第30章 直线与圆的位置关系 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦人教版九年级数学上册第30章“直线与圆的位置关系”，通过基础判断、综合证明及文化情境题，全面考查直线与圆位置关系、切线性质与判定等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|直线与圆位置关系（第1题）、切线性质（第2题）|基础巩固，直接应用定义判定| |填空题|5题15分|正多边形内角和（第11题）、切线长最小值（第12题）|中档能力，结合几何直观| |解答题|8题75分|切线证明（第23题）、割圆术文化情境（第13题）|综合应用，考查推理能力与创新意识|

第30章直线与圆的位置关系单元测试2026-2027学年人教版 九年级数学上册 姓名 班级 分数 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分). 1.已知直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离为5cm,则⊙O的半径可能为( A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 2.如图，AC是OO的直径，CD为弦，过点A的切线与CD的延长线相交于点B,若AB=AC, 则下列说法错误的是( A.AD⊥BC B.∠CAB=90°C.DB=AB B.AD-RG 3.如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A,B两点，且弦AB=8cm,要使直线l与⊙O 相切，则需要将直线向下平移( ）. 0 第1页，共1页 A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 4.如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点 D.下列结论不一定成立的是( A.△BPA为等腰三角形 B.AB与PD互相垂直平分 C.点A、B都在以PO为直径的圆上 D.PC为△BPA的边AB上的中线 5.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15°，则∠P的度 数为( A.25° C B B.30° C.45° D.50° 6.如图，⊙O是等边△ABC的内 切圆，分别切AB,BC,AC于点E,F, D,P是DF上一点，则∠EPF的 度数是( 第2页，共1页 A.65° B.60° C.58° D.50° 7.为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF, DG的延长线分别交AE,AB于点M,N,则∠FME的度数是( A. 90 B.99o 加 C.108° D.135° 8.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C,与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是O,8则点D的坐标是 A.(9,2) B.(9,3 C.(10,2) D.10,3） 第3页，共1页 9.如图，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD, 则△ABC和△CDE面积之比为( BD A.1:3 B.1:2 C.V2:2 D.（V2-1:1 10.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点 G,则下列结论：①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为BC的 中点，则∠BGD=90°；④BD=DE.其中一定正确的个数是( G A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分). 11.已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 第4页，共1页 12.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4V2,⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作 ⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为 0 13.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割 圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点 E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积 为 14.如图，己知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=58°，则∠BOC= 第5页，共1页 15.如图，直线AB、CD相交于点O,∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上， 开始时，PO=6cm.如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t( 秒满足条件时，⊙P与直线CD相交. B 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.（本小题9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以点C为圆心，r为 半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm' B 17.(本小题9分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E,且 AE=AB 第6页，共1页 (1)求∠ACB的度数： (2)若DE=2'求o0的半径. B D 18.(本小题0分)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且 AB=6'BC=7?CA=5?求AF,BD,CE的长度， D 19.(本小题9分)如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OA,OC,AD (1)求2ADC的度数： (2)若⊙o的半径为1，求扇形AOC阴影部分的面积. E 第7页，共1页 20.(本小题9分)如图，AB是⊙O的直径，且AB=6,点M为⊙O外一点，且MA,MC分别切 ⊙O于点AC两点：BC与AM的延长线交于点D: (1)求证：AD=2CM (2填空：①当CM=_时，四边形AOCM是正方形. ②当CM=时，△CDM为等边三角形. M 21.（本小题9分)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点 D'交AB的延长线于点E,连接OD交BC于点F,连接ADCD,∠E=∠ADC (1)求证：AD平分∠BAC: (2)若CF=2DF,AC=6求O0的半径r 第8页，共1页 22.(本小题10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，且AC=BC,连接AD交 ⊙0于点E (1)求证CD11AB: (2连接BB,若B距为直径，BC=3V10AE=8:求O0的半径. B 第9页，共1页 23.(本小题11分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的 切线，交OD的延长线于点E,连结BE, (1)求证：BE是⊙O的切线： (2)设OE交OO于点F,若DF=2'BC=4V3:求线段EF的长： (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积 B 0 第10页，共1页 答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 【解析】解：，'PA、PB为圆O的切线， 的 ∴PA=PB, ∴.△BPA是等腰三角形，故A选项正确. 由圆的对称性可知：AB⊥PD,但不一定互相平分， 故B选项不一定正确. 连接OB、OA, PA、PB为圆O的切线， .∴.∠OBP=∠OAP=90°， ,∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项正确. :△BPA是等腰三角形，PD⊥AB, 第11页，共1页 ∴.PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项正确. 故选B 5.【答案】B 【解析】 解：：AC是⊙O的直径，PA是OO的切线， .∴.∠CAP=90o, .∴.∠PAB=∠CAP-∠BAC=75, :PA'PB是⊙O的切线， .∴.PA=PB' ∴.∠PBA=∠PAB=75, ∴.∠P=180°-75°-75°=30， 故选B. 6.【答案】B 【解析】 解：如图，连接OE,OF. 第12页，共1页 ,⊙O是△ABC的内切圆，E,F是切点， ∴.OE⊥AB,OF⊥BC, ∴.∠OEB=∠OFB=90°， .△ABC是等边三角形， .∴.∠B=60°， .∴.∠E0F=120°， .∠EPF=∠EOF=60° 故选B 7.【答案】B 【解析】解：，五边形ABCDE是正五边形， 、∠CDE=∠E=5-2×180°=108°， 5 :四边形CDFG为正方形， 第13页，共1页 .∴.∠CDF=90,∠CFD=45, ∴.∠FDE=108°-90°=18，∠DFM=180°-45°=135， ∴.∠FME=360°-18°-135°-108°=99， 故选B, 8.【答案】A 【解析】 解：设⊙P与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD,延长EP与CD交于点G, 则PE⊥y轴，PF⊥x轴， .∠EOF=90°， ∴.四边形PEOF是矩形， 'PE=PF,PE//OF, 第14页，共1页 .四边形PEOF为正方形， .∴.OE=OF=PE=PF=5, :A(0,8, ∴.OA=8, ∴.AE=8-5=3, .四边形OACB为矩形， .BC=OA=8,BC//OA,AC//OB, ∴.EG11AC, ∴.四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形， .∴.CG=AE=3,EG=OB,PG⊥CD, .∴.CD=2CG=6, .∴.DB=BC-CD=8-6=2, PD=5,DG=CG=3, ∴.PG=4, .∴.OB=EG=5+4=9, 第15页，共1页 .D(9,2）. 故选A 9.【答案】B 【解析】 解：如图，连接OC, B D :BC是oO的切线，OC为半径， .OC1BC,即∠OCB=90, .∴.∠COD+∠OBC=90, 又，'∠ABE=90°，即∠ABC+∠OBC=90°， ∴.∠ABC=∠COD' DE是OO的直径， :∠DCE=90,即∠OCE+∠0CD=90, 又∠A+∠E=90°，而∠E=∠OCE, ∴.∠A=∠OCD' 第16页，共1页 在△ABC和△COD中， ∠A=∠OCD ∠ABC=∠COD AC=CD .∴.△ABC≌△COD(AAS)' 又.EO=DO, ∴.S6coD=SAc0E= SACDE' .S△ABc=5 SACDE 即△ABC和△CDE面积之比为1：2. 故选B 10.【答案】D 【解析】解：，E是△ABC的内心， ∴.AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD,故①正确： 如图，连接BE,CE, 第17页，共1页 G .∠BAC=60°， .∴.∠ABC+∠ACB=120°， ,E是△ABC的内心， :.∠EBC+∠ECB=号（∠ABC+∠ACB)=60 ∴.∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)=180°-60°=120°，故②正确： 如图，连接OD, G .'∠BAD=∠CAD, .'BD=DC, 第18页，共1页 .点G为BC的中点， ∴OD⊥BC, ∴.∠BGD=90°，故③正确： 如图，连接BE, O E G D ∴.BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBE, .∠DBC=∠DAC=∠BAD, ∴.∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB, .∠DBE=∠DEB, .DB=DE,故④正确. 第19页，共1页 ∴.一定正确的结论是①②③④，共4个. 故选D. 11.【答案】1260° 【解析】解：正n边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得360° =40°， n 解得n=9 (9-2)×180°=1260， 即这个正多边形的内角和为1260°. 故答案为1260°. 12.【答案】23 【解析】解：连接OQ, .PQ是⊙O的切线， 第20页，共1页 ∴.OQ⊥PQ, 根据勾股定理知PQ=0p2-0Q=0p2-4, .当PO⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短， .在Rt△AOB中，OA=OB=4V2, ∴.AB=2OA=8, OP-OA-OB-4, AB .PQ=V0p2-4=23. 故答案为2V3. 13.【答案】-2 【解析】解：：边CD与⊙O相切于点E, ∴.OE⊥CD' :四边形ABCD为矩形， .∴.AB//CD ∴.OE⊥AB AF=FB=号AB=x4=2, 第21页，共1页 由圆周角定理得∠AOE=2∠ABE=30°， .∴.OA=2AF=4' 由勾股定理得0F=√0A2-AF=V42-2=2V3, 则S=S用56or-3074-×2×2V5-4红-2V3, 3602 3 放答案为智-23。 14.【答案】119° 【解析】解：，点O是△ABC的内切圆的圆心， ∴.∠OBC= 1 ∠ABC,∠OCB= 2∠ACB, 1 .∠BAC=58, .∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=122°， :∠B0C=1800-(20BC+∠0CB=1800-∠ABC+∠ACB=180°-2×12=19 故答案为119° 15.【答案】4<t≤6 【解析】解：：OP=6cm, :.当点p在0A上圆p与CD相切时，需要运动(6-2)：1=4秒， 第22页，共1页 当点P与0重合时，⊙P与圆相交，需要运动6÷1=6秒， ·在这两个点之间的都是相交， .4<t≤6 16.【答案】【小题1】 解：当r=2cm时，⊙C与AB相离理由如下： 作CD⊥AB于D. .C=90'AC=3cm'BC=4cm' ∴.AB=VAC2+BC2=5(cm BG.AG-AB-CD. .∴.CD=2.4cm 当r=2cm时，CD>r' ∴：⊙C与AB相离. 【小题2】 第23页，共1页 解：当r=2.4cm时，⊙C与AB相切理由如下： 当r=2.4cm时，由(1)可知CD=r .⊙C与AB相切. 【小题3】 解：当r=3cm时，OC与AB相交理由如下： :当r=3cm时，由(1)可知cD<r' ⊙C与AB相交. 17.【答案】解：(1)连接0A, .AE是⊙O的切线， ∴.∠OAE=90°， .AB=AE, 第24页，共1页 .∴.∠ABE=∠AEB, .OA=OB, ∴.∠ABO=∠OAB, .∴.∠OAB=∠ABE=∠E, .:∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE=180°， ∴.∠OAB=∠ABE=∠E=30°， ∴.∠AOB=180°-∠OAB-∠AB0=120°， :∠ACB=号∠A0B=60°： (2)设⊙O的半径为r,则OA=OD=r,OE=r+2, .∠OAE=90°，∠E=30°， .∴.2OA=OE,即2r=r+2, r=2, 故⊙0的半径为2. 18.【答案】解：：△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D、E、F, ∴.AF=AE'BF=BD'CD=CE· 第25页，共1页 AF=AD=xcm,BE=BD=(6-x)cm,EC=FC=(5-x)cm. 根据题意得5-x+6-x=7. 解得：x=2cm. .'AF=2cm.BD=6-x=6-2=4cm'EC=5-x=3cm' .AF=2cm'BD=4cm'EC=4cm' 【解析】解：，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D、E、F, ∴.AF=AE'BF=BD'CD=CE· AF=AD=xcm,BE=BD=(6-x)cm,EC=FC=(5-x)cm. 根据题意得5-x+6-x=7. 解得x=2cm. .AF=2cm.BD=6-x=6-2=4cm'EC=5-x=3cm' .'AF=2cm'BD=4cm'EC=4cm" 19.【答案】72.2 【解析】解：(1)，正五边形ABCDE内接于⊙O, .二AOC=3600×号=144。 第26页，共1页 .∠ADC=∠A0C=72: (2)由(1)得∠A0C=144, :⊙0的半径为1 扇形A0C(阴影部分)的面积为：S=mr=14°π×1_2元. 360°360°5 20.【答案】(1)证明：(1)如图，连接AC, B C o M A ,MA,MC分别切⊙O于点A、C两点， ∴.MC=MA,AB⊥AD,OC⊥MC, .∴.∠MCA=∠MAC, ,AB是直径， ∴.∠ACB=90°， .∠MAC+∠D=90°，∠MCA+∠MCD=90°， 第27页，共1页 ..∠D=∠MCD, .∴.DM=CM, ∴.AD=2CM, (2) ①3 ②3 【解析】 (1)见答案； (2)①：四边形AOCM是正方形， .OA=CO=AM=CM=3' .当CM=3时，四边形AOCM是正方形， ②若△CDM是等边三角形， .∠D=60,且AB⊥AD'AB=6 .AD=23' .AD=2CM' 第28页，共1页 ∴.CM=V3' .当CM=V时，△CDM为等边三角形. 21.【答案】(1)证明：由圆周角定理得：∠ABC=∠ADC, ,∠E=∠ADC .∴.∠ABC=∠ADC' .BC//DE' :DE与OO相切于点D ..OD⊥DE ∴.OD⊥BC' ∴.BD=CD ∴.∠BAD=∠CAD' .AD平分∠BAC: (2)解：OD1BC ∴.BF=FC' BO=OA' 第29页，共1页 .OF=1AC=3, ∴.DF=r-3 .BF=CF=2DF=2(r-3)' 在Rt△BOF中，OB2=OF2+BF2,即r2=32+(2r-62, 解得：r1=5,r2=3(舍去， 答：⊙O的半径r为5. 22.【答案】证明见解析： 5. 【解析】(1)证明：如图，连接CO并延长，交AB于F, D .CA=CB, C ∴.CF⊥AB, .CD是⊙O的切线， ∴.CF⊥CD, ∴.CD/IAB: (2)解：设⊙O的半径为r, 第30页，共1页 .CF⊥AB, ∴.BF=FA,又BO=OE, `.OF是△BAE的中位线， .'OF=-AE=4, 在Rt△OFB中，BF2=0B2-OF2=r2-42, 在Rt△CFB中，BF2=CB2-CF2=(3V102-(r+42, .r2-42=(310)2-(r+42, 解得：r1=5,r2=-9(舍去， .⊙0的半径为5. 23.【答案】(1)证明：连接0C,如图， E C D 第31页，共1顶 ,CE为切线， ∴.OC⊥CE, ∴.∠OCE=90°， OD⊥BC, .CD=BD, 即OE垂直平分BC, ∴.EC=EB, 在△OCE和△OBE中 OC=OB OE=OE, EC=EB ∴.△OCE≌△OBE(SSS), ∴.∠OBE=∠OCE=90°， ∴.OB⊥BE, ∴.BE与⊙O相切： (2)解：设⊙O的半径为x,则OD=OF-DF=x-2,OB=x, 第32页，共1页 在Rt△OBD中，BD=号BC=23, .0D+BD2=0B2, .(x-22+(2V32=x2,解得x=4, ∴.OD=2,OB=4, ∴.∠OBD=30°， ∴.∠BOD=60°， .OE=2OB=8, .∴.EF=OE-OF=8-4=4. (3).'∠BOE=60°，∠OBE=90°， ∴.在Rt△OBE中，BE=V3OB=4V3, ∴.S阴影=S四边0BC扇形 =2×号×4×4V3-120T×4 2 360, =16V3-16π 31 第33页，共1页