5.2.1 基本初等函数的导数(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数运算，通过高铁瞬时速度的情境导入，从导数定义的复杂运算过渡到公式引入，搭建从具体问题到抽象公式的学习支架，衔接导数定义与公式应用的知识脉络。 其亮点是以数学运算为核心，通过题型分类（基本求导、某点导数、切线方程）和母题探究，培养学生逻辑推理与数学建模能力。如切线方程题型区分切点与非切点，总结“设、写、求”步骤，规律方法清晰。分层作业满足不同需求，学生能夯实运算能力，教师可高效开展分层教学。

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 第五章　导数及其应用 1 课标要求 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数（数学运算）. 2.会使用导数公式表（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷. 设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s） 的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的 导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时， 所趋近的那 个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝ sin x，y＝ln x很难运用定义求导数. 【问题】　（1）是否有更简便的求导数的方法呢？ （2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点一　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝x f'（x）＝1 f（x）＝kx＋b（k，b为常数） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝x2 f'（x）＝ ⁠ f（x）＝x3 f'（x）＝3x2 f（x）＝ f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ f'（x）＝ 0　 k　 2x　 － 　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 常数函数的导数为0说明什么？ 提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即 每一点处的切线都平行（或重合）于x轴（或任意两点间的函数值的变化 量Δy＝0）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝xα（α为常数） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝axln a f（x）＝ex f'（x）＝ ⁠ f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f‘（x）＝ logae＝  f（x）＝ln x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ sin x f'（x）＝ cos x f（x）＝ cos x f'（x）＝ ⁠ αxα－1　 ex　 　 　 － sin x　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）因为（ln x）'＝ ，所以（ ）'＝ln x. （　×　） （2）若f'（x）＝ sin x，则f（x）＝ cos x. （　×　） （3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e. （　×　） × × × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知f（x）＝xα（α∈Q，且α≠0），若f'（1）＝ ，则α＝ 　​ 　. 解析：因为f（x）＝xα，所以f'（x）＝αxα－1，所以f'（1）＝α＝ . ​ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知f（x）＝ cos x，则f'（ ）＝ 　－ 　. 解析：因为f（x）＝ cos x，所以f'（x）＝－ sin x，则f'（ ）＝－ sin ＝ － . － 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　基本初等函数的导数 （链接教科书第203页练习2题）求下列函数的导数： （1）f（x）＝x12；（2）f（x）＝ ； （3）f（x）＝3x；（4）f（x）＝log5x. 解：（1）f'（x）＝（x12）'＝12x11. （2）f'（x）＝ '＝（x－4）'＝－4x－5＝－ . （3）f'（x）＝（3x）'＝3xln 3. （4）f'（x）＝（log5x）'＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求简单函数的导数的方法 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导； （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等 变换对解析式进行化简或变形后求导. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 求下列函数的导数： （1）f（x）＝ ；（2）f（x）＝x ；（3）f（x）＝lo x. 解：（1）f'（x）＝ ＝ ln ＝－ ln 2. （2）f'（x）＝（x ）'＝（ ）'＝ ＝ . （3）f'（x）＝ '＝ ＝－ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　求函数在某点处的导数 （链接教科书第204页练习6题）求函数f（x）＝ 在x＝1处的导 数. 解：∵f（x）＝ ＝ ，∴f'（x）＝（ ）'＝－ ，∴f'（1） ＝－ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将 变量的值代入导函数求解. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　（2026·镇江月考）已知函数f（x）＝ 在x＝a处的导数为－2，则实 数a＝ ⁠. 解析：f'（x）＝－ ，当x＝a时，f'（a）＝－ ＝－2，即a＝± . ± 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　求切线方程 已知曲线y＝ln x，点P（e，1）是曲线上一点，求曲线在点P处的切 线方程. 解：∵y'＝ ， ∴k＝ ， ∴切线方程为y－1＝ （x－e），即x－ey＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件）已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ ⁠. 解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得曲线y＝ln x在点（x0，y0）处 的切线斜率为k，则k＝（ln x0）'＝ ，又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得y0 ＝2，x0＝e2，所以k＝ . ​ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. （变条件）求曲线y＝ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：∵O（0，0）不在曲线y＝ln x上.∴设切点为Q（x0，y0），则切线 的斜率k＝ . 又切线的斜率k＝ ＝ ， ∴ ＝ ，即x0＝e，∴Q（e，1），∴k＝ ， ∴切线方程为y－1＝ （x－e），即x－ey＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式 进行求解. 2. 求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 函数y＝x3在点（2，8）处的切线方程为（　　） A. y＝12x－16 B. y＝12x＋16 C. y＝－12x－16 D. y＝－12x＋16 解析：因为y'＝3x2，当x＝2时，y'＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 ⁠. 解析：设切点为（x0，ln x0），由y＝ln x得y'＝ .故y＝ln x在点（x0，ln x0）处的切线斜率为 .因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c ＝0，其斜率为1.所以 ＝1，即x0＝1，所以切点为（1，0）.所以1－0＋ c＝0，所以c＝－1. －1 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 若f（x）＝ sin x，则f' ＝（　　） A. － B. － C. 解析：　f'（x）＝ cos x，f' ＝ cos ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列求导正确的是（　　） A. 若f（x）＝3，则f'（x）＝0 B. 若f（x）＝ ，则f'（x）＝－ C. 若f（x）＝ln x，则f'（e）＝ D. 若f（x）＝x，则f'（x）＝1 解析：只有B是错误的.因为f'（x）＝ ＝ '＝－ ＝－ . √ √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 曲线y＝ 在点（ ， ）处的切线方程为（　　） A. 4x－4 y＋2 －1＝0 B. 4x－4y＋1＝0 C. 4 x－4y＋2－ ＝0 D. 4x＋4y－3＝0 解析：　由于y＝ ，所以y'＝ ，所以曲线在点（ ， ）处的切线 的斜率k＝ ＝1，切线方程为4x－4y＋1＝0. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 若质点P的运动方程是s（t）＝ （s的单位：m，t的单位：s）， 则质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s. 解析：因为s'（t）＝（ ）'＝（ ）'＝ ，所以s'（8）＝ × ＝ ×2－1＝ ，所以质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s. 　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 29 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. （ cos ）'＝ sin B. （ ）'＝－ C. （lg x）'＝ D. （ ）'＝ 解析：　（ cos ）'＝0，故A不正确；（ ）'＝（x－3）'＝－3x－4，故 B不正确；（lg x）'＝ ，故C正确；（ ）'＝（ ）'＝ ，故D 不正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 函数y＝2x在x＝2处的导数为（　　） A. 2 B. 4 C. 2ln 2 D. 4ln 2 解析：　y'＝（2x）'＝2xln 2，故所求导数为4ln 2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则 该物体在第2 s时下滑的加速度a＝（　　） A. ln 2 B. 2ln 2 C. 解析：　v'（t）＝（log2t）'＝ ，又t＝2，∴a＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. （2026·泰州月考）已知直线y＝ x＋b是曲线y＝ln x（x＞0）的一条 切线，则实数b＝（　　） A. －1 B. 0 C. ln 2－1 D. ln 2＋1 解析：　设切点坐标为（x0，y0），则y0＝ln x0.y'＝（ln x）'＝ ，∴k ＝ .由题意知 ＝ ，∴x0＝2，y0＝ln 2.由ln 2＝ ×2＋b，得b＝ln 2 －1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点的坐标为 （　　） A. （－1，1） B. （－1，－1） C. （1，1） D. （1，－1） 解析：y'＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为（－1，－1）或（1，1）. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f （x）的解析式可能为（　　） A. f（x）＝3 cos x B. f（x）＝x3 C. f（x）＝ D. f（x）＝2x √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：对于A，f（x）＝3 cos x，定义域为R，f'（x）＝－3 sin x，f'（x）为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x3，定义域为R，f'（x）＝3x2，f'（x）为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f（x）＝ ，定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，f'（x）＝－ ，f'（x）为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f（x）＝2x，定义域为R，f'（x）＝2，f'（x）是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 若曲线y＝ 在点P（a， ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积为2，则实数a的值是 ⁠. 解析：因为y'＝ ，所以切线方程为y－ ＝ （x－a），令x＝0， 得y＝ ，令y＝0，得x＝－a，由题意知 · ·a＝2，所以a＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 过点（1，0）且与曲线y＝x2相切的直线方程为 ⁠. 解析：∵y'＝2x，设切点坐标为（x0， ），则切线方程为y－ ＝2x0 （x－x0）.又∵该切线方程过点（1，0），∴－ ＝2x0（1－x0），解得 x0＝0或x0＝2.即切线方程为y＝0或y＝4x－4. y＝0或y＝4x－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 以正弦曲线y＝ sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角 的取值范围是 ⁠. 解析：由函数y＝ sin x，得y'＝ cos x.设P（x0，y0），则以点P为切点的 切线l的斜率k＝ cos x0∈[－1，1].设以点P为切点的切线l的倾斜角为α， 则tan α＝k∈[－1，1]，由α∈[0，π），可得α∈［0， ］∪［ ，π）. ［0， ］∪［ ，π） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 求下列函数的导数： （1）y＝ ； 解：y'＝（ ）'＝（ ）'＝ ＝ ＝ . （2）y＝log2x2－log2x； 解：y＝log2x2－log2x＝log2 ＝log2x，∴y'＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝－2 sin （1－2 cos 2 ）. 解：∵y＝－2 sin （1－2 cos 2 ） ＝2 sin （2 cos 2 －1）＝2 sin cos ＝ sin x， ∴y'＝（ sin x）'＝ cos x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 已知f（x）＝2 cos 2 －1，g（x）＝x，则关于x的不等式f'（x）＋ g'（x）≤0的解集为（　　） A. {x｜x＝ ＋2kπ，k∈Z} B. {x｜x＝2kπ，k∈Z} C. {x｜x＝ ＋2kπ，k∈Z} D. {x｜x＝2kπ＋π，k∈Z} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　∵f（x）＝2 cos 2 －1＝ cos x，∴f'（x）＝－ sin x，g' （x）＝1，由f'（x）＋g'（x）≤0得－ sin x＋1≤0，即 sin x≥1，∴ sin x＝1，解得x＝ ＋2kπ，k∈Z. 不等式的解集为{x｜x＝ ＋2kπ， k∈Z}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这 两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T 性质的是（　　） A. f（x）＝ cos x B. f（x）＝ln x C. f（x）＝ex D. f（x）＝x2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：由题意y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1.对于选项A，f'（x）＝－ sin x，存在x1＝ ，x2＝－ ，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项B，f'（x）＝ ，x＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项C，f'（x）＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项D，f'（x）＝2x，存在x1＝1，x2＝－ ，使得f'（x1）f'（x2）＝4x1x2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. （2026·镇江质检）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak， ）处的 切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5 ＝ ⁠. 解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）在点（ak， ）处的切线斜率k＝ 2ak，则在点（ak， ）处的切线方程为：y－ ＝2ak（x－ak），即y ＝2akx－ ，∴ak＋1＝ ak，∴a1＋a3＋a5＝a1（1＋ ＋ ）＝16× ＝ 21. 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知点P是曲线C：y＝x3上任意一点，过点P作曲线C的切线l1交C 于点Q，过点Q作曲线C的切线l2，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证 明： 为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 证明：设f（x）＝x3，由求导公式可得f'（x）＝3x2，不妨设P（x0， ），则点P处的切线斜率k1＝3 ，切线方程为y－ ＝3 （x－ x0），由 得x3－3 x＋2 ＝0， 即（x－x0）2（x＋2x0）＝0，解得x＝x0或x＝－2x0，所以点Q的横坐标 为－2x0，所以点Q处的切线斜率为k2＝f'（－2x0）＝12 ， 故 ＝ ＝ ，为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $