，则 ，， 当两两所成的角为0时，． 7．D 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量为 ． 8．C 【详解】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则：设，即， 那么    数量积， 的取值范围是. 9．AC 【详解】对于A，，，与方向相同，模长相等，即，A正确； 对于B，都是单位向量，但方向未必相同，与不一定相等，B错误； 对于C，，，，根据向量平行的性质可知，C正确； 对于D，若四边形为平行四边形，则与方向相反，为共线向量，此时四点不共线，D错误. 10．AB 【详解】A选项， ，则，故A正确； B选项，零向量与任意向量共线，若，中存在零向量，则二者一定共线；因此不共线的两个向量必然都是非零向量，B正确； C选项，向量有方向，不能直接比较大小，只有模长可以比较大小，C错误； D选项，由只能推出，即或或，则不一定成立，D错误. 11．AB 【详解】选项A：若，则，所以，A正确； 选项B：若，则，所以，B正确； 选项C：由可得，无法得到， 比如取，有但，C错误； 选项D：是与共线的向量，是与共线的向量， 当与不共线且时两向量不相等，D错误. 12． 【详解】，，． 13． 【详解】由题可知，，因此， 设，结合图象可得， 利用得，展开得 因为，，所以，即. ，即 由，得，解得或（舍去），因此，即. 14． 【详解】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，设，则， 且，由， 因，故. 15．【详解】（1）因为，，，， 得 . （2）因为，，，得 . （3）因为与垂直，则， 得， 化简得，解得. 16．【详解】（1），，且，， ，． （2）， ，，，，． 17．【详解】（1）由，，得，所以． （2）设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是． （3）由点是直线上的一个动点，得，即，于是 因此， 所以当时，取得最小值． 18．【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，则，，，，           ，，． （2）（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设， 则，，，， ，， ，故， 故恒有． （ⅱ）由（ⅰ）知，所以点轨迹是以为直径的圆在正方形内部的部分． 设在上的投影向量为，则 ， 由M点轨迹知，与同向共线，且， 故. 19．【详解】（1）为的中点，， 又，则，． 因此. （2），，三点共线，则 ，又，， 又， 为线段的中点，则， 则． 因此. （ⅱ）由（ⅰ）知，所以，且， 所以， 又因为，所以， 即， 所以， 即，，因此． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $