4.3.2 第1课时 等比数列的通项公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦等比数列通项公式，通过类比等差数列设置问题导入，引导学生写出并推导公式，结合新知初探明确公式及与指数函数关系，自我诊断巩固基础，构建从问题到公式再到应用的学习支架。 其亮点在于采用一题多解推导公式培养逻辑推理，通过基本量运算例题和实际应用问题提升数学运算与模型意识，帮助学生掌握方法，教师可高效开展教学，助力学生理解知识脉络与实际应用。

4.3.2　等比数列的通项公式 第四章　数列 1 课标要求 1.掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）. 2.体会等比数列与指数函数的关系（数学抽象、数学运算）. 第1课时　等比数列的通项公式 第四章　数列 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有许多相似之处， 这其实就是我们在这两类数列之间运用了类比思想，对于等比数列2，4， 8，…. 【问题】　（1）你能写出它的通项公式吗？ （2）你能根据等比数列的定义推导出等比数列的通项公式吗？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列{an}的通项 公式为an＝ ⁠. 提醒：由等比数列的通项公式an＝a1qn－1可得，an＝ ·qn，当q＞0且 q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f（x）＝ ·qx（x∈R） 当x＝n时的函数值，即an＝f（n）. a1qn－1　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等比数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝（－1）n－1. （　√　） （2）等比数列{an}的图象是指数型函数y＝ ·qx的图象上一些孤立的 点. （　√　） （3）由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：q＞0时， 等比数列各项的符号相同；q＜0时，等比数列相邻两项符号相异. （　√　） √ √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（　　） A. 32 B. －48 C. 48 D. 96 解析：　a5＝a1q4＝3×24＝48. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 在数列{an}中，an＋1＝－3an且a2＝－3，则an＝（　　） A. 3n－2 B. （－3）n－2 C. －3n－1 D. （－3）n－1 解析：　∵an＋1＝－3an，即 ＝－3，∴{an}为等比数列，公比q ＝－3，∴a1＝ ＝1，an＝a1·qn－1＝1×（－3）n－1＝（－3）n－1， 故选D. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 11 题型一　等比数列通项公式的推导 〔一题多解〕已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，求证：an＝ a1qn－1. 证明：法一（归纳法）　由等比数列的定义可知，a2＝a1q，a3＝a2q＝ a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn－1 （n≥2）.当n＝1时，上面的等式两边均为a1，所以等式也成立，因此当 n∈N*时，an＝a1qn－1成立. 法二（迭代法）　由于数列{an}是等比数列，所以an＝an－1q＝（an－ 2q）q＝an－2q2＝（an－3q）q2＝…＝a1qn－1（n≥2）.当n＝1时，等式也 成立. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　推导等比数列的通项公式除教科书中的累乘法外，还可类比等差数列 通项公式的推导方法，通过归纳法或迭代法推导，最后一定要验证n＝1时 是否成立.若n＝1时不成立，则通项公式用分段函数表示. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 已知等比数列{an}的第m项am与公比q，证明an＝amqn－m. 证明：因为{an}是等比数列，所以an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，由 ＝qn－ m，所以an＝amqn－m. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　等比数列基本量的运算 （链接教科书第158页例4）在等比数列{an}中： （1）a1＝1，a4＝8，求an； 解：因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. （2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 解：a1＝ ＝ ＝5. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：因为 由 ，得q＝ ，从而a1＝32. 又an＝1， 所以32× ＝1， 即26－n＝20，故n＝6. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 关于等比数列基本量的运算 （1）a1和q是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要求出这两个 基本量，其余的量便可以得出； （2）等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意 三个就能求出另外一个，解题时常列方程（组）来解决. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 在等比数列{an}中： （1）若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； 解：因为a5＝a1q4， 而a1＝5，q＝ ＝－3，所以a5＝5×（－3）4＝405. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若a2＝4，a5＝－ ，求an； 解：由题意可知 所以q＝－ ，a1＝－8， 所以an＝a1qn－1＝－8×（－ ）n－1＝（－2）4－n. （3）若a2＝4，q＝2，an＝128，求n. 解：由a2＝4，q＝2，得a1＝2，所以2·2n－1＝128，解得n＝7. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　等比数列的实际应用 某工厂2026年1月的生产总值为a万元，计划从2026年2月起，每月生 产总值比上一个月增长m％，那么到2027年8月底，该厂的生产总值为多 少万元？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：设从2026年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an ＋anm％， ∴ ＝1＋m％. ∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m％的等比数列.∴an＝a（1＋m ％）n－1. ∴2027年8月底该厂的生产总值为a20＝a（1＋m％）20－1＝a（1＋m％） 19（万元）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 等比数列实际应用的求解思路 （1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型； （2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据题意列方程，求出未知 元素； （3）针对所求结果作出合理解释. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速 度贬值. （1）用一个式子表示第n（n∈N*）年这辆车的价值； 解：从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为：a1，a2，a3，…， an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5（1－10％），a3＝13.5（1－10％） 2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10 ％＝0.9，∴an＝a1· ＝13.5×0.9n－1. ∴第n年车的价值为an＝13.5×0.9n－1万元. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×0.95－1≈8.857. ∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2 的等比数列”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　an＝2an－1，n＝2，3，4，…，有可能数列每一项都是零，此时 数列不是等比数列，反过来{an}是公比为2的等比数列，则一定满足an＝ 2an－1.故为必要不充分条件. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 在等比数列{an}中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则{an}的公比q＝ （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　由题意 ＝ ＝q＝ ＝2.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a2＝2，a3a4＝32，则 数列{an}的通项公式为 ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a3＝a1q2，a4＝a1q3，所 以 又a1＞0，q＞0，解得 所以an＝2n－1. an＝2n－1（n∈N*）　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正 方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画 了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 ⁠. 解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等比数 列{an}，所以an＝2×（ ）n－1，所以第10个正方形的面积S＝ ＝ [2×（ ）9]2＝4×29＝2 048. 2 048　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 29 1. 数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式an＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：该数列是以－ 为公比，－ 为首项的等比数列，则an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n＝ （　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝ 6，解得n＝7. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝（　　） A. 607.5 B. 608 C. 607 D. 159 解析：　因为1＋2an＝（1＋2a1）×3n－1，所以1＋2a6＝5×35，所以a6 ＝ ＝607. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 各项都是正数的等比数列{an}中，a2， a3，a1成等差数列，则 ＝（　　） A. B. C. 或 解析：设{an}的公比为q（q＞0，q≠1），根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝ 或q＝ （舍去），则 ＝ ＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比 为q，则（　　） A. q＝2 B. an＝2n C. 18是数列中的项 D. an＋an＋1＜an＋2 解析：由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕（2026·台州月考）我国古代数学专著《九章算术》中有这样 一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食 半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译 文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人 说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾 苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、 马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升粟，1斗为10升，则下列判断正 确的是（　　） A. a，b，c依次成公比为2的等比数列 B. a，b，c依次成公比为 的等比数列 C. a＝ D. c＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：依题意a＝2b，b＝2c，所以a，b，c依次成公比为 的等比数列，a＋b＋c＝50，即4c＋2c＋c＝7c＝50，c＝ ，a＝4c＝ .所以B、D选项正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 已知{an}是等比数列，a1＝ ，a2＝4，则a3＝ ，a1a2a3a4a5a6 ＝ ⁠. 解析：因为数列{an}是等比数列，且a1＝ ，a2＝4.所以等比数列{an}的 公比q＝ ＝8，所以a3＝a2q＝4×8＝32，所以a1a2a3a4a5a6＝ ·q15＝ （2－1）6×（23）15＝239. 32　 239 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依 次为 ⁠. 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝ ，∴q ＝ .∴这4个数依次为80，40，20，10. 80，40，20，10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. （2026·苏州月考）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤 其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年 投入的研发资金比上一年增加20％.按此规律至少到第 ⁠年每年投入 的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70） 解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且a1 ＝50，q＝1.2，所以an＝50×（1.2）n－1，令an＝50×（1.2）n－1＝ 250，所以（1.2）n－1＝5，所以n－1＝log1.25＝ ≈ ＝8.75，所以 n＝9.75，又因为n为正整数，所以n＝10. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 在等比数列{an}中， （1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； 解：∵an＝a1qn－1， ∴4×2n－1＝128， ∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解：∵a3＝a1q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2×（－2）n－1＝（－1）n－12n， ∴数列{an}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为an＝2n或an＝（－ 1）n－12n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 若正项数列{an}满足a1＝2， －3an＋1an－4 ＝0，则数列{an}的 通项公式an＝（　　） A. 22n－1 B. 2n C. 22n＋1 D. 22n－3 解析：　由 －3an＋1an－4 ＝0，得（an＋1－4an）·（an＋1＋an） ＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0， ＝4.由等比数列的定义 知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式， 得an＝2×4n－1＝22n－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三 行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的 数为aij（i，j∈N*），则a53＝（　　） ， ， ， … A. B. C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析： 　第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以a51＝ ＋（5 －1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比 都相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等比数列，所以a53＝ × （ ）3－1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝ 324，则n＝ ⁠. 解析：由a1a2a3＝4＝ q3与a4a5a6＝12＝ q12可得q9＝3，an－1anan＋1＝ q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝ . （1）证明：数列{1－ }为等比数列； 解：证明：由an＋1＝ 得 ＝ ＝ ＋ ， 则1－ ＝ － ＝ （ 1－ ）， 所以数列{1－ }是首项为1－ ＝ ，公比为 的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求{an}的通项公式. 解：由（1）得1－ ＝ ×（ ）n－1＝（ ）n， 即an＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $